數(shù)學(xué)思維可視化工具的類型及其應(yīng)用

沈利玲

摘 要?? ? 數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性邏輯思維的學(xué)科，對小學(xué)生來說難度較大。因此可以采取一些數(shù)學(xué)思維可視化工具輔助學(xué)習(xí)，通過量化的圖表更直觀地反應(yīng)變量數(shù)值及變化過程，降低學(xué)習(xí)難度，同時拓展學(xué)生的思維空間。小學(xué)數(shù)學(xué)思維可視化工具分為思維地圖、思維導(dǎo)圖、概念圖三大類別。分析思維圖表對數(shù)學(xué)概念闡述的不同效果，以及對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的不同影響，可以為教師提供一定的參考借鑒。

關(guān)鍵詞? 小學(xué)數(shù)學(xué) 可視化工具 思維導(dǎo)圖 思維地圖

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，復(fù)雜的邏輯關(guān)系、主題與客體的相互作用共同催生了數(shù)學(xué)認(rèn)知的思維活動。抽象的數(shù)學(xué)概念借助一系列具象載體和介質(zhì)在主體的印象中形成新的認(rèn)知。如何確保認(rèn)知的準(zhǔn)確性，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，降低認(rèn)知難度，是檢測數(shù)學(xué)思維可視化應(yīng)用的重要指標(biāo)。數(shù)學(xué)的符號體系是一個完整而復(fù)雜的系統(tǒng)，各類符號和圖像之間都有著密不可分的邏輯關(guān)系。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號體系相對簡單，種類也有限，為了方便小學(xué)生理解應(yīng)用，可以通過淺顯易懂的方式將抽象難懂的數(shù)學(xué)邏輯概念轉(zhuǎn)化成適合小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識。可視化工具的衍生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者來說是便捷而快速的學(xué)習(xí)途徑之一，也是較為獨特的一種數(shù)學(xué)語言，不僅能夠提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，更能夠拓展學(xué)習(xí)思維，鍛煉學(xué)習(xí)者的探索能力。

一、思維地圖及其應(yīng)用

思維地圖工具在1988年Expand Your Thinking一書中被首次公開提出，作為一種數(shù)學(xué)可視化工具，它的誕生使越來越多的教育工作者形成了新的知識體系構(gòu)建途徑。思維地圖具有精準(zhǔn)的概念闡述及類比功能，可對某一個晦澀難懂的知識點進(jìn)行詳細(xì)闡述，并將多個相似概念放在一起類比，分析異同，研究各個概念間的相互關(guān)系，形成更為完善的知識體系框架。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的思維地圖包括以下幾種。

1.圓圈圖

圓圈圖是思維地圖中一種十分常見的表現(xiàn)形式，能夠鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)變式能力、數(shù)學(xué)推理能力及數(shù)學(xué)概念的概括能力，鍛煉學(xué)生對各類數(shù)學(xué)要素的協(xié)調(diào)能力，提高整體的數(shù)學(xué)思維能力。

圓圈圖的繪制方法相對簡單，以某一個概念為中心，列舉同類對象。由于小學(xué)生思維模式較為簡單，所學(xué)內(nèi)容也有限，因此可自由格式書寫，不限數(shù)量，盡可能地將能夠想到的抽象、具象的圖像符號與核心數(shù)學(xué)概念相聯(lián)系，在同一幅圓圈圖中加以體現(xiàn)。通過圓圈圖的直觀體現(xiàn)，分析各個對象的共同特征，得出這一概念的特征和性質(zhì)。

以人教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”為例，教師帶領(lǐng)學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)形式和含義后，可以鼓勵學(xué)生自己創(chuàng)作圓圈圖，在圓圈圖中盡可能地例舉的表現(xiàn)形式。例如統(tǒng)計中學(xué)過的餅狀圖，小數(shù)中學(xué)過的0.25，通分之后，以及多種幾何平面表現(xiàn)形式（圖1），充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，鍛煉小學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生從多個維度進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，同時鞏固所學(xué)知識內(nèi)容。

2.氣泡圖

氣泡圖也是思維地圖中較為常用的一種表現(xiàn)形式，一般用來做發(fā)散思維訓(xùn)練，總結(jié)某一個概念的各種特性。和圓圈圖不同的是，氣泡圖中每一個氣泡都可相互關(guān)聯(lián)又相互獨立，圍繞著核心概念形成一個完整而有邏輯的整體。氣泡圖能夠提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的分析總結(jié)能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，鍛煉學(xué)生的邏輯能力和探索能力。還是以人教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊第四單元“分?jǐn)?shù)的意義”為例，在學(xué)習(xí)這一課后，教師可要求學(xué)生繪制氣泡圖來檢驗學(xué)生的知識掌握情況。如圖2，是分?jǐn)?shù)的氣泡圖，以分?jǐn)?shù)這一核心概念為出發(fā)點，分散出五個特征概念：可以化成小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，表示一個物體中的幾份，也可以通分和約分，表示一些物體中的幾份。

氣泡圖除了表現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的特性，還可以用來對比兩個概念之間的區(qū)別及關(guān)系，探究二者之間的不同。在氣泡圖的眾多表現(xiàn)形式中有一種獨特的形式——雙泡圖。雙泡圖的產(chǎn)生源于對兩個相似概念的探究，輔助學(xué)生進(jìn)行類比推理，通過對比兩個不同概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確二者在應(yīng)用過程中的相似性。學(xué)生在掌握了新概念之后，通過與舊概念的類比，得出二者之間的相同屬性與不同屬性。繪制雙泡圖，進(jìn)一步探究兩個概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的不同應(yīng)用模式與運用法則，同時也對二者做了合理區(qū)分，避免學(xué)生由于二者的相似之處產(chǎn)生思維混淆。圖3為雙泡圖所表示的整數(shù)和小數(shù)的特征區(qū)別，用于幫助學(xué)生歸納整理，區(qū)分整數(shù)和小數(shù)的特點，更加準(zhǔn)確地完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)。

3.樹形圖

樹形圖顧名思義，類似于樹狀，又名Tree Map，由一個頂端概念出發(fā)，由上到下分裂出數(shù)層分支，每個分支標(biāo)明不同的概念，逐層分散解釋。樹狀圖的衍生主要是用于對知識體系的整理，使學(xué)生理解各類概念之間的包含關(guān)系。通常情況下，頂端的上位概念范圍比較大，末端的下位概念則屬于具體的小范圍概念，甚至是某一個具體的數(shù)值。

以人教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊為例，圖4是這冊教材知識的樹形圖分析，將各單元打散重組，歸納整合，分為4個大板塊——數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合實踐，各個板塊下面還有細(xì)分，如數(shù)與代數(shù)可細(xì)分為數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、探索規(guī)律，數(shù)的認(rèn)識下面可以列舉第一單元“大數(shù)的認(rèn)識”，統(tǒng)計與概率中統(tǒng)計下面可列舉第七單元“條形統(tǒng)計圖”。對同一個大概念，每個人的思維體系不一樣，思維認(rèn)知也不一樣，可以說，越是龐大的概念，每個人繪制的思維地圖就越是千差萬別。

4.括號圖

括號圖與樹形圖十分相似，樹狀圖為上下結(jié)構(gòu)，括號圖則為左右結(jié)構(gòu)，所表現(xiàn)的是部分與整體之間的邏輯關(guān)系。括號圖相比于樹形圖在形態(tài)上更加清晰，且從左到右的排列方式更加符合日常閱讀順序。

在人教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊第五單元“三角形”的教學(xué)中，可以根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的幾何圖形繪制一張括號圖（圖5）。

括號圖不僅僅被應(yīng)用于數(shù)學(xué)課程，在其他學(xué)科中也是常見的歸納模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，能夠幫助小學(xué)生塑造邏輯思維和系統(tǒng)歸納意識，化繁為簡，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，提高小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

二、思維導(dǎo)圖及其應(yīng)用

思維導(dǎo)圖是一種極富邏輯性和發(fā)散性的系統(tǒng)歸納方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，合理地運用思維導(dǎo)圖能夠使小學(xué)生從小掌握分析能力，鍛煉他們的發(fā)散性思維和聯(lián)想能力，培養(yǎng)他們的分類認(rèn)知。

思維導(dǎo)圖常常被應(yīng)用在學(xué)科內(nèi)容復(fù)習(xí)階段，更加注重學(xué)生知識體系的自主梳理和建構(gòu)，鼓勵學(xué)生自主設(shè)計、自主羅列、自主學(xué)習(xí)，鼓勵學(xué)生獨立思考，親自參與對學(xué)科體系的建構(gòu)過程，增強(qiáng)記憶。繪制思維導(dǎo)圖也是檢驗學(xué)生對學(xué)科內(nèi)容知識的掌握情況的重要指標(biāo)。除此之外，思維導(dǎo)圖還是學(xué)生自我評價的重要工具，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在對學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行評估時，應(yīng)該對學(xué)生的自我評估和相互評估予以保留”。思維導(dǎo)圖的誕生無疑是學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容最好的評價與反饋，透過思維導(dǎo)圖，我們能夠充分了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的困難以及知識點的遺漏，使學(xué)生的知識體系和網(wǎng)絡(luò)得到進(jìn)一步的完善。

思維導(dǎo)圖對學(xué)生學(xué)習(xí)方式也有一定的調(diào)節(jié)作用，通過思維導(dǎo)圖的繪制，學(xué)生能夠創(chuàng)造性地聯(lián)系各個知識模塊，主動思考各個知識體系之間的聯(lián)系，變被動為主動，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。圖6為小學(xué)除法課程思維導(dǎo)圖示例。

三、概念圖及其應(yīng)用

概念圖能夠有效地將課堂上較為抽象的、晦澀難懂的知識點變得直觀易懂，更加具體形象，便于學(xué)生掌握。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念圖繪制，更加側(cè)重于不同概念之間的規(guī)律、聯(lián)系。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)效果往往和學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)熱情直接掛鉤，因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該注意對學(xué)生興趣的培養(yǎng)，利用概念圖化解數(shù)學(xué)概念的抽象性，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，在潛移默化中使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。

在識圖階段，教師應(yīng)該合理整合教學(xué)資源，不斷變換視圖方式，利用學(xué)生的好奇心，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)課程的趣味性，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，打造高效課堂。

在繪圖階段，教師要指導(dǎo)學(xué)生自主繪圖，并且強(qiáng)調(diào)繪圖質(zhì)量，在保證學(xué)生能夠完整表達(dá)自己的知識體系的同時，盡可能地提高繪圖水平，使概念圖清晰明了，新舊知識點一目了然。這不僅能夠幫助學(xué)生鞏固知識體系，還能夠培養(yǎng)學(xué)生動手實踐的能力和創(chuàng)新性的思維模式。

除此之外，要注重對學(xué)生用圖意識的塑造，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中獨立完成概念圖的繪制工作，根據(jù)自己的知識體系呈現(xiàn)做自我反省檢查、查漏補(bǔ)缺，完善數(shù)學(xué)概念網(wǎng)認(rèn)知絡(luò)。尤其是在復(fù)習(xí)階段，概念圖的知識體系能夠濃縮教材重點，化抽象為具體，指導(dǎo)學(xué)生針對自己的薄弱模塊加大復(fù)習(xí)力度，節(jié)約復(fù)習(xí)時間，提高復(fù)習(xí)效率。圖7為平面圖形相關(guān)知識的概念圖示例。

參考文獻(xiàn)

[1] 郭琳，楊培禾.小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中思維地圖的應(yīng)用研究[J].首都師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2017，38（04）.

[2] 史佳寧.思維地圖在小學(xué)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)中的應(yīng)用[C].全國數(shù)學(xué)教育研究會.全國數(shù)學(xué)教育研究會2016年國際學(xué)術(shù)年會論文集.全國數(shù)學(xué)教育研究會：中國高教學(xué)會高等師范教育研究會數(shù)學(xué)教育會，2016.

[3] 費晴.用思維導(dǎo)圖助力學(xué)生構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)單元知識體系[J].西藏教育，2019（12）.

[4]劉濤.淺談思維導(dǎo)圖在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用[C].廣西寫作學(xué)會教學(xué)研究專業(yè)委員會.2019年教學(xué)研究與教學(xué)寫作創(chuàng)新論壇成果集匯編（二）.廣西寫作學(xué)會教學(xué)研究專業(yè)委員會：廣西寫作學(xué)會教學(xué)研究專業(yè)委員會，2019.

[5] 盛文玲.思維導(dǎo)圖在小學(xué)數(shù)學(xué)高年段單元復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2019（52）.

[6] 束佩芳.借助思維導(dǎo)圖，提升數(shù)學(xué)思維——以蘇教版一年級小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（34）.

[7] 黃麗麗.思維地圖在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].廈門：集美大學(xué)，2017.

[8] 俞娟.思維導(dǎo)圖在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用[C].中國智慧工程研究會智能學(xué)習(xí)與創(chuàng)新研究工作委員會.2019年教育信息化與教育技術(shù)創(chuàng)新學(xué)術(shù)論壇年會論文集.中國智慧工程研究會智能學(xué)習(xí)與創(chuàng)新研究工作委員會：重慶市鼎耘文化傳播有限公司，2019.

[9] 張海英.以圖融數(shù)，讓數(shù)學(xué)課程更美一些——小學(xué)數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖的有效融合研究[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（32）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]