例談嚴(yán)謹(jǐn)與靈活數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗的積累

王翠

摘要：在數(shù)學(xué)思維活動中，嚴(yán)謹(jǐn)與靈活共生并存、相輔相成。要幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)與靈活（相結(jié)合）的思維活動經(jīng)驗，可以有以下策略：變式中見靈活，讓本質(zhì)源于感知、歸于思辨;聯(lián)結(jié)中現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)，讓因果散于分析、收于整合;統(tǒng)整中顯融合，讓思維嚴(yán)謹(jǐn)與靈活并存。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗嚴(yán)謹(jǐn)與靈活變式聯(lián)結(jié)統(tǒng)整

現(xiàn)代教育理念指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)像數(shù)學(xué)研究一樣，是一種問題驅(qū)動的探索（探究）性活動，要經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的過程。這種探索性活動的基本過程是猜想與證明（驗證或論證）或反駁（證偽）的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升。

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科。數(shù)學(xué)的探索主要是思維的探索。從思維的角度看，證明與反駁強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性（對數(shù)學(xué)對象的敘述要精確，對數(shù)學(xué)結(jié)論的論證要周密，要將有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容組成一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng)），猜想強(qiáng)調(diào)思維的靈活性（能從不同的角度抓住問題情境的特征，靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，不斷調(diào)整思維方向去解決問題;能具體問題具體分析，根據(jù)情況的變化及時調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活選擇最優(yōu)的思維過程與方法去解決問題）。可見，在數(shù)學(xué)思維活動中，嚴(yán)謹(jǐn)與靈活共生并存、相輔相成。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生積累嚴(yán)謹(jǐn)與靈活（相結(jié)合）的思維活動經(jīng)驗，發(fā)展相應(yīng)的思維能力。具體地，可以有以下策略：

一、變式中見靈活，讓本質(zhì)源于感知、歸于思辨

小學(xué)生還處于從具體形象思維到抽象邏輯思維過渡的階段，解決問題的思路與方法多源于感知，見于想象與直覺。此時的學(xué)生往往不能透過表象看本質(zhì)，思維容易單一化，不能舉一反三。對此，我們在教學(xué)中可以不斷變換直觀材料，并引導(dǎo)學(xué)生變更觀察角度，從而突出本質(zhì)要素，讓學(xué)生的思維在變式中變得靈活。

例如，解決組合圖形的表面積問題時，部分學(xué)生注重公式的記憶，忽視概念的本質(zhì)，因而思維固化。對此，我打破教學(xué)常規(guī)，專門設(shè)計了《正方體表面積的變化》一課，讓學(xué)生的思維在變式中不斷活化。

課前，讓學(xué)生準(zhǔn)備棱長10厘米的白色正方體、棱長5厘米的紅色正方體和棱長3厘米的黑色正方體各1個。

課上，先讓學(xué)生畫出或想象一樣大的2個正方體拼接在一起的情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：表面積減少了2個面的面積，所以可以用2個正方體的表面積減去2個面的面積。接著，引導(dǎo)學(xué)生深入思考：一樣大的3個正方體拼接在一起，表面積減少了什么？學(xué)生推想（算）得到：4個面的面積。由此，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：以此類推，一樣大的n個正方體拼接在一起，重合了n-1次，表面積減少了2（n-1）個面的面積（因為每重合一次，就有2個面被遮住了）。

然后，讓學(xué)生操作實物，研究一大一小2個正方體拼接在一起的情況（如圖1），學(xué)生得到兩種計算方法：（1）大正方體的表面積+小正方體的表面積-2個小正方體的面的面積;（2）大正方體的表面積+4個小正方體的面的面積（2個小正方體的面被遮住了，所以只加4個）。由此，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：一大一小2個正方體拼接，表面積的變化是減少2個較小的面的面積。

最后，讓學(xué)生操作實物，研究一大一中一小3個正方體拼接在一起的情況，學(xué)生經(jīng)過充分的操作、思考和討論，發(fā)現(xiàn)6種情況：三種一字形，即寶塔形（如圖2）、橄欖形（如圖3）、啞鈴形（如圖4）;兩種L字形（如圖5、圖6）;一種拐角形（如圖7）。并依次得到表面積減少的情況：圖2、圖3、圖5、圖6中都減少了2個中正方體的面的面積和2個小正方體的面的面積;圖4中減少了4個小正方體的面的面積;圖7中情況減少了2個中正方體的面的面積和4個小正方體的面的面積。由此，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：圖2—圖6中都重合了2次，因此，要減去4個面的面積;圖4中2次重合都有小正方體的參與，因此，減去的都是小正方體的面的面積，此時，減少得最少，所求的表面積最大;圖7中重合了3次，因此，要減去6個面的面積，此時，減少得最多，所求的表面積最小。

這里的一系列表面積變化問題的變式，由簡到繁、由淺入深，從一樣大的正方體拼接到不一樣大的正方體拼接、從2個正方體拼接到3個（或更多）正方體拼接，引導(dǎo)學(xué)生逐步打開思維，舉一反三，從感知走向思辨，找到變化中的不變：每次重合都要減去2個較小的面的面積。由此，學(xué)生突破了對公式的模式化記憶，真正透過表象掌握了表面積變化的本質(zhì)，提升了思維的靈活性。

二、聯(lián)結(jié)中現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)，讓因果散于分析、收于整合

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要知道知識是什么，而且要洞察為什么，從而讓知識組成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng)。所以，我們在教學(xué)中不僅要注重“變”，而且要注重“聯(lián)”：洞悉數(shù)學(xué)知識的源流關(guān)系，把握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)結(jié)、把握因果（及相關(guān)）關(guān)系，從點狀分析走向塊狀整合，以提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

例如，教學(xué)《乘法分配律》一課，教師往往引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜測—驗證的過程。但是，舉例驗證最大的問題就是不完全歸納的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠、說服力不強(qiáng)——即便所舉的數(shù)量較大。怎樣讓乘法分配律的獲得變得嚴(yán)謹(jǐn)一些？考慮到一般來說，乘法分配律的形式化證明超出了小學(xué)生的理解能力，許衛(wèi)兵老師轉(zhuǎn)換表征，化“數(shù)”為“形”，引導(dǎo)學(xué)生直觀思考乘法分配律的“為什么”。

教師創(chuàng)設(shè)三兄弟種菜的情境，先出示老大的菜地圖（如圖8），要求學(xué)生列式算出青菜地和蘿卜地的面積和。學(xué)生完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流算法，板書分開來算和合起來算兩種思路的算式，進(jìn)而建立等式（6+2）×9=6×9+2×9。然后，教師追問：為什么可以合起來算？學(xué)生把兩個長方形左右相拼（如圖9）。

教師再出示老二的菜地圖（如圖10），要求學(xué)生列式計算兩塊地的面積和。學(xué)生完成后，教師追問：為什么不合起來算了？學(xué)生回答：沒有相同長度的邊，不能拼成大的長方形。

教師又出示老三的菜地圖（如圖11），要求學(xué)生列式計算兩塊地的面積和。學(xué)生完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流算法，板書分開來算和合起來算兩種思路的算式，進(jìn)而建立等式（8+3）×6=8×6+3×6。然后，教師追問：為什么又可以合起來算了？學(xué)生把兩個長方形上下相拼（如圖12），并說明：有相同長度的邊，可以拼成大的長方形。

引發(fā)了（a+b）×c=a×c+b×c的一般化猜想后，教師讓學(xué)生舉例驗證，然后提問：這個發(fā)現(xiàn)也可以看成兩個長方形面積和的不同算法嗎？接著，出示圖13并提問：如果它是甲、乙兩個長方形的面積和，那么，a、b、c分別是圖中哪里的長度？

這里，許老師抓住數(shù)和形的聯(lián)系，將“乘法分配律”和“長方形的面積計算”聯(lián)結(jié)起來，讓學(xué)生用形的特征去思考數(shù)的規(guī)律，起到了“四兩撥千斤”的作用，并讓乘法分配律的獲得變得更嚴(yán)謹(jǐn)?！袄洗蟮牟说亍眴栴}初顯乘法分配律的雛形;“老二的菜地”問題變成了反例，引導(dǎo)學(xué)生思考乘法分配律的關(guān)鍵要素（本質(zhì)特征）;“老三的菜地”問題又變成了不同的正例（一個長方形的長和另一個長方形的寬相等），從而凸顯了乘法分配律的關(guān)鍵要素——有相同的乘數(shù)。

三、統(tǒng)整中顯融合，讓思維嚴(yán)謹(jǐn)與靈活并存

所謂統(tǒng)整，是指在“變”中求“聯(lián)”，從知識點到知識塊再到知識群，進(jìn)而建立知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知系統(tǒng)。這樣的建構(gòu)過程可以融合思維活動經(jīng)驗的嚴(yán)謹(jǐn)性（有聯(lián)系）與靈活性（有變化）。

例如，“角的度量”一直都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。究其原因：其一，角的大小是二維屬性，雖然學(xué)生有豐富的長度度量經(jīng)驗，但是一維空間的度量經(jīng)驗不容易正遷移到二維空間的度量中;其二，量角器的結(jié)構(gòu)比學(xué)生熟悉的直尺復(fù)雜。對此，可以統(tǒng)整“測量”的有關(guān)內(nèi)容，從直尺這一“量長度器”的使用出發(fā)，在“變”中求“聯(lián)”，類比引出量角器的作用和用法，進(jìn)而感悟和揭示測量的本質(zhì)，復(fù)習(xí)或鋪墊其他量的測量。簡要教學(xué)設(shè)計如下：

1.激活已有經(jīng)驗。

提問：角的度量單位是什么？度量工具是什么？

啟發(fā)：我們以前用直尺來測量長度，用1厘米的長度來作為標(biāo)準(zhǔn)，有幾個1厘米就是幾厘米。

2.認(rèn)識1°角。

聯(lián)系：角的單位是度（°），尺子上有1厘米，那量角器上就應(yīng)該有1°。

活動：在量角器上找一找1°在哪。

學(xué)生在找1°時認(rèn)識量角器，發(fā)現(xiàn)：相鄰兩條刻度線之間都是1°，一共有180個1°。

介紹：雖然1°很小，可是它非常重要，是計量角的大小的一個基本單位。

3.認(rèn)識10°角。

活動：在量角器上找一找10°的角。

小結(jié)：無論怎么找，只要有10個1°，這個角的大小就是10°。

4.探索量角的方法（略）。

5.建構(gòu)知識的聯(lián)系。

提問：長度的度量和角的度量有什么相同的地方？

小結(jié)：測量長度時，產(chǎn)生度量工具“量長度器——尺”的需求，建立1厘米的概念，認(rèn)識幾厘米就是幾個1厘米的疊加;測量角的大小時，產(chǎn)生度量工具“量角器”的需求，建立1°的概念，知道幾度就是幾個1°的疊加。

延伸：除了度量長度、角，其實我們還度量過面積、質(zhì)量，將來我們還要度量體積等，這些度量之間有很多相通的地方，希望同學(xué)們可以帶著這樣的經(jīng)驗繼續(xù)學(xué)習(xí)。

這里，教師通過“統(tǒng)整”，讓學(xué)生感悟到無論測量長度還是測量角，就本質(zhì)而言，都是看“某一個長度、角里有多少個度量單位”，從而融合了“測量”的有關(guān)經(jīng)驗。在這一過程中，學(xué)生將已有的經(jīng)驗“1厘米”“直尺”與新知識“1°”“量角器”類比關(guān)聯(lián)，從而抽象出測量的本質(zhì)，使得思維趨于嚴(yán)謹(jǐn);在此基礎(chǔ)上，又變化擴(kuò)展到測量領(lǐng)域的其他內(nèi)容，做到舉一反三，使得思維更加靈活。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“小學(xué)數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗形成的案例研究”（編號：Ca/2016/02/01）的階段性研究成果。

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