各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程定解問題

許景生

（嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

陳燊年、洪清泉等系統(tǒng)地研究了介質(zhì)為各向異性（限于有且只有三個正交主軸方向的電介質(zhì)）的電磁場[1]，其中各向異性電介質(zhì)拉普拉斯方程的定解問題是各向異性電介質(zhì)靜電場的基本問題之一。拉普拉斯方程的定解問題可分為有限域和無限域兩種情形，求解有限域拉普拉斯方程的方法有分離變量法、角基函數(shù)法、變分正則法和變分迭代法等，其中分離變量法較常用[2-5]；求解無限域拉普拉斯方程的方法有積分變換法、分離變量法等，其中積分變換法較常用[6]。分離變量法和積分變換法均可求解無限域拉普拉斯方程，但這兩種解法求得的解具有不同的數(shù)學(xué)形式。分離變量法求解無限域拉普拉斯方程，除了方程和邊界條件必須是齊次的之外，對區(qū)域的形狀也有明顯限制，要求空間區(qū)域的邊界面必須是正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面；若空間區(qū)域是無限域的，本征值將過渡為連續(xù)譜，則求得的解及解中的展開系數(shù)用傅里葉積分表示。陳燊年等、李文略等應(yīng)用分離變量法求解有限域拉普拉斯方程的定解問題[1，7-9]，但未涉及各向異性電介質(zhì)無限域拉普拉斯方程的定解問題。李文略等研究了三維或二維無限域泊松方程的定解問題，其中涉及了應(yīng)用積分變換的求解方法，但并未涉及驗證兩種解的等價性[10-11]。顧樵[12]分別應(yīng)用分離變量法和積分變換法求解熱傳導(dǎo)穩(wěn)定溫度場的拉普拉斯定解問題，并指出結(jié)果是等價的。受此啟發(fā)，本研究分別應(yīng)用分離變量法和傅里葉變換法求解各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程的定解問題，并舉典型算例間接驗證所得解的等價性。

1 各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程定解問題的確定

設(shè)各向異性電介質(zhì)1和電介質(zhì)2有相同的主軸坐標(biāo)系O- x1x2x3，坐標(biāo)面O- x1x3為這兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面上方（x2＞0的區(qū)域）充滿各向異性電介質(zhì)1(設(shè)ε11、ε22、ε33分別為電介質(zhì)1沿著主軸坐標(biāo)系x1軸、x2軸、x3軸的介電常數(shù))，在x2≤0的區(qū)域充滿各向異性電介質(zhì)2。電介質(zhì)1所在的區(qū)域是無源的，且其中的電勢分布僅用O- x1x2平面即可確定，例如在電介質(zhì)2中過x2軸并沿著x3軸方向放置一無限長的均勻帶電密度為λ的直導(dǎo)線，則該帶電直導(dǎo)線在電介質(zhì)1中激發(fā)的電勢滿足二維無限域拉普拉斯方程的定解問題，該定解問題用方程組表示為

2 應(yīng)用分離變量法求解二維無限域拉普拉斯方程的定解問題

設(shè)式（2）中的泛定方程有分離變量的形式解φ(ξ1,ξ2)= X(ξ1)Y(ξ2)，代入泛定方程中得到

式中，λ為分離常數(shù)。

當(dāng)λ ＜0和λ= 0時，都會導(dǎo)致平庸解φ(ξ1,ξ2)= 0。當(dāng)λ ＞0時，式（3）中第一個方程的通解為

式中，p、q為任意常數(shù)，由于受到式（2）中自然邊界條件的約束，故p= 0。

將式（4）和（5）代入形式解φ(ξ1,ξ2)= X(ξ1)Y(ξ2)中，得到泛定方程的解

式中，A(ω)= aq，B(ω)= bq。因為泛定方程是線性的，對式（6）進(jìn)行疊加構(gòu)成一般解，因為ω是連續(xù)變化的，所以一般解是對ω的連續(xù)積分，得

一般解須滿足式（2）中的第一類邊界條件，有

可知，式（8）為邊界函數(shù)f(ξ1)的傅里葉積分表示式，可得展開系數(shù)

式中，展開系數(shù)為

由求解的過程可知，因為分離常數(shù)λ是連續(xù)的，所以求解的過程不出現(xiàn)分立的本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)，解是用連續(xù)積分（含傅里葉積分）表示的。

3 應(yīng)用傅里葉變換法求解二維無限域拉普拉斯方程的定解問題

由定義域-∞＜ξ1＜+∞，可對式（2）取關(guān)于ξ1的傅里葉變換

有

式（11）中泛定方程的通解為

式（12）須滿足式（11）中的第一類邊界條件，故有φ(ω,0)= F(ω)= C，將其代入式（12）中，得

對式（13）作傅里葉反變換

有

式中，“*”號表示傅里葉卷積。應(yīng)用傅里葉變換法求解該定解問題時，所得的解用傅里葉卷積表示。

4 列舉算例間接驗證解的等價性

應(yīng)用分離變量法或傅里葉積分法求解式（1）表示的各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程定解問題，所得的解用式（10）或式（15）表示，顯然解的具體數(shù)學(xué)形式不一樣。由靜電場的唯一性定理可知，這兩種解必然是等價的。現(xiàn)舉三個典型的例子間接驗證解的等價性。

（Ⅰ）設(shè)f(x1)= 0，將f(x1)代入式（10）中，有A(ω)= B(ω)= 0，φ(x1,x2)= 0；對于式（15）而言，f(τ)= 0 即是f(x1)= 0，將其代入式（15）中，亦可得φ(x1,x2)= 0。

對應(yīng)這種情形的物理模型可以是各向異性電介質(zhì)1 和電介質(zhì)2 的分界面處放置接地的無限大導(dǎo)體平面。由所得結(jié)果φ(x1,x2)= 0可知，接地導(dǎo)體平面上方電介質(zhì)1所在的區(qū)域是靜電屏蔽的，倆解是等價的，符合物理客觀事實。

則解為

可知式（16）和（17）表示的解是相等的。對應(yīng)這種情形的物理模型可以是各向異性電介質(zhì)1和電介質(zhì)2的分界面處放置了三片無限大的導(dǎo)體平面，分別位于( - ∞＜x1＜-1)和(1 ＜x1＜+∞)區(qū)域的導(dǎo)體平面接地，而位于( - 1 ≤x1≤1)區(qū)域的導(dǎo)體平面是不接地的等勢體。由所得的結(jié)果可知，無限大平面上方電介質(zhì)1所在的區(qū)域不能實現(xiàn)靜電屏蔽，電勢分布由式（16）或（17）描述。

則解為

可知式（18）和式（24）表示的解是相等的。對應(yīng)這種情形的物理模型可以是在各向異性電介質(zhì)1和電介質(zhì)2的分界面下方（電介質(zhì)2所處的區(qū)域）有電荷分布，此時電介質(zhì)的分界面不再是等勢面，分界面處的電勢關(guān)于主軸x2軸對稱，且電勢隨著遠(yuǎn)離主軸x1軸而衰減。電介質(zhì)分界面上方區(qū)域無源，電勢滿足拉普拉斯方程，電勢分布由式（18）或式（24）描述。

綜合以上的計算過程可知，在求解各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程定解問題時，總是先將主軸坐標(biāo)系中描述的定解問題[由方程組（1）表示]通過變量代換轉(zhuǎn)化為在電各向異性坐標(biāo)系中來描述[由方程組（2）表示]，求得解之后再通過變量逆變換得到在主軸坐標(biāo)系下的解，這是研究各向異性電介質(zhì)泊松方程（或拉普拉斯方程）常用的方法。由靜電場的唯一性定理可知，分別應(yīng)用分離變量法和傅里葉變換法求得的解是等價的。以上所舉例子中表示第一類邊界條件的函數(shù)f(x1)有取零的特殊情形、有取分段函數(shù)的情形也有取連續(xù)函數(shù)的情形，且均給出了與這三種情形相對應(yīng)的物理模型，由此可推斷解的等價性具有普遍性也符合物理客觀事實。若要直接證明兩種數(shù)學(xué)形式的等價性，則需證明式（7）與式（14）是相等的，即

觀察式（25）可知，要分別求得等號左右兩邊廣義積分的結(jié)果，可拓展至復(fù)平面上進(jìn)行計算，但由于函數(shù)f(ξ1)或f(η)的具體形式不可知，因而無法確定被積函數(shù)的奇點，無法應(yīng)用留數(shù)定理求得結(jié)果；若函數(shù)f(ξ1)或f(η)的具體形式已知，則相當(dāng)于給出了特例，即是文中的間接驗證其等價性的方法。

若兩各向異性電介質(zhì)分界面上方和下方的區(qū)域分別填充的是介電常數(shù)分別為ε1和ε2的各向同性電介質(zhì)，則文中描述的各向異性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程的定解問題可過渡為各向同性電介質(zhì)二維無限域拉普拉斯方程的定解問題。若將ε11= ε22= ε33= ε1代入式（10）中，可應(yīng)用分離變量法求得

式中，展開系數(shù)為

式（26）和式（27）是等價的，可用算例間接驗證，計算過程在此不再贅述。