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    圖(p≤9)的邊幻和全標(biāo)號(hào)

    2020-07-29 09:00:16波,文,萍,
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號(hào)示例分配

    顧 彥 波, 李 敬 文, 火 金 萍, 邵 淑 宏

    ( 蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070 )

    0 引 言

    圖論廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及化學(xué)等領(lǐng)域,而圖的標(biāo)號(hào)問題是圖論中的熱門研究之一.1970年Anton等首次提出了圖的邊幻和全標(biāo)號(hào)概念,并研究了一些特殊圖的邊幻和全標(biāo)號(hào)[1].目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于邊幻和全標(biāo)號(hào)的研究只是針對(duì)于一些特殊圖,如樹圖、圈圖及其相關(guān)圖、并圖和一些非連通圖[2-5].1970年Anton等提出了猜想:所有的樹圖都有邊幻和全標(biāo)號(hào)[1];1998年Enomoto等進(jìn)一步提出:所有的樹圖都有超級(jí)邊幻和全標(biāo)號(hào)[6];Fukuchi證明了當(dāng)n(mod 4)?3時(shí),Wn均具有邊幻和全標(biāo)號(hào)[7];文獻(xiàn)[1]證明了所有的圈圖Cn均為邊幻和全標(biāo)號(hào)圖;Wallis等在文獻(xiàn)[8]中證明了所有的皇冠圖Cn⊙K1均是邊幻和全標(biāo)號(hào)圖;Lin等證明了扇圖具有邊幻和全標(biāo)號(hào)[9];Craft等證明了當(dāng)r為奇數(shù)且圖G(p,q)的點(diǎn)數(shù)p≡4(mod 8)時(shí),r-正則圖為非邊幻和全標(biāo)號(hào)圖[10];當(dāng)n≥7時(shí),完全圖Kn為非邊幻和全標(biāo)號(hào)圖[10].

    文獻(xiàn)[11]總結(jié)了目前所有圖標(biāo)號(hào)的研究現(xiàn)狀,其中的結(jié)論大多數(shù)是針對(duì)特殊圖的.本文主要研究利用標(biāo)號(hào)算法,得到9個(gè)點(diǎn)以內(nèi)的所有圖的標(biāo)號(hào)結(jié)果,通過結(jié)果分析,總結(jié)出若干定理,并猜測(cè)當(dāng)點(diǎn)數(shù)超過9時(shí),相關(guān)結(jié)論也成立.

    1 基本概念

    本文所涉及的圖均為無向、簡(jiǎn)單連通圖,具有p個(gè)頂點(diǎn)q條邊的圖記為G(p,q),當(dāng)q=p-1時(shí),稱為樹圖;當(dāng)q=p時(shí),稱為單圈圖;當(dāng)q=p+1時(shí),稱為雙圈圖.

    定義1[1]圖G(p,q)存在雙射f:V(G)∪E(G)→[1,p+q],使對(duì)G的任意一條邊uv,總有f(u)+f(v)+f(uv)=k,則稱f為圖G的一個(gè)邊幻和全標(biāo)號(hào)(edge-magic total labeling,簡(jiǎn)稱EMTL),k為幻和常數(shù).若f(V(G))→[1,p],則稱為圖G的一個(gè)超級(jí)邊幻和全標(biāo)號(hào)(super edge-magic total labeling,簡(jiǎn)稱SEMTL).

    猜想1[6]每一棵樹有一個(gè)EMTL.

    猜想2[7]每一棵樹有一個(gè)SEMTL.

    2 EMTL算法

    根據(jù)定義1,設(shè)f(u)+f(v)+f(uv)=k,將所有的邊相加,得到

    (1)

    (2)

    使用式(2)無法構(gòu)建解空間,本文將所有邊的標(biāo)號(hào)系數(shù)設(shè)為0,并進(jìn)行累加,故得到了

    (3)

    這里f(ej)表示邊標(biāo)號(hào).

    算法思想:

    (1)計(jì)算圖G的度序列、常數(shù)C和系數(shù)Coe(vi).

    (2)初始化f(vi),即給點(diǎn)按度從大到小分配標(biāo)號(hào).

    (3)根據(jù)式(3),如存在正整數(shù)k使等式成立,則進(jìn)入分配函數(shù)Labeling,若不成立,則對(duì)Coe(vi)與邊系數(shù)0組成的序列Coe做一次全排列.

    (4)若分配函數(shù)Labeling分配成功,則表示該圖存在EMTL,算法結(jié)束;若分配失敗,則繼續(xù)對(duì)Coe做一次全排列.

    (5)直到分配成功或者所有的全排列做完,則算法結(jié)束.若全排列做完后該圖還未標(biāo)號(hào)成功,則表示該圖為NEMTL圖.

    EMTL算法:

    輸入:圖G(p,q)鄰接矩陣

    輸出:圖G(p,q)標(biāo)號(hào)矩陣

    1 fori:1→p+q

    2 Num[i]=i;

    3 End for

    4 CalculateCoe();//計(jì)算Coe(vi)

    5 isContinue=true;

    6 while isContinue

    7 Sum=Calculate Sum(Coe,f(vi));

    8 If((Sum+C)%q==0)

    9 if(Allocation(0,0,matrix,Coe,f(vi)))

    10 isSuccess=true;

    11 isContinue=false;

    12 End if

    13 End if

    14 permutation(Coe);

    15 End while

    Allocation (0,0,matrix,Coe,f(vi))函數(shù)用來分配點(diǎn)、邊的標(biāo)號(hào).

    利用遞歸算法來分配標(biāo)號(hào),需遵守以下原則:

    (1)遞歸出口為當(dāng)前函數(shù)層數(shù)n超過了矩陣的行數(shù),則分配成功,返回true.

    (2)當(dāng)給當(dāng)前層的頂點(diǎn)分配元素時(shí),若該元素已被分配,則start++.

    (3)當(dāng)給當(dāng)前層的頂點(diǎn)分配元素時(shí),若該元素與之前分配過的元素存在邊,則計(jì)算該條邊的標(biāo)號(hào),若邊標(biāo)號(hào)存在于邊集合中,則刪除當(dāng)前元素,若不存在,則start++.

    (4)若當(dāng)前層的元素取值start超過當(dāng)前層元素的個(gè)數(shù),則退回上一層.

    (5)如第一層的元素取值超過第一層元素個(gè)數(shù),則退出,分配失敗,返回false.

    Allocation (0,0,matrix)函數(shù)描述:

    輸入:層數(shù)n,初始位置start,當(dāng)前層的矩陣matrix;

    輸出:如果存在則輸出EMTL,否則輸出NEMTL.

    1 If(n>=L_Matrix>Getlength(0))

    2 LabelMatrix=L_Matrix;

    3 return true;

    4 End if

    5 isContinue=true;

    6 While isContinue

    7 conflict = false;

    8 if (start大于當(dāng)前行所填元素個(gè)數(shù))

    9 isSuccess=false;

    10 End if

    11 if (當(dāng)前元素填入矩陣產(chǎn)生沖突)

    12 start++;

    13 else

    14 Allocation (n+1,0,T_Matrix);

    15 End if

    16 End while

    引理1EMTL算法搜索圖G(p,q)的EMTL解空間,如果有解,則圖G(p,q)為EMTL圖,否則為非邊幻和全標(biāo)號(hào)圖(簡(jiǎn)稱NEMTL圖).

    例1表1、2為圖集G(6,10)的系數(shù)變換過程;圖1為矩陣分配過程;圖2為G(6,10)的原圖和標(biāo)號(hào)圖.

    根據(jù)式(3)可得圖1的初始系數(shù)如表1所示.

    表1 初始系數(shù)

    當(dāng)系數(shù)變換為表2時(shí),存在正整數(shù)k=19,使得式(3)成立.

    表2 最終系數(shù)

    將系數(shù)分類之后得到5度點(diǎn)標(biāo)號(hào)為1,4度點(diǎn)標(biāo)號(hào)為2,3度點(diǎn)標(biāo)號(hào)為3、4、11,2度點(diǎn)標(biāo)號(hào)為8,將其填入鄰接矩陣,若存在沖突,則該系數(shù)不適合該鄰接矩陣,重新尋找下一組滿足式(3)的系數(shù)組合,如不存在沖突,則該圖標(biāo)號(hào)成功,該圖成功結(jié)果如圖2所示.

    3 定理、猜測(cè)和證明

    文中所有圖集是根據(jù)文獻(xiàn)[12]提供的算法,生成9個(gè)點(diǎn)內(nèi)的所有非同構(gòu)圖,用鄰接矩陣存儲(chǔ).

    實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境及硬件配置為

    處理器:Intel(R) Core(TM) i7-7700 CPU @ 3.60 GHz;RAM:64.0 GB;開發(fā)環(huán)境:Visual Studio 2017;開發(fā)語言:C#;繪圖工具:Microsoft Visual; Wolfram Mathematica 11;操作系統(tǒng):Windows 7,64位.

    定理1對(duì)于樹圖G(p,q),當(dāng)2≤p≤9時(shí),圖G均為SEMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于樹圖G(p,q),當(dāng)2≤p≤9時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表3.

    表3 樹圖的EMTL結(jié)果(2≤p≤9)

    (3)從表3可以看出,階數(shù)小于等于9的樹圖均為EMTL圖,且是SEMTL圖.

    (4)圖3為圖G(9,8)的兩個(gè)成功標(biāo)號(hào)示例.

    定理2對(duì)于單圈圖G(p,q),當(dāng)3≤p≤9時(shí)均有EMTL圖.

    證明(1)對(duì)于單圈圖G(p,q),當(dāng)3≤p≤9時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表4.

    表4 單圈圖的EMTL數(shù)目(3≤p≤9)

    (3)從表4可以看出,階數(shù)小于等于9的單圈圖均有EMTL圖.

    (4)圖4為圖G(9,9)的兩個(gè)成功標(biāo)號(hào)示例.

    定理3對(duì)于雙圈圖G(p,q),當(dāng)4≤p≤9時(shí)均有EMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于雙圈圖G(p,q),當(dāng)4≤p≤9時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表5.

    (3)從表5可以看出階數(shù)小于等于9的雙圈圖均有EMTL圖.

    表5 雙圈圖的EMTL數(shù)目 (4≤p≤9)

    (4)圖5為圖G(9,10)的兩個(gè)成功標(biāo)號(hào)示例.

    定理4對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+2時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+2時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表6.

    表6 圖G(p,p+2)的EMTL結(jié)果 (5≤p≤9)

    (3)從表6可以看出圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+2時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    (4)圖6為圖G(7,9)和圖G(9,11)成功標(biāo)號(hào)示例,圖7為圖G(6,8)和圖G(8,10)所有的NEMTL圖.

    猜測(cè)1對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+2時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    當(dāng)點(diǎn)數(shù)小于等于11時(shí),猜測(cè)1所表示的圖集結(jié)果如表7所示.

    表7 圖G(p,p+2)的EMTL結(jié)果(10≤p≤11)

    從表7的結(jié)果圖集中可以看出,當(dāng)10≤p≤11時(shí)符合猜測(cè)1.

    定理5對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+3時(shí)均有EMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+3時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表8.

    表8 圖G(p,p+3)的EMTL結(jié)果(5≤p≤9)

    (3)從表8可以看出圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+3時(shí)均有EMTL圖.

    (4)圖8為圖G(7,10)、G(8,11)、G(9,12)成功標(biāo)號(hào)示例.

    猜測(cè)2對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+3時(shí)均有EMTL圖.

    當(dāng)點(diǎn)數(shù)小于等于11時(shí),猜測(cè)2所表示的圖集結(jié)果如表9所示.

    表9 圖G(p,p+3)的EMTL結(jié)果(10≤p≤11)

    從表9的結(jié)果圖集中可以看出,當(dāng)10≤p≤11時(shí)符合猜測(cè)2.

    定理6對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+4時(shí),除圖9外均為EMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+4時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果表10.

    (3)從表10可以看出圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+4時(shí),除圖9外均為EMTL圖.

    表10 圖G(p,p+4)的EMTL結(jié)果(5≤p≤9)

    (4)圖10為圖G(7,11)、G(8,12)、G(9,13)成功標(biāo)號(hào)示例.

    猜測(cè)3對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+4時(shí),均為EMTL圖.

    當(dāng)點(diǎn)數(shù)小于等于11時(shí),猜測(cè)3所表示的圖集結(jié)果如表11所示.

    表11 圖G(p,p+4)的EMTL結(jié)果(10≤p≤11)

    從表11的結(jié)果圖集中可以看出,當(dāng)10≤p≤11時(shí)符合猜測(cè)3.

    定理7對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+5時(shí)均有EMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+5時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表12.

    表12 圖G(p,p+5)的EMTL結(jié)果(5≤p≤9)

    (3)從表12可以看出圖G(p,q),當(dāng)5≤p≤9,q=p+5時(shí)均有EMTL圖.

    (4)圖11為圖G(7,12)、G(8,13)、G(9,14)成功標(biāo)號(hào)示例.

    猜測(cè)4對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+5時(shí)均有EMTL圖.

    定理8對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+6時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖中不存在NEMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+6時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表13.

    表13 圖G(p,p+6)的EMTL結(jié)果(6≤p≤9)

    (3)從表13可以看出圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+6時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖中不存在NEMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    (4)圖12為圖G(p,p+6)成功標(biāo)號(hào)示例.

    猜測(cè)5對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+6時(shí),如果p≡1(mod 2),該類圖中不存在NEMTL圖,如果p≡0(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    定理9對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+7時(shí),均為EMTL圖,且不存在SEMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+7時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表14.

    表14 圖G(p,p+7)的EMTL結(jié)果(6≤p≤9)

    (3)從表14可以看出圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+7時(shí)均為EMTL圖,且不存在SEMTL圖.

    (4)圖13為圖G(7,14)、G(8,15)、G(9,16)成功標(biāo)號(hào)示例.

    猜測(cè)6對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+7時(shí),均為EMTL圖,且不存在SEMTL圖.

    定理10對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+8時(shí),如果p≡0(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡1(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    證明

    (1)對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+8時(shí),根據(jù)式(2)判斷每個(gè)圖理論上是否存在無解.

    (2)利用EMTL算法,得到結(jié)果見表15.

    (3)從表15可以看出圖G(p,q),當(dāng)6≤p≤9,q=p+8時(shí),如果p≡0(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡1(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖,且只有一個(gè)非邊幻和全標(biāo)號(hào)圖.

    表15 圖G(p,p+8)的EMTL結(jié)果(6≤p≤9)

    (4)圖14為圖G(6,14)、G(7,15)、G(8,16)、G(9,17)成功標(biāo)號(hào)的邊幻和全標(biāo)號(hào)圖及圖G(7,15)、G(9,17)圖集中的非邊幻和全標(biāo)號(hào)圖.

    猜測(cè)7對(duì)于圖G(p,q),當(dāng)p≥10,q=p+8時(shí),如果p≡0(mod 2),該類圖均為EMTL圖,如果p≡1(mod 2),則該類圖存在NEMTL圖.

    4 結(jié) 語

    本文設(shè)計(jì)了一種EMTL算法,引入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并采用遞歸的方式進(jìn)行標(biāo)號(hào)分配.使用該算法對(duì)9個(gè)點(diǎn)以內(nèi)的所有簡(jiǎn)單連通圖進(jìn)行計(jì)算并得到所有圖的EMTL或NEMTL結(jié)果,通過分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)圖G(p,q)滿足一定條件時(shí),該類圖有EMTL或NEMTL圖,給出了10個(gè)定理,并給出相關(guān)猜測(cè).由于圖集較大,故驗(yàn)證了部分圖集,結(jié)果證明部分猜測(cè)當(dāng)10≤p≤11時(shí)也是成立的.

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