重視審題教學(xué) 提高教學(xué)效益

摘 要：不少學(xué)生做題時(shí)對(duì)一些數(shù)學(xué)題目出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，這種問(wèn)題教師可以從審題教學(xué)入手，讓學(xué)生會(huì)利用各種信息來(lái)進(jìn)行審題，明白數(shù)學(xué)題目中各種條件如何應(yīng)用，從而改變學(xué)生這種現(xiàn)狀.

關(guān)鍵詞：審題教學(xué)；教學(xué)效益；閱讀教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)以下情況：不少學(xué)生在數(shù)學(xué)課上認(rèn)真聽(tīng)講，自己感覺(jué)聽(tīng)會(huì)了，但到自己做題時(shí)往往無(wú)從下手，特別是一些條件比較多的大題，常常一片空白， 問(wèn)他們?cè)驎r(shí)，學(xué)生說(shuō)“太難，看不懂題目”，可是經(jīng)教師一點(diǎn)撥，又覺(jué)得很容易；在考試中，也有相當(dāng)一部分學(xué)生會(huì)失去一些本不該失去的分?jǐn)?shù)，他們一般都解釋為“粗心”. 其實(shí)，經(jīng)過(guò)調(diào)查研究和分析發(fā)現(xiàn)，根本原因不是“問(wèn)題太難”，也不是“粗心”，而恰恰在于學(xué)生審題能力差.

審題是解題的開(kāi)端，深入細(xì)致的審題是成功解題的必要前提. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)，“最糟糕的情況就是學(xué)生沒(méi)有弄清問(wèn)題就進(jìn)行演算和作圖.” 為此，波利亞總結(jié)出一張“怎樣解題表”，將解題的過(guò)程分為四個(gè)階段. 其中第一步“弄清問(wèn)題”就是我們常說(shuō)的審題. 審題就是多角度的觀察，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)，選擇正確的解題方向. 因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該加強(qiáng)審題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生審題能力. 這對(duì)于學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難、開(kāi)通數(shù)學(xué)思維的大門(mén)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)分析題設(shè)與所求或結(jié)論之間的數(shù)學(xué)關(guān)系——邏輯關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、空間位置關(guān)系等方面入手，使學(xué)生掌握審題方法，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

在教學(xué)過(guò)程中，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué).

[?] 重視學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)

在做數(shù)學(xué)題時(shí)，首先要閱讀題目，此時(shí)要仔細(xì)閱讀. 可以小聲讀或默讀，這是一個(gè)數(shù)學(xué)信息內(nèi)化的過(guò)程，它能解決學(xué)生漏看、錯(cuò)看等問(wèn)題. 例如，平時(shí)學(xué)習(xí)中成績(jī)較好的學(xué)生，拿到一道題目，不管是難是易，都會(huì)懷著輕松的心情去小聲讀或默讀，特別是遇到一道陌生的題目，會(huì)更加興奮，逐字逐句研究，把做出一道難題看成一種快樂(lè)；而基礎(chǔ)較差的學(xué)生則不然，看見(jiàn)難題有畏懼感，腦中“我做不出”的意念纏住了他們的思維，這時(shí)可通過(guò)閱讀的方法尋找一些靈感解決問(wèn)題. 因此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生仔細(xì)閱讀，認(rèn)真思考，弄清含義，為正確解題創(chuàng)造條件.

例1 求過(guò)曲線y=x3-2x上的點(diǎn)（1，-1）的切線方程.

學(xué)生的解答：因?yàn)閥′=3x2-2，所以k= y′

x=1=3×12-2=1，所以切線方程為x-y-2=0.

學(xué)生：老師，這道題目錯(cuò)在哪？

教師：在讀這道題時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生：發(fā)現(xiàn)（1，-1）在函數(shù)上.

教師：還有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：沒(méi)有.

教師：那么，如果把題目變?yōu)椋呵笄€y=x3-2x在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程. 你看看這兩道題目有什么區(qū)別？

學(xué)生：原題目與變式后的題目有兩區(qū)不一樣：一是“過(guò)”變?yōu)椤霸凇?，二是多了個(gè)“處”字.

教師：這兩道題目是不是同一個(gè)題目？

學(xué)生：不是. 在讀題目時(shí)沒(méi)注意這些字.

教師：那你能說(shuō)說(shuō)它們的區(qū)別嗎？

學(xué)生：過(guò)曲線上的點(diǎn)（1，-1）的切線與曲線的切點(diǎn)可能是（1，-1），也可能不是（1，-1）. 我把（1，-1）當(dāng)成了切點(diǎn). 讀題目時(shí)，以后要注意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同. 雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn).

[?] 重視學(xué)生在數(shù)學(xué)題目中尋找關(guān)鍵的語(yǔ)句、符號(hào)和挖掘隱含條件的教學(xué)

審題的過(guò)程其實(shí)就是通過(guò)弄清解題過(guò)程，建立比較清晰的數(shù)學(xué)情景的過(guò)程. 因此，審題時(shí)只關(guān)注具體數(shù)據(jù)的條件，而忽視敘述性語(yǔ)言是不行的. 敘述性語(yǔ)言中的一些關(guān)鍵語(yǔ)句和數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)題目描述的數(shù)學(xué)情景起到?jīng)Q定因素. 因此，在審題教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生具備敏銳的洞察力和判斷力，學(xué)會(huì)定位關(guān)鍵的語(yǔ)句和符號(hào)，正確解讀其含義.

例2 已知a=（2，1），b=（λ，1），λ∈R，a與b的夾角為θ. 若θ為銳角，則λ的取值范圍是__________.

筆者會(huì)要求學(xué)生讀題后，圈出關(guān)鍵語(yǔ)句“若θ為銳角”，從而減少因?qū)忣}不清而做錯(cuò)題目的可能. 堅(jiān)持這種教學(xué)，久而久之，學(xué)生在讀題時(shí)能抓住重點(diǎn)，理解題目的意思，就不容易出錯(cuò)了.

關(guān)鍵詞可以幫助我們準(zhǔn)確形成清晰的數(shù)學(xué)思維，然而要想把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，還要教會(huì)學(xué)生對(duì)隱含條件的挖掘. 有些數(shù)學(xué)題的已知條件是直接給出的，而有的則是隱藏在文字的敘述中，這就使得教學(xué)時(shí)必須教會(huì)學(xué)生審題.

例3 已知0≤α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，則β-α=________.

學(xué)生：β-α=或β-α=.

學(xué)生：老師，這道題目錯(cuò)在哪？

教師：那你能寫(xiě)出你解這道題的過(guò)程嗎？

學(xué)生：

sinα+sinβ=-sinγ，①

cosα+cosβ=-cosγ，②

①2+②2，得cos（β-α）=-，轉(zhuǎn)化條件0<β-α<2π，β-α=或β-α=.

教師：條件0≤α<β<γ<2π中的α<β<γ這個(gè)關(guān)系你是怎么處理的？

學(xué)生：只用α<β<2π就可以了，發(fā)現(xiàn)γ多余.

教師：題目的條件不變，求γ-α.

學(xué)生：同樣的方法得到γ-α=或γ-α=.

教師：如果用上0≤α<β<γ<2π，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：由0≤α<β<γ<2π得到β-α<γ-α，γ-α=，而β-α=.

教師：你注意到題目中的式子具有明顯的輪換特征嗎？這是題目中的隱含條件.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要時(shí)刻注意提醒學(xué)生，有些知識(shí)在題目中沒(méi)有明說(shuō)，只有通過(guò)分析才能得出，因此要讓學(xué)生在做題時(shí)仔細(xì)讀題，認(rèn)真理解，善于挖掘隱含條件，深刻審題，這樣才能提高解題的準(zhǔn)確性.

[?] 重視學(xué)生由圖形抓特點(diǎn)，由圖表、數(shù)據(jù)找規(guī)律教學(xué)

在不少數(shù)學(xué)試題中，問(wèn)題的條件往往以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含在圖形之中，因此在審題教學(xué)時(shí)，學(xué)生要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì). 抓住圖形的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是破解考題的關(guān)鍵. 題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問(wèn)題的基本信息，也往往暗示著解決問(wèn)題的目標(biāo)和方向. 在審題教學(xué)時(shí)，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，從而找到解決問(wèn)題的思路和方法.

例4 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_________.

[C][A][B][O]

圖1

觀察方向1 向量，，均為單位向量（注意三向量的關(guān)系）?=x+y（將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)關(guān)系）?2=（x+y）2=x2+y2-xy=1（化為關(guān)于x+y的不等式）?（x+y）2=1+3xy≤1+3

2（要關(guān)注等號(hào)成立的條件）?x+y≤2.

觀察方向2 從圖形上看，設(shè)∠AOC=α的大小影響x+y的大?。▽⑾蛄筷P(guān)系轉(zhuǎn)化為α與x+y的關(guān)系）?

·

=x2

+y

·，

·

=y2

+x

·，?即cosα

=x-，

cos（120°-α）

=-+y（構(gòu)造x+y關(guān)于α的函數(shù)）?x+y=2[cosα+cos（120°-α）] （三角函數(shù)化簡(jiǎn)）?x+y=2sin（α+30°）≤2.

觀察方向3 觀察圖形，圓弧AB具有對(duì)稱性，可能在邊界，在邊界則有兩種可能?若與重合或與重合：x+y=1， 從圖形特征看，C可為圓弧AB的中點(diǎn)?若C為圓弧AB的中點(diǎn)，則x=y=1，x+y的最大值應(yīng)為2.

從上面三種審題角度看，認(rèn)真審圖，抓住圖形特征，解題快又準(zhǔn)，所以觀察方向3值得考慮.

由圖形抓特點(diǎn)，由圖表、數(shù)據(jù)找規(guī)律的教學(xué)就是對(duì)題目中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)情景、數(shù)學(xué)模型畫(huà)一些必要的草圖和變化的過(guò)程的教學(xué). 草畫(huà)圖形，搞清數(shù)學(xué)過(guò)程，還原數(shù)學(xué)模型，找出題目的關(guān)鍵之處，這是解題中很重要的一環(huán)，是解題的突破口，也是數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn). 這樣才能使學(xué)生在做數(shù)學(xué)題時(shí)必須認(rèn)真審題，根據(jù)題中告訴的各已知量的數(shù)量關(guān)系充分想象、分析、判斷，畫(huà)出草圖以展示完整的過(guò)程圖景，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更加簡(jiǎn)單.

[?] 重視學(xué)生由結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換，結(jié)構(gòu)定方案教學(xué)

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說(shuō)明已給結(jié)論正確或錯(cuò)誤，因而解決問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程大多都是圍繞著結(jié)論這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定向思考的. 審視結(jié)論的教學(xué)，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，教會(huì)學(xué)生探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律，讓學(xué)生善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向. 由于數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的，在審題教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生感覺(jué)到在這些問(wèn)題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視題目中結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)題目中的結(jié)論進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問(wèn)題的方案.

例5 銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 若+=6cosC，則+的值是________.

觀察方向1 觀察條件+=6cosC（數(shù)式中既有邊又有角，應(yīng)統(tǒng)一）?

+=6×（將條件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔形式）?a2+b2=c2.

觀察結(jié)論所求：+（考慮到△ABC中的正、余弦定理，切化弦是必經(jīng)之路）?+=·（角化邊、用條件）?+=·=·=4.

觀察方向2 觀察條件+=6cosC（關(guān)注數(shù)式的特征）?邊a，b具有輪換性，觀察所求結(jié)論+，角A，B具有輪換性（從數(shù)式的特征考慮）?當(dāng)A=B，即a=b時(shí)，應(yīng)滿足題意cosC=（完全轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)運(yùn)算）?tan2==，即tan=，tanC==2，tanA=tanB==，+=4.

由結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換，結(jié)構(gòu)定方案教學(xué)就是讓學(xué)生充分挖掘大腦中所有儲(chǔ)存的知識(shí)信息，準(zhǔn)確思考、全面思考、快速思考，分析出解題的思路和方法的教學(xué). 要知道，解題時(shí)每個(gè)人都會(huì)遇到關(guān)卡，切忌一遇到困難就自亂陣腳，否則越做越緊張，效果可想而知. 對(duì)于考查基本知識(shí)和基本技能的題目，它們不會(huì)太難，可以比較順利地解決，但這時(shí)切忌掉以輕心，洋洋自得，因?yàn)檫@些題看似簡(jiǎn)單，但可能潛藏著小小的陷阱，一不留神就會(huì)掉下去，到頭來(lái)卻不知道為什么錯(cuò)了. 遇到從來(lái)沒(méi)有碰到過(guò)的題型或一時(shí)無(wú)從下手的難題，千萬(wàn)不要認(rèn)定自己一定做不出來(lái). 這時(shí)可采取一些巧妙的辦法，例如，不妨先閉上眼睛，深呼吸幾下，然后再集中全部精力攻克這道題等等. 最不可取的是，遇到一道難題，看了幾眼，做不下去，就看下一道；寫(xiě)了幾行又做不下去，再做前一道；剛有了思路，卻又放棄，去想下一道；反反復(fù)復(fù)，兩道題一道也做不出來(lái)，可時(shí)間卻又所剩無(wú)幾，又擔(dān)心前面的題目會(huì)做錯(cuò)，又轉(zhuǎn)而檢查前面的題目，結(jié)果兩大題沒(méi)完成，前面的答案又不能保證萬(wàn)無(wú)一失，那考試的結(jié)果可想而知. 遇到難題，不必嚇得不敢下手，從簡(jiǎn)單的方面考慮，將可以想到的步驟一步步清楚地寫(xiě)下來(lái)，或許會(huì)“柳暗花明又一村”，即使得不到最終答案，也會(huì)獲得步驟分. 實(shí)在做不出來(lái)，也不要勉強(qiáng)自己，影響全卷的答題，因?yàn)檎l(shuí)也不能保證完成每一道題.其實(shí)，考試成績(jī)不理想的原因不在于做不出難題，而在于做不對(duì)你會(huì)做的題目，這兒計(jì)算錯(cuò)誤，那兒題目看錯(cuò)，導(dǎo)致到處失分.

總之，科學(xué)的審題是每個(gè)學(xué)生所必備的，教師應(yīng)引起足夠的重視. 只有在教學(xué)每個(gè)環(huán)節(jié)中適時(shí)進(jìn)行有效的審題教育，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，才能大大提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提高教學(xué)質(zhì)量.