掌握學(xué)科基本結(jié)構(gòu)對提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的意義

李志軍

（江蘇省常州市新北區(qū)三井實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

布魯納認(rèn)為：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解（掌握）該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)，包括該學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法。他還認(rèn)為：“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！笨梢?，他的結(jié)構(gòu)說包含事物之間的相互聯(lián)系和規(guī)律性，具有“普遍而強(qiáng)有力的適用性”。重視學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，懂得了基本原理，能使學(xué)科知識變得更容易理解。這樣，也有助于學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的記憶與理解，有助于增進(jìn)學(xué)習(xí)中的遷移，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)或?qū)W習(xí)興趣，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

一、掌握知識結(jié)構(gòu)，突顯知識本質(zhì)

現(xiàn)行的大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中常將學(xué)科結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解和重編，讓學(xué)生一點(diǎn)一點(diǎn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷循環(huán)，螺旋上升。而作為數(shù)學(xué)教師，要還原數(shù)學(xué)本來的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生看到或觸摸到數(shù)學(xué)知識核心的完整樣子，使其感悟到隱藏于知識背后的數(shù)學(xué)思想。

（一）知識體系結(jié)構(gòu)

菲利克斯·克萊因說：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程，以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過。”由此類推，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該了解初等數(shù)學(xué)的體系和結(jié)構(gòu)，要了解初等數(shù)學(xué)史。只有這樣，才能更好地把握教學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生良好的數(shù)學(xué)教育。

如“分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容。何為分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于實(shí)際測量與均分。在數(shù)學(xué)史中，由于分?jǐn)?shù)意義的抽象及分?jǐn)?shù)的表達(dá)方式的繁瑣，使得分?jǐn)?shù)的發(fā)展陷于僵局。直至將分?jǐn)?shù)與除法聯(lián)系了起來，發(fā)現(xiàn)了“在除法中，為了使除法運(yùn)算總可以施行，可以用分?jǐn)?shù)表示除法的商”之后，分?jǐn)?shù)才被更多的人所接受，分?jǐn)?shù)的意義也才有了不同的定義，分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)也才有了較大的拓展。分?jǐn)?shù)被定義為是“正整數(shù)p 除以正整數(shù)q 的商”，并作了補(bǔ)充定義：當(dāng)

關(guān)于分?jǐn)?shù)，著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生還給出了四種定義。

份數(shù)定義：分?jǐn)?shù)表示把一個單位平均分成若干份之后表示其中一份或幾份的數(shù)。

商的定義：分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。

比的定義：分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比。公理定義：有序的整數(shù)對（p，q），其中p≠0。

解讀分?jǐn)?shù)發(fā)生發(fā)展的歷史，有利于我們把握分?jǐn)?shù)的知識本質(zhì)。雖然現(xiàn)行的教材編排有所不同，但他們都還原了分?jǐn)?shù)的發(fā)展歷史，即先從測量或均分開始，初步感知分?jǐn)?shù)的意義，再通過分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系比較拓展分?jǐn)?shù)的意義。這樣的編排，既符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，又利于學(xué)生把握分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。

（二）教材編排結(jié)構(gòu)

任何教學(xué)方式、方法的創(chuàng)新，都離不開教師對本學(xué)科教學(xué)內(nèi)容實(shí)質(zhì)的理解和把握，離不開對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的了解和尊重。只有科學(xué)、準(zhǔn)確、深入地理解教材，才能用好教材，才能做到因材施教。

教材在編寫“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”這部分內(nèi)容時有兩條線，第一條線就是對“1”的理解。三年級上冊“分?jǐn)?shù)”這一章，在教學(xué)概念時，教材中感知的是把單個物體看做一個具體形象的整體，把這個具象整體平均分成幾份，每份是這個具象整體的幾分之一。所以單個物體實(shí)體就是一個具象整體概念“1”。

三年級下冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”則是把多個物質(zhì)實(shí)體看做一個抽象的整體，所以多個物質(zhì)實(shí)體的集合就是一個抽象整體概念“1”，顯性呈現(xiàn)就是由1 個蘋果到1 筐蘋果的單位“由個到筐”。由原來單個的具象整體到多個物質(zhì)實(shí)體集合的抽象整體，是學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一次質(zhì)的飛躍。因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真復(fù)習(xí)三年級下冊的“一個整體平均分”，處理好“個數(shù)”與“份數(shù)”的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上揭示，把一個物體、一個計(jì)量單位、一些物體組成的整體都可以用自然數(shù)“1”來表示，這就是單位“1”。得到單位“1”之后，還要引導(dǎo)學(xué)生與自然數(shù)1 進(jìn)行比較，以突出單位“1”的意義。

第二條線就是對關(guān)系的理解。教材從三年級開始一直到五年級上冊的前面部分，更多的是理解部分與整體之間的關(guān)系。就是學(xué)生所理解的均分的定義，即把一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系后，分?jǐn)?shù)更多的是表示兩個量之間的關(guān)系，這就不僅是部分與整體之間的關(guān)系，也表示兩個相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系，更可以表示整體與部分之間的關(guān)系，就出現(xiàn)了假分?jǐn)?shù)。再到六年級上冊學(xué)習(xí)“比”時，溝通了分?jǐn)?shù)與比之間的關(guān)系。這樣，既尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又突出了分?jǐn)?shù)的知識本質(zhì)。

整體理解教材的編排結(jié)構(gòu)，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時，我們就會有不一樣的認(rèn)識，就不會一味地強(qiáng)調(diào)“平均分成若干份，取這樣的一份或幾份”了。由此可以看出，教材的編排注重知識之間的聯(lián)系，通過“橫向遷移”與“縱向深入”，不斷推動學(xué)生深入對相關(guān)數(shù)學(xué)知識、思想方法、活動經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)。

（三）數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)

在理解教材編排結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步讀懂教材，理解教材知識的呈現(xiàn)方式，把握其中所內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法。相關(guān)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識背景、學(xué)生認(rèn)知方式、內(nèi)化途徑等決定著教材知識呈現(xiàn)的方式。反過來說，只有理解了編排方式，讀懂了其中內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法，才能更好地去教學(xué)。

如五年級上冊“平行四邊形的面積計(jì)算”，其在進(jìn)行公式的推導(dǎo)時，教材安排了三個例題。

這三個例題之間有著怎樣的邏輯關(guān)系呢？怎樣引領(lǐng)學(xué)生的思維，讓他們能夠通過對平行四邊形面積公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí)，掌握一般平面圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法呢？這是我們在解讀教學(xué)內(nèi)容時需要思考的問題。研讀教材，會發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含這樣的思考探究過程：例1 是通過轉(zhuǎn)化前后的面積是否相等，告訴學(xué)生圖形的轉(zhuǎn)化要以面積相等為基礎(chǔ)；同時，也正是由于面積相等，所以才能通過轉(zhuǎn)化來推導(dǎo)圖形的面積計(jì)算公式，這是面積公式推導(dǎo)的基石。例2 是直接提出問題“你能把右邊的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形嗎？”這讓很多教師感到困惑，這樣不是會減少學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化的靈活性嗎？其實(shí)不然，有向轉(zhuǎn)化，正是面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維基礎(chǔ)。要求推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式，那就必須轉(zhuǎn)化為學(xué)過的長方形。因此，就要以長方形的特征為思維基礎(chǔ)，進(jìn)行有向轉(zhuǎn)化，只有概括長方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結(jié)論，也為以后面積計(jì)算公式推導(dǎo)提供思維路徑。例3 則是通過教材第115 頁提供的各種形式的平行四邊形，讓學(xué)生從中任意挑選，并提供表格讓學(xué)生交流、比較，意在讓學(xué)生明確這樣的關(guān)系比較普遍。最后，通過與長方形進(jìn)行對比和簡單演繹推理過程，得出平行四邊形面積計(jì)算公式。這樣就是從等積變形（轉(zhuǎn)化后與轉(zhuǎn)化前面積相等）→有向轉(zhuǎn)化（沿高剪開轉(zhuǎn)化成已學(xué)過面積公式圖形）→更多舉例（經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納過程）→公式表達(dá)（由圖形各要素關(guān)系導(dǎo)出計(jì)算公式）的過程。

正是這三個例題中蘊(yùn)含的四個思考過程，把平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維路徑展開得科學(xué)合理。教學(xué)時要把這樣的展開邏輯讓學(xué)生充分經(jīng)歷、體驗(yàn)和感悟，形成思維結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生在今后的平面圖形面積計(jì)算公式乃至立體圖形體積計(jì)算公式等推導(dǎo)的學(xué)習(xí)過程中，自覺運(yùn)用，形成正向遷移。

二、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率

布魯納認(rèn)為：“學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用（同化），形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程?！蓖晚槕?yīng)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的兩種途徑和方式，知識之間的關(guān)系是多向的，有并列、遞進(jìn)、從屬等關(guān)系。學(xué)生對新內(nèi)容的理解與存儲需要進(jìn)行類比遷移與內(nèi)化，需要讓新舊內(nèi)容產(chǎn)生意義聯(lián)接，在同化、順應(yīng)中形成更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）教學(xué)推進(jìn)結(jié)構(gòu)

建構(gòu)原理指出：“學(xué)生開始學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理或法則時，要以最合適的方法建構(gòu)其代表。”每一個知識點(diǎn)的教學(xué)都要依據(jù)知識的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，選擇有效的教學(xué)方式，采取有效的推進(jìn)結(jié)構(gòu)，是演繹還是歸納，每一個知識內(nèi)容的教學(xué)都有自己的展開邏輯與推進(jìn)結(jié)構(gòu)。如在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時，我們就可以按如下四步逐漸推進(jìn)。

1.計(jì)算比較，提出猜想

學(xué)生分別計(jì)算兩只三角板的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)兩只三角板的內(nèi)角和都是180 度。從而引發(fā)猜想：所有三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

2.多元驗(yàn)證，豐富體驗(yàn)

首先是分類列舉，集中研究。根據(jù)三角形的分類，從直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形中各選一個，提供給學(xué)生共同研究。學(xué)生自主選擇用量一量、算一算；撕一撕、拼一拼；折一折、拼一拼的方法去驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和。他們會發(fā)現(xiàn)，量出的三個內(nèi)角的和都在180 度左右；把三角形的三個角切下來，拼到了一起，正好是一個平角；采用折的方法，把三個角折到一起，也正好是一個平角。其次是更多舉例，尋找反例。教師先介紹兩個工具小軟件，一個是蘋果電腦中的APP“圖形活動”，另一個是我們自主開發(fā)的小軟件，稱之為“活動三角形”，就是一個三角形，旁邊顯示出三個內(nèi)角的度數(shù)，并用算式計(jì)算出內(nèi)角和。學(xué)生任意拖到了一個點(diǎn)，或者一條邊，就會得到若干個新的三角形。接著，讓學(xué)生自主選擇方法進(jìn)一步舉例驗(yàn)證，方法主要有三個，一是教師提供的一些三角形紙片，二是利用“圖形活動”畫三角形驗(yàn)證，三是利用“活動三角形”拖動頂點(diǎn)或邊，觀察三角形的內(nèi)角和。學(xué)生交流體會時會發(fā)現(xiàn)，在“圖形活動”中，任意畫出的三角形，切出的三角都可以拼成一個平角；拖動“活動三角形”時，三角形的形狀在變，三個內(nèi)角的度數(shù)也在變，但是三角形的內(nèi)角和都是180度。沒能找到內(nèi)角和不是180 度的三角形。最后是了解經(jīng)典，豐富認(rèn)識。學(xué)生自主觀察小帕斯卡的驗(yàn)證方法，看完后與同桌交流。一個長方形的內(nèi)角和是360度，平均分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和是180 度。任意一個銳角三角形或者鈍角三角形都可以沿著高分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和是180度，兩個直角三角形的內(nèi)角和是360度，去掉拼成一條邊的兩個直角的度數(shù)，原來三個角的度數(shù)和是180度。

3.介紹證明，得出結(jié)論

教師介紹關(guān)于三角形的內(nèi)角和等于180 度，還有更多的驗(yàn)證方法。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，僅靠驗(yàn)證是不行的，數(shù)學(xué)家們還進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，最后得出結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于180度。

4.回顧研究，交流體會

教師借助學(xué)生的研究成果，以圖片的形式，領(lǐng)著學(xué)生一起回顧研究過程，啟發(fā)學(xué)生思考：前面的研究過程中，你印象最深刻的是什么？有什么體會？

（二）習(xí)題編排結(jié)構(gòu)

比較和變式原理指出：“從具體形式到抽象形式的過渡，需要比較和變式，比較是幫助學(xué)生直觀地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、提高其抽象水平最有用的方式之一?！比魏沃R的學(xué)習(xí)，能力的養(yǎng)成，必須有一定量的練習(xí)。做怎樣的習(xí)題，習(xí)題如何呈現(xiàn)，這里也存在一定的結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，我們要根據(jù)知識的本質(zhì)，將相關(guān)習(xí)題以題組的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在比較中突出知識本質(zhì)，在辨別中掌握方法，掌握解題的一般步驟。

在學(xué)習(xí)完“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”后，可以提供如下一組練習(xí)：

學(xué)校體育室有50 只足球，有40 只排球。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學(xué)校體育室有50 只足球，排球比足球少10 只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學(xué)校體育室有40 只排球，足球比排球多10 只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

這組練習(xí)中，不管題目如何變化，最終都是用排球的只數(shù)除以足球的只數(shù)。如果當(dāng)中某個數(shù)量沒有直接告訴我們，則需要根據(jù)給出的條件先表示出某個數(shù)量，最終形成結(jié)構(gòu)：“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”與之前學(xué)習(xí)的“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”是一樣的，都是用一個數(shù)除以另一個數(shù)。就這樣形成了解題的思維結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，有些題目也有一些特殊的方法，如第4 個題目，就有不同的方法。但是，盡管有不同的方法，上述這種方法才是最本質(zhì)的方法。

（三）知識儲存結(jié)構(gòu)

關(guān)聯(lián)原理提出：“應(yīng)當(dāng)把各種概念、原理聯(lián)系在一起，在一個統(tǒng)一的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)。”要使學(xué)習(xí)卓有成效，就必須說明和理解數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。如果學(xué)習(xí)的一個新知識，能夠納入學(xué)生已經(jīng)有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)中去，學(xué)生就能輕松理解和記憶，就能理解知識之間的本質(zhì)，就能溝通知識之間的聯(lián)系與區(qū)別。

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)加減法”時，可以總結(jié)出異分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)加減法的一般方法：先通分，再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生回憶，我們在之前學(xué)習(xí)整數(shù)加減法、小數(shù)加減法時，一般是如何計(jì)算的。得出：計(jì)算整數(shù)加減法時，要把數(shù)的末尾對齊，從低位算起；小數(shù)加減法時，要把小數(shù)點(diǎn)對齊，再從低位算起。啟發(fā)學(xué)生思考：為什么計(jì)算整數(shù)加減法時，要把末尾對齊；小數(shù)加減法時要把小數(shù)點(diǎn)對齊；分?jǐn)?shù)加減法時，卻要先通分。通過討論，交流得出：計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才可以直接相加減，這些做法都是為了讓計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)對齊。

“獲得的知識，如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。”注重結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)不是機(jī)械的學(xué)習(xí)，不是讓人很快遺忘的學(xué)習(xí)，而是有質(zhì)量的學(xué)習(xí)，有發(fā)展的學(xué)習(xí)，是一種素養(yǎng)提升的學(xué)習(xí)。

把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、遵循兒童認(rèn)知規(guī)律、科學(xué)施教，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育的追求。讓學(xué)生感悟到結(jié)構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，可以讓學(xué)生用最少的時間，把握數(shù)學(xué)的精華，豐盈思維的結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。