例談促進(jìn)深度思考的數(shù)學(xué)教學(xué)策略

王慧云

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生深度思考、發(fā)展思維。對(duì)此，可以有如下策略：以問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地思考;以模型建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考;以連環(huán)追問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生深度地思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;深度思考;問(wèn)題情境;數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，是“思維的體操”。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生深度思考，進(jìn)而發(fā)展思維。對(duì)此，可以有如下策略：

一、以問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地思考

情境蘊(yùn)含、產(chǎn)生問(wèn)題，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、引領(lǐng)思維。為了促進(jìn)學(xué)生深度思考，可以創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，促使學(xué)生情智在場(chǎng)、具身投入，主動(dòng)地思考。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《多邊形的內(nèi)角和》一課，可以設(shè)計(jì)如下逐步遞進(jìn)的探究問(wèn)題，不斷驅(qū)動(dòng)、引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地思考：

（1）看到這一課題，你想到了什么？（明確學(xué)習(xí)起點(diǎn)）

（2）對(duì)于多邊形的內(nèi)角和，你想知道些什么？（明確學(xué)習(xí)任務(wù)）

（3）面對(duì)這些問(wèn)題，你覺(jué)得該如何有序地開(kāi)展研究？從哪種圖形入手？（明確研究方向）

（4）回顧一下，我們研究三角形的內(nèi)角和時(shí)，采用了哪些方法？這些方法對(duì)今天的學(xué)習(xí)有哪些借鑒呢？（明確研究思路）

（5）你已經(jīng)知道了哪種四邊形的內(nèi)角和？是多少度？你覺(jué)得一般四邊形或者說(shuō)任意四邊形的內(nèi)角和會(huì)是多少度呢？（明確常規(guī)方法）

（6）除了量和拼，我們能否換個(gè)思路，想想還有其他的方法嗎？既然我們已經(jīng)學(xué)過(guò)三角形的內(nèi)角和是180度，那么能否把四邊形分割、轉(zhuǎn)化成三角形呢？最少能轉(zhuǎn)化成幾個(gè)？

（7）和剛才量、拼的方法比起來(lái)，你覺(jué)得這種分割的方法如何？如果給你任意一個(gè)四邊形，你會(huì)用這種分割的方法得出它的內(nèi)角和嗎？

（8）我們已經(jīng)通過(guò)分割成三角形的方法得到四邊形的內(nèi)角和是360°，順著這樣的方法和結(jié)果，要求五邊形、六邊形、七邊形……的內(nèi)角和，其實(shí)就是要看什么？

（9）這些多邊形應(yīng)該怎樣分割，各分割成多少個(gè)三角形，才能方便地算出它們的內(nèi)角和呢？其中是否存在某種規(guī)律？

（10）通過(guò)實(shí)踐操作和數(shù)據(jù)整理，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？如果圖形的邊數(shù)越來(lái)越多，你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出它的內(nèi)角和嗎？你能用一個(gè)式子表示多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法嗎？

……

二、以模型建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考

數(shù)學(xué)是模式（模型）的科學(xué)。模型思想注重運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題（尤其是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題），且追求將一個(gè)問(wèn)題的解決拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“（運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的）活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)‘問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)?！睘榱舜龠M(jìn)學(xué)生深度思考，教師還可以引導(dǎo)他們建立模型，促使他們理解本質(zhì)、掌握方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考。而引導(dǎo)建立模型，要讓學(xué)生經(jīng)歷從模仿到創(chuàng)造的循序漸進(jìn)、先立再破、不斷提升的過(guò)程。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《釘子板上的多邊形》一課，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、推理、計(jì)算，不斷地尋找關(guān)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立不同層次的模型：

首先，引入圖形面積計(jì)算的常規(guī)方法后，出示圖1和表1，提出問(wèn)題：下面多邊形的面積各是多少平方厘米？每個(gè)多邊形邊上的釘子各有多少枚？先數(shù)一數(shù)、算一算，將結(jié)果填入表格中，再與同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的想法。學(xué)生探究后發(fā)現(xiàn)：這些多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積就越大;這些多邊形面積的數(shù)值（平方厘米）是邊上釘子數(shù)的一半;這些圖形還有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是內(nèi)部都只有1枚釘子。進(jìn)一步地，學(xué)生總結(jié)出多邊形內(nèi)部只有1枚釘子時(shí)，它的面積（數(shù)值）與邊上的釘子數(shù)的關(guān)系：多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2——用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積（數(shù)值），那么S=n÷2。由此，建立知識(shí)上最初級(jí)的模型。

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)提出問(wèn)題：（1）研究到這里，你能想到什么？（2）如果多邊形的內(nèi)部有2枚、3枚、4枚……a枚釘子，會(huì)有什么樣的規(guī)律呢？（3）如果多邊形的內(nèi)部沒(méi)有釘子呢？通過(guò)探究，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出其中的規(guī)律：設(shè)a為多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，則a=2時(shí)，S=n÷2+1，a=3時(shí)，S=n÷2+2，a=4時(shí)，S=n÷2+3，a=5時(shí)， S=n÷2+4，a=0時(shí)，S=n÷2-1——用一個(gè)公式概括就是S=n÷2+a-1，即皮克定理。由此，建立知識(shí)上更高級(jí)的模型。

然后，提出問(wèn)題：回顧探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有什么體會(huì)？通過(guò)交流碰撞，學(xué)生梳理歸納出：（1）要善于從不同的多邊形中找到它們的相同點(diǎn);（2）用含有字母的式子表示規(guī)律，簡(jiǎn)明易記;（3）探索規(guī)律時(shí)，要認(rèn)真觀察、反復(fù)比較，而發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，要進(jìn)行驗(yàn)證。由此，建立方法上更高級(jí)的模型（范式）。這一模型不僅適用于本節(jié)課的探究，而且適用于今后許多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

三、以連環(huán)追問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生深度地思考

數(shù)學(xué)思維需要經(jīng)過(guò)不斷琢磨（反復(fù)斟酌、推敲），向更深處漫溯，從而做到精益求精，找到知識(shí)理解的適切方法、問(wèn)題解決的不同策略。為此，要多提“……是什么”“……為什么”“……怎么樣”“如果不……還可以……”等指向深度思考的問(wèn)題。

（一）在思維生長(zhǎng)點(diǎn)琢磨

思維的生長(zhǎng)點(diǎn)是指可以由此及彼延伸聯(lián)系的思維內(nèi)容。通常，對(duì)已有的知識(shí)、問(wèn)題等預(yù)設(shè)的生長(zhǎng)點(diǎn)，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生琢磨：（1）新知識(shí)是在哪些知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生、發(fā)展的？新知識(shí)“新”在哪里？其本質(zhì)（特點(diǎn)）與用途（優(yōu)點(diǎn)）分別是什么？（2）問(wèn)題的解決，是從條件出發(fā)順向思考更簡(jiǎn)單，還是從問(wèn)題入手逆向思考更容易？需要列表整理?xiàng)l件，還是畫(huà)圖理解題意？需要合情推理，還是精準(zhǔn)計(jì)算？而對(duì)新穎的思路、想法等生成的生長(zhǎng)點(diǎn)，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生琢磨：這一思路或想法新穎在哪里？巧妙在哪里？給了我怎樣的啟迪？

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課，基于“學(xué)生在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，知道把一個(gè)物體或幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，其中的1份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來(lái)表示”的學(xué)情，可以這樣引領(lǐng)學(xué)生琢磨：（1）除了“一個(gè)物體或幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體”平均分后可以用分?jǐn)?shù)表示之外，還有其他情況可以用分?jǐn)?shù)表示嗎？（2）一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體都可以用什么來(lái)表示？稱之為什么？（3）自然數(shù)“1”和單位“1”之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別？（4）什么是分?jǐn)?shù)？什么是分?jǐn)?shù)單位？分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別？（5）為什么要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)？由此，學(xué)生會(huì)對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”有較為充分的理解和深刻的建構(gòu)。

（二）在思維困惑點(diǎn)琢磨

思維的困惑點(diǎn)是指感到困惑不解的思維內(nèi)容。通常，對(duì)學(xué)生思維的困惑點(diǎn)，教師可這樣引導(dǎo)學(xué)生琢磨：是沒(méi)有理解知識(shí)，還是不會(huì)操作實(shí)踐？是不會(huì)舉例驗(yàn)證，還是欠缺邏輯推理？是思維過(guò)于機(jī)械、僵化，還是鉆進(jìn)了牛角尖？

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——畫(huà)圖》一課，通過(guò)教材例題“小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？”的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步理解了畫(huà)圖能使數(shù)量關(guān)系表示得更直觀、更清楚。但是，面對(duì)“哥哥和弟弟共有200枚郵票，哥哥給弟弟26枚后兩人的郵票一樣多。哥哥、弟弟原來(lái)各有郵票多少枚？”這一變式問(wèn)題，不少學(xué)生誤認(rèn)為哥哥只比弟弟多26枚郵票，會(huì)這樣解題：

根據(jù)題意畫(huà)出圖2。

因此，弟弟：（200-26）÷2=87（張）;哥哥：（200+26）÷2=113（張） 。

這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生琢磨：“哥哥給弟弟26枚后兩人的郵票一樣多”說(shuō)明了什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)深入思考，便會(huì)明晰：哥哥應(yīng)該比弟弟多2個(gè)26枚郵票，那么，從總數(shù)200中去掉2個(gè)26，就得到弟弟原有郵票數(shù)的2倍，再除以2，就得到弟弟原有的郵票數(shù);在總數(shù)200的基礎(chǔ)上添加2個(gè)26，就得到哥哥原有郵票數(shù)的2倍，再除以2，就得到哥哥原有的郵票數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步出示對(duì)比問(wèn)題：“哥哥和弟弟共有200枚郵票，哥哥去掉26枚后兩人的郵票一樣多。哥哥、弟弟原來(lái)各有郵票多少枚？”讓學(xué)生繼續(xù)琢磨：這兩題在結(jié)構(gòu)上有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？在解決思路上又有哪些異同？對(duì)我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么啟迪？這樣，學(xué)生就會(huì)有撥云見(jiàn)日、豁然開(kāi)朗的感覺(jué)。

（三）在思維發(fā)散點(diǎn)琢磨

思維的發(fā)散點(diǎn)特指可以從不同的角度、向不同的方向發(fā)散聯(lián)系的思維內(nèi)容。尤其是在解決問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，力求一題多解：除了教材中給出的方法或老師講解的方法之外，是否還有其他的思維路徑和解題方法？而在解決問(wèn)題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考：得到的結(jié)果能否做進(jìn)一步推廣？

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——列表》一課，解決教材“練習(xí)九”第5題（見(jiàn)圖3）時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，從不同角度分析數(shù)量關(guān)系，找到不同解題思路。可這樣提問(wèn)：（1）“照這樣計(jì)算”是什么意思？（2）要求“45分鐘生產(chǎn)多少個(gè)”，數(shù)量關(guān)系式是什么？（3）要求“生產(chǎn)540個(gè)需要多少分鐘”，數(shù)量關(guān)系式是什么？（4）如何列式計(jì)算這兩問(wèn)？分別有幾種解題思路與列式方法？分別選用表中的哪一組數(shù)量？為什么可以這樣選擇？由此，使得學(xué)生明白解題思路與列式方法的多樣性。對(duì)第一問(wèn)，既可以先求出每分鐘生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)，即工作效率，再用“工作效率×工作時(shí)間（45分鐘）”求出工作總量，也可以先求出45里面有幾個(gè)3（或6、9），再用得數(shù)去乘54（或108、162）。對(duì)第二問(wèn)，既可以先求出每分鐘生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)，即工作效率，再用“工作總量（540個(gè)）÷工作效率”求出工作時(shí)間，也可以先求出540里面有幾個(gè)54（或108），再用它去乘3（或6）。由此，學(xué)生的理解會(huì)更深入，思考會(huì)更靈活。

（四）在思維聚焦點(diǎn)琢磨

思維的聚焦點(diǎn)特指思維發(fā)散后可以通過(guò)比較進(jìn)行優(yōu)化的思維內(nèi)容。其實(shí)，數(shù)學(xué)思考既追求多樣的角度和方向，以提升靈活性，更追求優(yōu)化（適當(dāng)乃至最佳）的路徑和方法，以提升深刻性。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)因發(fā)散而產(chǎn)生的思路和想法進(jìn)行比較、優(yōu)化。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——列表》一課，解決教材“練習(xí)九”第5題（見(jiàn)圖3）第二問(wèn)“生產(chǎn)540個(gè)需要多少分鐘？”時(shí)，學(xué)生通過(guò)發(fā)散思維，得到兩種解題思路（見(jiàn)上文），進(jìn)而得到8種綜合列式方法：（1）540÷（54÷3）;（2）540÷（108÷6）;（3）540÷（162÷9）;（4）540÷（216÷12）;（5）540÷54×3;（6）540÷108×6;（7）540÷162×9;（8）540÷216×12。對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聚焦思維，通過(guò)比較分析、估算判斷，發(fā)現(xiàn)：因?yàn)?40里面有10個(gè)54，所以生產(chǎn)540個(gè)零件需要10個(gè)3分鐘，即30分鐘。這種思路更加容易理解，這一方法更便于計(jì)算。

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