用“小魚”之針 引“代數(shù)”之線
——由“搭小魚”情境引發(fā)的思考

孫亞燕

(江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué) 213000)

一、代數(shù)式中的“搭小魚”情境

情境1：用火柴棒，按以下方式搭小魚.

搭20條“小魚”用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

這是七年級上冊第3章《3.3 代數(shù)式的值》中的導(dǎo)入情境.通過“搭小魚”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程，幫助學(xué)生了解探索規(guī)律過程中變量和不變量之間的關(guān)系，感悟模型思想，獲得函數(shù)的感性認(rèn)識，體會(huì)特殊到一般、一般再到特殊的研究問題的過程.

對于這個(gè)情境的處理可以分為以下幾個(gè)步驟：

首先，按上述方式搭“小魚”，并在下表中記錄所用火柴棒的根數(shù).

“小魚”條數(shù)12345…火柴棒根數(shù)81420…

從記錄的數(shù)據(jù)看，所需火柴棒的根數(shù)隨所搭“小魚”條數(shù)的增加而增加，讓學(xué)生感受兩個(gè)變量所需火柴棒根數(shù)與“小魚”條數(shù)之間的關(guān)系：第一條小魚8根，每多搭1條“小魚”就增加6根火柴棒，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)量的變化和變化規(guī)律，讓學(xué)生感受對應(yīng)的思想，獲得函數(shù)的感性認(rèn)識.

其次，引導(dǎo)學(xué)生由于“小魚”條數(shù)的不確定，可以引進(jìn)字母n來表示“小魚”的條數(shù)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識.鼓勵(lì)學(xué)生用含n的代數(shù)式來表示所需火柴棒的根數(shù)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的建模過程.

最后，求解驗(yàn)證探索獲得的規(guī)律是否正確，并且可以根據(jù)問題需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算代數(shù)式的值，感受一般到特殊的過程.

二、一元一次方程中的“搭小魚”情境

情境2：我們知道，按圖1的方式搭n條“小魚”需要[8+6(n-1)]根火柴棒.

圖1

搭n條“小魚”用了140根火柴棒，怎樣用方程來描述其中數(shù)量之間的關(guān)系？

這是七年級上冊第4章《4.1 從問題到方程》中的“試一試”.這個(gè)情境主要幫助學(xué)生如何由代數(shù)式過渡到方程，加深對代數(shù)式和方程關(guān)系的理解.

學(xué)生經(jīng)歷“方程”的建模過程：從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，找到題中的“已知量、未知量、等量關(guān)系”，從而建立方程模型，理解建立方程模型的關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”.通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生知道當(dāng)設(shè)好未知數(shù)后，可以用含未知數(shù)的代數(shù)式來表示等量關(guān)系中的量，最后根據(jù)等量關(guān)系建立方程，同時(shí)，理解代數(shù)式的值確定，就可以利用方程求出其中字母所表示的數(shù)的值.

三、一元一次不等式中的“搭小魚”情境

情境3：按圖1的搭法，用少于50根的火柴棒最多可以搭多少條“小魚”？

這是七年級下冊第11章《11.5 用一元一次不等式解決問題》中的情境導(dǎo)入.學(xué)生可能會(huì)先根據(jù)所需火柴棒根數(shù)與“小魚”條數(shù)之間的變化關(guān)系進(jìn)行推理、猜想和枚舉，教師對學(xué)生的推理進(jìn)行肯定，然后教師可以提出疑問“假如有少于10000根火柴棒呢？”引導(dǎo)學(xué)生用不等式模型進(jìn)行求解.

通過學(xué)生熟悉的情境探索用一元一次不等式解決問題的一般過程，讓學(xué)生感覺更加親切，從而激發(fā)學(xué)生的探索欲望，讓學(xué)生進(jìn)一步感受代數(shù)式、方程與不等式之間的聯(lián)系.學(xué)生體會(huì)不等式也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，不等式的建模過程可以類比和遷移方程的建模過程，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

情境4：如圖1，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭1條小魚就要增加6根火柴棒.如果搭n條小魚所需火柴棒的根數(shù)為S，那么它們之間的關(guān)系為S=8+6(n-1).

這是八年級上冊第6章《6.1 函數(shù)》中的一個(gè)情境.主要讓學(xué)生感悟所需火柴棒的根數(shù)和所搭“小魚”條數(shù)之間的數(shù)量的變化和變化規(guī)律，讓學(xué)生感悟?qū)?yīng)的思想，加深對函數(shù)概念的理解，同時(shí)讓學(xué)生感悟代數(shù)式、方程、不等式與函數(shù)之間的關(guān)系.

整個(gè)“搭小魚”情境的知識鏈讓學(xué)生感悟到：所需火柴棒的根數(shù)和所搭小魚條數(shù)是兩個(gè)變量，所需火柴棒的根數(shù)隨所搭小魚條數(shù)的變化而變化，可以用代數(shù)式來表示它們之間的變化規(guī)律，當(dāng)所搭小魚的條數(shù)確定時(shí)，就可以求代數(shù)式的值，就可以確定相應(yīng)的所需火柴棒的根數(shù)；當(dāng)所用火柴棒的根數(shù)確定時(shí)，就可以用方程確定所搭小魚的條數(shù)；如果所用火柴棒的根數(shù)的范圍，通過解不等式就可以確定所搭小魚條數(shù)的范圍；一次函數(shù)S=8+6(n-1)描述了搭“小魚”過程中，所需火柴棒的根數(shù)與所搭“小魚”條數(shù)的變化的全過程，從而學(xué)生從更高的層次上加深了代數(shù)式、方程、不等式與函數(shù)之間的理解，讓學(xué)生自主建構(gòu)了代數(shù)主干部分的知識鏈，掌握知識內(nèi)部的體系和結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)從宏觀和微觀的角度分析問題.

四、教學(xué)中注重發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

1.讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的思想

學(xué)生的思維處于小學(xué)的直觀形象思維水平，教師通過具體的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、分析、概括的過程，有助于學(xué)生由直觀形象思維過渡到邏輯抽象思維的過程.通過“搭小魚”材料，讓學(xué)生經(jīng)歷把數(shù)字表示的數(shù)抽象為一般的用字母表示的數(shù)，然后用字母代替數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算和推理，逐步培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)學(xué)習(xí)到代數(shù)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變，逐步讓學(xué)生由常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維上的跨越.

2.讓學(xué)生感悟建模的思想

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是高度概括性，模型正是高度概括的產(chǎn)物，通過數(shù)學(xué)建模來建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》 中指出：通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程體會(huì)模型的思想；體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.通過“搭小魚”的材料，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)過程，讓學(xué)生掌握建立模型的過程，形成建立模型的思維習(xí)慣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值.