修理工單重休假排隊(duì)系統(tǒng)的更換模型研究*

賈金澤

(河南工學(xué)院 管理學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

目前,在管理學(xué)和工業(yè)工程領(lǐng)域,可修排隊(duì)系統(tǒng)已成為學(xué)者們重點(diǎn)研究的方向之一。早期研究可修排隊(duì)系統(tǒng)的文獻(xiàn)大多都是假定服務(wù)臺(tái)是“修復(fù)如新”的,但在工作實(shí)際中,服務(wù)臺(tái)往往會(huì)因?yàn)榘l(fā)生故障而需要修理,不能為顧客提供服務(wù),因此,對(duì)這類可修的排隊(duì)系統(tǒng)的更換策略進(jìn)行研究是非常有價(jià)值的。曹晉華和程侃[1]對(duì)服務(wù)臺(tái)“修復(fù)如新”M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的相關(guān)可靠性指標(biāo)進(jìn)行了研究,鐘福金[2]等研究了設(shè)備可修且不能“修復(fù)如新”的可修排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)更換模型,賈積身等[3-5]又利用幾何過(guò)程模型對(duì)服務(wù)臺(tái)“修復(fù)非新”的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的更換策略進(jìn)行了研究。唐應(yīng)輝等[6]提出了“修理工單重休假”的概念,賈積身等[7-9]對(duì)此類系統(tǒng)的維修更換策略進(jìn)行了研究,王敏、唐蓓蕾等[10-11]又進(jìn)一步研究了單重休假的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化策略。

本文主要研究修理工單重休假的退化可修排隊(duì)系統(tǒng),并針對(duì)服務(wù)臺(tái)“修復(fù)非新”和修理工休假時(shí)間為隨機(jī)變量的情形,以被服務(wù)的顧客數(shù)N為更換策略,利用幾何過(guò)程和概率論知識(shí)求出系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望效益的明顯表達(dá)式。

1 模型假設(shè)

在文獻(xiàn)[3]的相應(yīng)假設(shè)下,再對(duì)模型做出如下假設(shè):

設(shè)Zn為修理工第n個(gè)周期中的休假時(shí)間,{Zn,n=1,2,…}形成一個(gè)隨機(jī)遞減的幾何過(guò)程,它的分布函數(shù)為H(dn-1t),其中d>1,t≥0,且設(shè)E(Z1)=γ;Xn,Yn,Zn,Wn,n=1,2,…相互獨(dú)立;服務(wù)臺(tái)一次更換費(fèi)用為C,服務(wù)臺(tái)在待修期間期望損失為C2(包括系統(tǒng)損失和顧客的等待損失),修理工在休假期間期望效益為C1。

2 期望效益

設(shè)Tn為服務(wù)臺(tái)第n-1次與第n次更換之間的時(shí)間間隔(n=1,2,3,…),P(N)為系統(tǒng)在策略N下經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望效益。依照更新報(bào)酬定理可以得到

(1)

設(shè)K為服務(wù)臺(tái)在連續(xù)N個(gè)顧客服務(wù)期內(nèi)的故障次數(shù),則它是一個(gè)隨機(jī)變量,K=0,1,2,…。

由于

所以有

并且K的數(shù)學(xué)期望為

(3)

依照模型假定,系統(tǒng)的一個(gè)可能進(jìn)程如圖1。

圖1 系統(tǒng)的一個(gè)可能進(jìn)程

由系統(tǒng)進(jìn)程以及假設(shè),不難得到更新周期長(zhǎng)為

為了推導(dǎo)E(L1),首先介紹下面的定理:

定理1 如果X,Y是兩個(gè)非負(fù)獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為F(x)和G(x),則有

證明因?yàn)閄,Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以

所以

Qk(t)=Fk(t)*H(dkt)

根據(jù)條件期望性質(zhì)、定理1以及(2)式,得

同理可得

由于

這里“[ ]′”表示求導(dǎo)運(yùn)算。

所以

(4)

所以,平均更新周期長(zhǎng)為

(5)

依據(jù)模型假設(shè)和系統(tǒng)進(jìn)程,可得系統(tǒng)在一個(gè)更新周期內(nèi)的期望效益為

(6)

由(1)(5)(6)三式,得到在策略N下系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望效益為

(7)

3 討論

(1)若修理工為定期休假,且定期休假時(shí)間長(zhǎng)度為T,則(7)式變?yōu)?/p>

(2)若服務(wù)臺(tái)不會(huì)失效且不考慮修理工休假,這時(shí)(7)(11)兩式均變?yōu)?/p>

顯然,這樣的系統(tǒng)就不需進(jìn)行更換。

(3)若服務(wù)臺(tái)能夠“修復(fù)如新”且不考慮修理工休假,則a=b=1,(7)(11)兩式均變?yōu)?/p>

其中

Fk(t)=F(t)*F(t)*F(t)*…*F(t)

SN(t)=S(t)*S(t)*S(t)*…*S(t)

(4)若服務(wù)臺(tái)“修復(fù)非新”且不考慮修理工休假,則系統(tǒng)變?yōu)槲墨I(xiàn)[3]中的系統(tǒng)。

4 結(jié)語(yǔ)

復(fù)雜系統(tǒng)的最優(yōu)維修特性控制是保證系統(tǒng)可用度的重要手段,本文把可靠性模型中修理工單重休假的機(jī)制引入可修排隊(duì)研究中,提出了一類新的退化可修排隊(duì)系統(tǒng)維修更換模型,比以往所討論的排隊(duì)系統(tǒng)更具一般性,也更加符合實(shí)際;而且本文還考慮了服務(wù)臺(tái)發(fā)生故障后的“修復(fù)不非新”。因此,本文進(jìn)行的研究具有理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值,也具有前沿性。