一種基于對數(shù)函數(shù)的改進變步長LMS算法研究

江虹 周上清 劉鵬輝 鄭曉丹

摘 要： 為提高超弱光纖光柵反射信號光電檢測電路的測量精度，提出一種新的變步長LMS算法去除光電探測器信號中的高斯噪聲。針對基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS（Least Mean Square）算法其步長因子易受噪聲干擾，導致其步長因子取值在最優(yōu)解附近波動的問題。根據(jù)高斯白噪聲相關性差的特性，使用相關特性改進步長因子的更新公式，降低不相關噪聲對穩(wěn)態(tài)誤差的影響。通過理論分析和MATLAB軟件仿真結果對比分析改進前后收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，本算法在低信噪比條件下穩(wěn)態(tài)誤差減小三分之一，收斂速度更快，具有更好的抗噪、濾波性能，有效抑制了超弱光纖光柵反射信號檢測的噪聲。

關鍵詞： LMS算法;變步長;相關特性;超弱光纖光柵

中圖分類號：TN? 文獻標識碼：A? 國家標準學科分類代碼：510.1050

Study on An improved step size factor of variable LMS algorithm

Jiang Hong ZhouShangqing Liu Penghui Zheng Xiaodan

Changchun university of technology JilinChangchun 130000

Abstract： In order to improve the measurement accuracy of the photoelectric detection circuit of the ultra-weak FBG reflection signal.A new variable step LMS algorithm is proposed to remove Gaussian noise from photodetector signal.Aim at the problem that the step size factor of variable LMS algorithm based on logarithmic function is easy to be disturbed by noise，lead to the step size factor waveing among the optimal solution.According to the bad correlation of white Gaussian noise，using correlation characteristic to improve the update formula of step size to reduce the impact of noise.The theory analyze and simulation comparative analysis of convergence rate and steady-state error before and after improvement show that this algorithms steady-state error reduced by one third and has better ability of resist noise and smoothing in low SNR environment.The noise of the reflection signal detection of the ultra weak fiber grating is effectively suppressed.

Key words： LMS algorithmstep;size factor of variable;correlation characteristics;ultra-weak FBG

隨著軍事、大型工程、工業(yè)等領域?qū)τ跍y量規(guī)模的要求日益增加，傳統(tǒng)的光纖布拉格光柵復用數(shù)量少已成為首先需要解決的關鍵問題[1-2]。超弱光纖光柵傳感器作為一種新型的光纖光柵傳感器，由于其反射率低的特點使其復用率高，可以實現(xiàn)大規(guī)模復用，但也因此其反射信號非常微弱，如何防止噪聲干擾提取是目前研究的熱門方向。目前在實際的測量中主要使用光電轉換電路[3]來對微弱反射信號進行采集和放大，其中影響測量準確度的主要為來自器件和環(huán)境的高斯白噪聲。

LMS算法是高精度測量中削減高斯白噪聲的重要方法，該算法計算復雜程度低，易于實現(xiàn)，使其成為在自適應算法中穩(wěn)定性最好，應用最廣泛的算法，但傳統(tǒng)LMS算法的步長是一個固定值，想要提升算法的收斂速度，就要盡可能選擇大的步長值;同時為了得到較小的穩(wěn)態(tài)誤差，又要減小步長值。傳統(tǒng)的LMS算法無法解決這一矛盾，為解決這一問題，許多學者提出變步長LMS算法[4-10]。文獻[7]提出的算法，其步長更新公式是基于對數(shù)函數(shù)改進的。文獻[8]通過歸一化對文獻[7]提出的算法進行了改進，提高了其濾波性能。本文在文獻[7]的基礎上，提出一種改進的變步長LMS算法，降低了變步長LMS對噪聲的敏感性，通過MATLAB仿真實驗表明改進后算法在低信噪比的環(huán)境下有更好的濾波性能。

1 變步長LMS算法

1.1 傳統(tǒng)的LMS算法

傳統(tǒng)LMS算法是一種最陡下降算法的改進算法，依據(jù)最小均方差準則，使濾波器輸出信號與期望信號之間的均方誤差達到最小。圖1所示為自適應濾波的原理：

傳統(tǒng)LMS算法迭代公式如下：

y（n）=WT（n）X（n）? （1）

e（n）=d（n）-y（n）? （2）

W（n+1）=W（n）+2μe（n）X（n）? （3）

以上公式中，w（n）是自適應濾波器n時刻的權矢量，X（n）是輸入信號，d（n）是期望輸出值，e（n）為誤差信號，y（n）為輸出信號。μ是用來控制收斂過程的迭代步長。

1.2 變步長LMS算法

文獻[1]提出變步長LMS算法步長的調(diào)整方法為：在系統(tǒng)的初始階段，加大步長，使算法能夠擁有較大的收斂速度和更好的跟蹤能力;在算法收斂后，步長則應減小，從而使穩(wěn)態(tài)誤差保持較小。文獻[7]提出了一種基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法，其中，步長更新公式如下：

μ（n）=blg（a|e（n）|m）? （4）

其中，參數(shù)a和參數(shù)b控制曲線的形狀和整體數(shù)值的大小，參數(shù)m控制曲線接近底部時的速度大小。參數(shù)a和參數(shù)b的取值應由實際情況實驗得出，參數(shù)m的選擇如下，由文獻[1]分析得出，m值取2較為合適，當m值取1時，誤差e（n）接近零時步長變化太大。當m取值小于2時，函數(shù)底部變化太平緩，當e（n）還沒有到達零時，步長因子已經(jīng)變?yōu)榱悖€(wěn)態(tài)誤差就會較大，因此選取m=2。

基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法擁有較高的收斂速度，穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤速度方面性能更好。但是在低信噪比環(huán)境下，該算法的這些性能會降低，本文使用誤差的自相關控制步長因子，增強算法的抗干擾能力和收斂速度。

改進后變步長LMS算法e（n）和步長μ（n）之間的公式如下：

μ（n）=blg（a|e（n）e（n-1）|）? （5）

2 改進算法的理論分析

本文改進后的變步長算法可以很好降低噪聲對算法性能的影響，分析如下：

由式（2）可得：

d（n）=XT（n）W（n）+e（n）? （6）

因為誤差e（n）與x（n）有關，為了便于分析將d（n）改寫為：

d（n）=XT（n）W*（n）+N（n）? （7）

上式中：N（n）是均值為零的高斯白噪聲，且與輸入信號相互獨立，W*（n）為濾波器的最優(yōu)權系數(shù)矢量，令系數(shù)偏移矢量為：

P（n）=W*（n）-W（n）? （8）

式（6）—式（8）得：

e（n）e（n-1）=N（n）N（n-1）+PT（n）X（n）XT（n-1）P（n-1）+N（n）XT（n-1）P（n-1）-PT（n）X（n）N（n-1） （9）

e2（n）=N2（n）+PT（n）X（n）P（n）-2N（n）XT（n）P（n）? （10）

因為N（n）是均值為零的高斯白噪聲，且與X（n）無關，自身不相關，所以：

E e（n）e（n-1） =E[PT（n）X（n）X（n-1）P（n-1）]? （11）

E e2（n） =E PT（n）X（n）XT（n）P（n） +E[N2（n）]? （12）

從統(tǒng)計的觀點來看，將式（11）和（12）進行對比，由于式（11）中存在E[N2（n）]項，即噪聲信號N（n）將會影響e2（n）的期望值，因此當處于信噪比較低的環(huán)境中時，算法穩(wěn)定性不足。從式（11）可以看出，e（n）e（n-1）的期望值僅決定于輸入信號X（n），干擾噪聲N（n）的大小不會造成影響，其抗噪性能增強了。所以用誤差的相關估計調(diào)整步長能夠很好地降低噪聲對算法的影響。

3 仿真實驗分析

本文采用的仿真條件是：第一，系統(tǒng)是階數(shù)為2的自適應濾波器;第二，以幅值為20，頻率為0.01HZ的正弦波作為輸入信號;第三，未知系統(tǒng)的有限長單位沖擊響應濾波器的權系數(shù)w=[0.8，0.5]T;第四，干擾信號是高斯白噪聲信號，它的均值等于0，方差為1，且該干擾信號與輸入信號互不相關。采樣點數(shù)選取1000，為了得到更準確可信的實驗結果，分別進行200次仿真，再將200次仿真所得的實驗數(shù)據(jù)求其統(tǒng)計平均，得出其學習曲線。

圖2為原始信號加噪的波形，圖3為經(jīng)過本文算法濾波后的波形和原始信號的對比，圖4為經(jīng)過文獻[7]算法濾波后的波形和原始信號的對比。其中本文算法的參數(shù)經(jīng)實驗后選b=0.008，a=1200;文獻[7]算法選取文獻[7]中最優(yōu)參數(shù)，b=0.02，a=1000。

從圖3和圖4對比可以看出，本文算法濾波效果最好，波形與原始波形最為接近，文獻[7]算法在波峰處失真比較明顯。為了更好地證明改進后算法的抗噪能力，在信噪比為30dB和20dB的條件下做出兩種算法的學習曲線，并在500采樣點時權系數(shù)變?yōu)閣=[0.4，0.2]T。

圖5為信噪比為30dB時的兩種算法的學習曲線，本文算法在達到穩(wěn)態(tài)時誤差相較文獻[7]算法大幅減少，且本文算法在突變后與文獻[7]的算法相比，約提前50次迭代收斂，收斂速度明顯優(yōu)于文獻[7]算法。圖6為信噪比為20dB情況下兩種算法的學習曲線，本文算法的穩(wěn)態(tài)誤差較文獻[7]明顯較小，收斂精度提高約50%。

為了更好地驗證算法在應用于超弱信號提取情況下的去噪能力，在信噪比為10dB的情況下，將采樣點數(shù)增加到2000，并在第1000次時波系數(shù)取相反值，做出兩種算法的收斂曲線如圖7所示。在收斂趨于穩(wěn)定時穩(wěn)態(tài)誤差仍可提高30%，明顯提高測量精度，并在突變之后穩(wěn)態(tài)誤差下降更快，收斂速度明顯優(yōu)于文獻[7]算法，對于檢測速度也有有效提高，更適用于低信噪比環(huán)境下。

4 結論

本文對文獻[7]提出的基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法進行了改進，通過誤差自相關來改進步長更新公式，有效地抑制了輸入端不相關噪聲對算法性能的影響。仿真測試結果表明，在不同信噪比環(huán)境下，改進算法的濾波效果和抗干擾能力和收斂速度均明顯提高，特別在超弱光纖光柵反射信號光電檢測電路低信噪比環(huán)境下，能夠較好地滿足超弱光纖光柵光電檢測電路弱輸出信號高精度測量。

創(chuàng)新點說明：

隨著光纖傳感理論及應用的高速發(fā)展，對于傳感測量的數(shù)量和精度要求日益增加，普通光纖光柵難以滿足需求，超低反射率的超弱光纖光柵得以應用實現(xiàn)大容量高精度的測量，但其反射信號弱測量難度大，本文針對超弱光纖光電檢測電路噪聲特點，使用相關特性改進基于對數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法，應用到超弱光纖光柵反射信號的提取去噪，在低信噪比條件下，突破超弱信號易受干擾測量精度不足的問題。

參考文獻：

[1]田愷.時分/波分復用光纖傳感系統(tǒng)及其關鍵技術研究[D].北京交通大學，2018.

[2]江虹，蘇陽，李進，程欣貝.一種小波閾值去噪在FBG解調(diào)中的改進方法[J].光通信研究，2016（02）：40-43.

[3]胡波.光電檢測電路噪聲分析與噪聲處理[J].電子技術與軟件工程，2019（24）：76-77.

[4]牛群，陳天寧.一種改進變步長LMS算法及其DSP功能實現(xiàn)[J].電子測量技術，2018，41（07）：83-88.

[5]韓嘯，陳鐘榮.一種改進反正切函數(shù)的變步長LMS算法[J].中國科技論文，2019，14（07）：759-764+772.

[6]路翠華，李國林，周洪慶，徐君明.基于相關特性的改進箕舌線變步長LMS算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2015，30（04）：896-901.

[7]茹國寶，黃燕，郭英杰，甘良才.基于對數(shù)函數(shù)的新變步長LMS算法[J].武漢大學學報（理學版），2015，61（03）：295-298.

[8]明樂，周峰.基于對數(shù)函數(shù)的歸一化變步長LMS算法[J].火力與指揮控制，2018，43（08）：173-175+180.

[9]程建民，張潤蓮，秦明峰.基于雙曲正弦函數(shù)的改進變步長自適應濾波算法[J].無線電工程，2018，48（08）：704-708.

[10]仝喜峰，陳衛(wèi)松，錢隆彥，肖夢迪.一種非線性變步長LMS自適應濾波算法[J].無線電通信技術，2019，45（04）：391-396.

項目名稱： 大容量超弱FBG傳感網(wǎng)絡高速解調(diào)儀表的研制，吉林省科技攻關項目（項目編號：20190302085GX）

作者簡介： 江虹（1970—），女，博士，教授，研究方向為智能儀器與智能控制系統(tǒng)，特別是弱信號處理及分析技術;周上清，電氣工程碩士，研究方向為信號處理。