《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)案例記學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之路

王洪艷

在高考數(shù)學(xué)中，數(shù)列常常會涉及到數(shù)列的放縮，對于我們學(xué)校的學(xué)生，尤其是C層次的學(xué)生，大多數(shù)可能認(rèn)為這類問題無從下手，有些學(xué)生遇到此類問題甚至?xí)鷧s！為了鼓勵學(xué)生，也為了學(xué)生不輕易放棄這類問題，本人特意研究了一下今年的高考大綱與往年的區(qū)別！研究發(fā)現(xiàn)，今年高考大綱對數(shù)學(xué)歸納法的要求大大增加，而數(shù)學(xué)歸納法恰好是解決此類問題的一種極為重要的方法。為此學(xué)生學(xué)會和學(xué)懂這種方法就顯得極為重要。

課堂實(shí)錄

1.課堂導(dǎo)入

師：請學(xué)生思考一下，問題1，如何驗(yàn)證？問題2是否正確？問題3應(yīng)該是什么？

生：問題1，一個一個驗(yàn)證就好了……

教師趁機(jī)問道：那驗(yàn)證結(jié)果一定正確嗎？生：當(dāng)然正確了，一個一個驗(yàn)證的，肯定正確??！

教師給予肯定，學(xué)生繼續(xù)回答。生：問題2，我算得的結(jié)果是前四項(xiàng)都是1，但是通項(xiàng)……

有些猶豫，教師見狀，給予學(xué)生提示，

師：請你算一下第五項(xiàng)是多少??？生：是25，師：那這個通項(xiàng)對嗎？生：不對！

師：非常好，那問題三你的猜想是什么？

生：我猜想是 。師：那這個正確嗎？生猶豫：應(yīng)該正確吧。師：你能證明嗎？

學(xué)生搖頭，教師給予肯定，并作總結(jié)及點(diǎn)評兩種歸納法，即完全歸納法和不完全歸納法，而且講解了兩種歸納法的聯(lián)系及區(qū)別！

教師提出問題：那么如果來解決不完全歸納法存在的問題呢？不完全歸納法歸納出來的結(jié)論是否正確呢？那么我們必須要尋找一種用有限個步驟就可以處理完無限個對象的方法，即數(shù)學(xué)歸納法。

教師板書點(diǎn)明課題。

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生知道的實(shí)例開始引入，可以使得學(xué)生對此產(chǎn)生興趣，并不畏懼新課程。在舊的知識基礎(chǔ)上提出新的疑問，也是引進(jìn)新課程的方法之一，這樣既可以回顧舊的知識，又可以使得學(xué)生聯(lián)想到舊的知識和新的知識之間的關(guān)聯(lián)，同時對本節(jié)課的內(nèi)容產(chǎn)生期待。

由數(shù)列前幾項(xiàng)的猜想通項(xiàng)公式，學(xué)生也意識到這種方法的殘缺性，所以探求一種新的方法勢在必行，也借此引出本節(jié)課的課題。

2.探究發(fā)現(xiàn)

師：請大家觀察投影上的三個實(shí)例，邊觀察邊思考，要想把紙抽內(nèi)的紙都抽出來;鞭炮所有的都響;多米諾骨牌全都倒下，需要知道滿足什么條件？

生：紙抽內(nèi)紙都抽出來，只需要前面一張抽出來后，后面的也跟著出來就可以了;

要想使得鞭炮全都響，只需要前面一個響了，后面的也跟著響就可以了;多米諾骨牌也類似，只需要前一張倒下，后面的跟著倒下就可以了！

師：好，請同桌來說一下。

生：我覺得這三個事件都得滿足第一個得發(fā)生。也就是說，第一張紙得抽出來，第一個鞭炮得響，第一張牌得倒下！

師：大家覺得說得有道理嗎？生一同答道：有道理！師：那大家是不是得鼓勵一下??！班級響起掌聲！

師：那么現(xiàn)在誰能把這三個生活中的實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)呢？

生：（1）證明當(dāng)n=1時命題成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k ∈ N+，k≥ n0）時命題成立，

證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

師：非常棒！但是大家想一下，第一項(xiàng)就一定是n=1嗎？

教師見有的學(xué)生搖頭，所以就提問搖頭的學(xué)生，

生：應(yīng)該把第一條改為：證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立。

師：很好！兩位同學(xué)說出了這節(jié)課的中心，即數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，現(xiàn)在老師將它補(bǔ)充完整！即兩個步驟一個結(jié)論。

師：數(shù)學(xué)歸納法也正是解決這類與自然數(shù)有關(guān)的證明題的一種重要的方法。

設(shè)計(jì)意圖：類比思想是高中數(shù)學(xué)常用的一種思想方法，將生活中的實(shí)例類比到數(shù)學(xué)方法中，也讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)來源于生活而高于生活。

數(shù)學(xué)抽象也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)之一，將生活中的實(shí)例，抽象成數(shù)學(xué)方法，這樣可以引起學(xué)生的高度興趣。

教學(xué)反思

本節(jié)課是高中選修2-3的內(nèi)容，對學(xué)生難度較大，但作為第一課時，個人認(rèn)為這樣處理還是比較合理，比較到位的。

由于學(xué)生基礎(chǔ)較差，所以這里的難度就顯得更大一些，但從課堂表現(xiàn)來看，本節(jié)課收到的效果還是不錯的，我覺得主要表現(xiàn)如下：

1.數(shù)學(xué)建模思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)比較重要的一種思想之一。本節(jié)課從生活

實(shí)例出發(fā)，回歸自然，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，得到自己認(rèn)為比較好的事實(shí)結(jié)論，再將事實(shí)結(jié)論歸納總結(jié)到數(shù)學(xué)方法，這正是體現(xiàn)了這種數(shù)學(xué)建模思想。另外，這樣不僅可以引起學(xué)生的興趣，又可以活躍課堂氣氛，使得學(xué)生有“話”可說，打破了傳統(tǒng)的教師講，學(xué)生聽的教學(xué)。

2.運(yùn)用類比的思想，將一些類似的事物類比到數(shù)學(xué)思想方法上，這樣更容易理解，

也更容易讓學(xué)生接受，不會感到陌生，讓學(xué)生在和諧輕松的狀態(tài)下學(xué)到新的知識是很好的一種教學(xué)手段。

3.本節(jié)課以學(xué)生為主，教師通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使得學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)歸納法的本

質(zhì)及來源，并能夠利用數(shù)學(xué)歸納法解決一些與自然數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

4.學(xué)會配湊是本節(jié)課的一個難點(diǎn)，將n=k+1時的條件配湊成n=k時的結(jié)論是學(xué)生很難理解，很難實(shí)施的一個步驟，然而教師運(yùn)用一問一答的手段，輕松克服了這個難點(diǎn)。

5.本節(jié)課師生對話很多，教師不吝嗇自己的鼓勵，基本上學(xué)生的每一個回答都得到了教師肯定及表揚(yáng)，這也使得課堂氣氛活躍很多。

總之，本節(jié)課既能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，又能感受到課堂輕松愉快的氛圍，讓學(xué)生在輕松的氛圍中學(xué)到新的知識是本節(jié)課的最大成功之處。