富有趣味：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種追求
——以“平面直角坐標(biāo)系”新授課教學(xué)為例*

劉東升

(江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 226600)

筆者最近參加了一個(gè)多學(xué)科聯(lián)合開(kāi)展的教研活動(dòng)，其中一位資深語(yǔ)文教研員在評(píng)課交流時(shí)提到“要上有趣味的語(yǔ)文課”，這引發(fā)了筆者的思考.回顧目之所及的一些數(shù)學(xué)課，那種充滿應(yīng)試味道的“無(wú)趣”數(shù)學(xué)課確實(shí)“面目可憎”．?dāng)?shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也是可以放下“板著的面孔”，深刻理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，精心研發(fā)富有趣味的教學(xué)設(shè)計(jì)，帶給學(xué)生有趣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活．本文以“平面直角坐標(biāo)系”新授課教學(xué)為例，概述我們的教學(xué)流程，并圍繞如何追求富有趣味的數(shù)學(xué)教學(xué)，提出幾點(diǎn)初步思考，拋磚引玉．

1 “平面直角坐標(biāo)系”新授課教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1 回顧“上一代產(chǎn)品”功能

開(kāi)課交流：同學(xué)們，今天我們這堂數(shù)學(xué)課將要舉行一場(chǎng)“新產(chǎn)品發(fā)布會(huì)”，我是新產(chǎn)品的代言人，將會(huì)向大家推介一款新的數(shù)學(xué)工具——平面直角坐標(biāo)系(板書(shū)課題)，敬請(qǐng)期待．讓我們先回顧上一代產(chǎn)品——數(shù)軸，開(kāi)始今天的發(fā)布會(huì)．

問(wèn)題：上學(xué)期學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，我們?cè)鴮W(xué)過(guò)一個(gè)重要的工具——數(shù)軸．請(qǐng)大家回顧一下，對(duì)數(shù)軸你有哪些認(rèn)識(shí)？

預(yù)設(shè)：數(shù)軸的概念，數(shù)軸的三要素(原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向)，數(shù)軸與相反數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸與絕對(duì)值的關(guān)系，數(shù)軸與數(shù)的大小比較，等等．在學(xué)生回顧的基礎(chǔ)上，在黑板上形成圖1所示的結(jié)構(gòu)化板書(shū)．

圖1

教學(xué)環(huán)節(jié)2 推介“新一代工具”特點(diǎn)

過(guò)渡語(yǔ)：在同一平面內(nèi)，我們知道點(diǎn)與直線有兩種位置關(guān)系，點(diǎn)在直線上或點(diǎn)在直線外．借助上一代產(chǎn)品數(shù)軸，我們能解決在同一平面內(nèi)確定點(diǎn)在數(shù)軸(直線)上位置的問(wèn)題，但是點(diǎn)在數(shù)軸(直線)外時(shí)如何確定位置呢？下面，我來(lái)向大家推介一款新的工具——平面直角坐標(biāo)系．

接下來(lái)教師邊講授邊畫(huà)圖：在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系．水平的數(shù)軸稱(chēng)為橫軸(本著數(shù)學(xué)一貫使用符號(hào)化和求簡(jiǎn)的原則，常常稱(chēng)x軸)，仍然保持七年級(jí)時(shí)數(shù)軸的定義，取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱(chēng)為y軸(即縱軸)，取向上方向?yàn)檎较?；兩坐?biāo)軸交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)．

建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成四個(gè)部分，每個(gè)部分依次稱(chēng)第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．特別地，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限．現(xiàn)在就可以研究點(diǎn)在數(shù)軸(直線)外的情況了．在不同象限各取幾個(gè)點(diǎn)，并過(guò)這些點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線段，垂足對(duì)應(yīng)的x，y的值分別記為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，這些點(diǎn)就可用有序數(shù)對(duì)(x，y)來(lái)表示，即這些點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，注意橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后．接下來(lái)是對(duì)例、習(xí)題的講評(píng)與訓(xùn)練．

教學(xué)環(huán)節(jié)3 “新一代工具”的操作使用

例題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出下列各點(diǎn)：A(4，2)，B(-2，2)，C(-4，-2.5)，D(2.5，-2.5)，E(0，-4)，F(xiàn)(-4，0)．

教學(xué)組織：畫(huà)圖略.教師注意巡視學(xué)生畫(huà)圖情況，對(duì)畫(huà)錯(cuò)的圖形可以投影到屏幕上，引導(dǎo)大家參與糾錯(cuò)，加深對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的位置之間一一對(duì)應(yīng)的理解．在此基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)一些追問(wèn)：

追問(wèn)1：連結(jié)AB，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直線AB與x軸有怎樣的位置關(guān)系？你能由此發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

追問(wèn)2：連結(jié)CF，線段CF的長(zhǎng)為多少？直線CF與兩條坐標(biāo)軸分別有怎樣的位置關(guān)系？你能由此發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

追問(wèn)3：計(jì)算△EOF的面積．

追問(wèn)4：計(jì)算四邊形BCED的面積．

追問(wèn)5：有人發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B，點(diǎn)D與原點(diǎn)O在同一直線上．你覺(jué)得這種發(fā)現(xiàn)有道理嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖這一組問(wèn)題串以追問(wèn)的方式漸次呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)平面內(nèi)探究線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系、三角形面積的計(jì)算及三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)具體滿足何種特殊數(shù)量關(guān)系時(shí)恰能共線．因?yàn)槭瞧矫嬷苯亲鴺?biāo)系的起始課，所以這些問(wèn)題只是以學(xué)生簡(jiǎn)單感知為主，教師不急于給出一些一般化的結(jié)論，比如直線CF就是直線x=-4，或BD所在直線就是直線y=-x等．教學(xué)的“度”要根據(jù)學(xué)情相機(jī)而定．

教學(xué)環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，完善生成結(jié)構(gòu)化板書(shū)

教師小結(jié)：上一代產(chǎn)品數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.類(lèi)似地，我們?cè)谶@節(jié)課中利用平面直角坐標(biāo)系研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，都有唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)(即點(diǎn)M的坐標(biāo))和它對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于任意一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一個(gè)點(diǎn)M(即坐標(biāo)為(x，y)的點(diǎn))和它對(duì)應(yīng)．我們也可以說(shuō)，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的．通過(guò)上述小結(jié)，形成并完善得到結(jié)構(gòu)化板書(shū)(圖2)．

圖2

2 讓數(shù)學(xué)教學(xué)“富有趣味”

(1)基于教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，構(gòu)思有趣的新知導(dǎo)入情境.很多科技新產(chǎn)品的發(fā)布會(huì)，多是由公司CEO或代言人推介新品，我們選擇“新產(chǎn)品發(fā)布會(huì)”這樣有趣的情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在黑板上板書(shū)“新工具推介”．從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生上課之后聽(tīng)說(shuō)老師今天要舉行一場(chǎng)新產(chǎn)品發(fā)布會(huì)，平時(shí)一向嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)老師竟然要擔(dān)任新品發(fā)布會(huì)的代言人，都非常好奇，對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容充滿期待．這種有趣的新知導(dǎo)入并不是簡(jiǎn)單湊熱鬧、貼標(biāo)簽式的“無(wú)厘頭”情境導(dǎo)入，而是基于本課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，也是深刻理解數(shù)學(xué)后的情境選擇．從平面直角坐標(biāo)系的概念來(lái)看，它由兩條數(shù)軸組成，可見(jiàn)本課新知源頭在數(shù)軸；從數(shù)學(xué)的維度來(lái)看，數(shù)軸關(guān)注的是一維，平面直角坐標(biāo)系是二維平面的研究工具；再有，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，而坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的．這些都表明，平面直角坐標(biāo)系完全可以看成是數(shù)軸更新?lián)Q代后的新工具：保留舊功能，但新功能更強(qiáng)大．

(2)類(lèi)比數(shù)軸學(xué)習(xí)坐標(biāo)系，讓新知的學(xué)習(xí) 更有數(shù)學(xué)味.通過(guò)數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系的對(duì)比分析，可以看出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，這事實(shí)上 也是很多知識(shí)鏈上數(shù)學(xué)知識(shí)的重要特點(diǎn)．在新 知教學(xué)與引入時(shí)，我們選擇從舊知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)概念，接著推介、定義了平面直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生看到了一個(gè)功能更加強(qiáng)大的數(shù) 軸結(jié)合的工具，由教師直接講解與之相關(guān)的新的概念(如點(diǎn)的坐標(biāo)、象限等)．需要指出的是，這個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有安排學(xué)生開(kāi)展探究，也是針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的需要，因?yàn)檫@類(lèi)知識(shí)屬于“約定”“直接定義”的范疇，沒(méi)有必要讓學(xué)生參與探究、發(fā)現(xiàn)發(fā)明．

(3)從習(xí)題走向問(wèn)題，讓例習(xí)題教學(xué)更有探究味.在這節(jié)課的前半程教學(xué)中，舊知回顧時(shí)的數(shù)軸復(fù)習(xí)安排學(xué)生對(duì)話，復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)概念，之后的新知推介是以教師講授為主；在后半程例習(xí)題教學(xué)過(guò)程中，為了幫助學(xué)生理解新知和新的約定，學(xué)生根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置后，通過(guò)一系列問(wèn)題串引領(lǐng)學(xué)生在坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行探究，系列問(wèn)題有效關(guān)聯(lián)了所給的幾個(gè)點(diǎn)．應(yīng)該可以看出，這些點(diǎn)的坐標(biāo)都是經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的，有利于后續(xù)問(wèn)題串的漸次推進(jìn)．這種例習(xí)題的設(shè)計(jì)，是從習(xí)題走向問(wèn)題，一字之差，使得例習(xí)題的教學(xué)更有探究味，避免了讓學(xué)生進(jìn)行一題接一題、題題無(wú)聯(lián)系的刷題式訓(xùn)練．