問題導(dǎo)學(xué)·歸納生成·素養(yǎng)提升
——“歸納推理”的實(shí)錄與反思*

徐德明

(江蘇省泰興市第三高級中學(xué) 225400)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自于江蘇省四星級高中，生源處于中等層次，基礎(chǔ)尚可，有一定的問題意識、探究水平和歸納推理能力．

1.2 教材分析

“歸納推理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》蘇教版選修2-2“2.1合情推理與演繹推理”第1課的內(nèi)容．推理分“合情推理”與“演繹推理”，“歸納推理”是“合情推理”的一種．本節(jié)課是本章的起始課，要讓學(xué)生了解推理的含義、構(gòu)成，了解歸納推理的一般意義，加強(qiáng)對歸納推理的理解與感悟，弄清楚推理的過程．

邏輯推理是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一．推理與證明貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的知識體系，屬于數(shù)學(xué)思維活動(dòng)范疇．教材在很多教學(xué)內(nèi)容的編排上都采用了先歸納猜想再論證的方法，故學(xué)生從小學(xué)開始就已經(jīng)接觸了許多歸納推理的事例.本節(jié)課對歸納推理集中講授，目的是讓學(xué)生從理論上認(rèn)識這種思想方法，進(jìn)一步提高其從特殊到一般的歸納能力，提升其邏輯推理的水平．

數(shù)學(xué)史上有很多著名的數(shù)學(xué)猜想，諸如“哥德巴赫猜想”“費(fèi)馬猜想”等，數(shù)學(xué)猜想從某種程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展.本節(jié)課通過幾個(gè)實(shí)例的介紹讓學(xué)生了解一代又一代數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不懈、堅(jiān)定不移、攻堅(jiān)克難的探索精神，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家探索過程的艱辛，培養(yǎng)學(xué)生勇于追求、不斷思考的科學(xué)素養(yǎng)，具有較高的人文價(jià)值與精神引領(lǐng)作用．

教學(xué)目標(biāo) (1)了解推理的含義，理解歸納推理的概念，能用歸納的方法解決一些簡單的推理問題；(2)在解決歸納推理實(shí)際問題的過程中，體會由部分到整體，由特殊到一般的思想方法；(3)了解數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)家探索求知的精神．

教學(xué)重點(diǎn) 歸納推理概念的理解和應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn) 形成從特殊到一般的歸納能力．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 激發(fā)興趣

介紹華羅庚講的一個(gè)故事，邊講邊演示．

從一個(gè)袋子里摸球，摸出來的第一個(gè)球是紅玻璃球，第二個(gè)球是紅玻璃球，第三個(gè)球是紅玻璃球．

師：大家猜想一下，這個(gè)袋子里的東西全部是紅玻璃球嗎？

生：一定是的.(這時(shí)教師從里面摸出的球是白色的，猜想不成立．)

師：大家想一下，這個(gè)袋子里的東西都是玻璃球嗎？

這時(shí)學(xué)生回答比較謹(jǐn)慎，有的答是，有的答不一定．讓學(xué)生到講臺來摸，一個(gè)學(xué)生摸的是玻璃球，另一個(gè)學(xué)生摸的是木球，猜想又一次不成立．

師：是不是袋里的東西都是球？

學(xué)生短暫沉默，不敢再妄下結(jié)論．

設(shè)計(jì)意圖通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，師生互動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生直觀感受歸納推理的過程以及推理結(jié)果的不確定性．

2.2 案例推進(jìn) 形成概念

案例1前提：

當(dāng)n= 0時(shí)，n2-n+ 11 = 11；

當(dāng)n= 1時(shí)，n2-n+ 11 = 11；

當(dāng)n= 2時(shí)，n2-n+ 11 = 13；

當(dāng)n= 3時(shí)，n2-n+ 11 = 17；

當(dāng)n= 4時(shí)，n2-n+ 11 = 23；

當(dāng)n= 5時(shí)，n2-n+ 11 = 31．

師：上面這一串式子有什么特點(diǎn)？

生：11, 11, 13, 17, 23, 31都是奇數(shù)，且是質(zhì)數(shù)．

師：同學(xué)們想想能推出什么結(jié)論？

生：對于所有自然數(shù)n，n2-n+ 11 的值都是質(zhì)數(shù)．

師：案例1從前提到結(jié)論經(jīng)歷了怎樣的思維過程？

生：從特殊的現(xiàn)象到一般性的結(jié)論．

師：很好．

案例2前提：矩形的對角線的平方等于長和寬的平方和．

師：長方體的體對角線有類似的結(jié)論嗎？如果有，是什么？

生：長方體的體對角線的平方等于長、寬、高的平方和．

師：案例2從前提到結(jié)論經(jīng)歷了怎樣的思維過程？(提示學(xué)生從特殊與一般的角度進(jìn)行分析)

生：從一個(gè)特殊的結(jié)論得到另一個(gè)相關(guān)的特殊結(jié)論．

案例3前提：所有的金屬都能導(dǎo)電，銅是金屬．

師：銅能導(dǎo)電嗎？

生：銅能導(dǎo)電．

師：案例3從前提到結(jié)論經(jīng)歷了怎樣的思維過程？

生：從一般的結(jié)論得到一個(gè)特殊結(jié)論．

師：請大家完成下面表格，思考3個(gè)案例之間的共同點(diǎn)．

前提結(jié)論特點(diǎn)類型案例1歸納案例2類比案例3演繹

師生共同提煉出推理的定義：推理就是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的命題得出另一個(gè)新命題的思維過程，任何推理都包括前提和結(jié)論兩個(gè)部分．

師：請同學(xué)們舉出幾個(gè)生活或數(shù)學(xué)中推理的例子．

生：瑞雪兆豐年、 螞蟻搬家、 燕子低飛就要下雨等等．

設(shè)計(jì)意圖教材給出的3個(gè)案例，分別對應(yīng)歸納推理、類比推理、演繹推理，既有數(shù)學(xué)中的例子，也有生活中的例子，目的是讓學(xué)生從熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，體會推理的基本形式和特點(diǎn)，逐步總結(jié)推理的定義，這個(gè)過程本身也是歸納推理的過程．

2.3 意義建構(gòu) 內(nèi)化理解

繼續(xù)考察案例1，案例1的特點(diǎn)是從特殊到一般，再看下面幾個(gè)例子：

例1(觀察)蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴是用肺來呼吸的．(特殊)

(概括)蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物． (↓歸納)

(猜想)爬行動(dòng)物都是用肺來呼吸的．(一般)

在例子分析的過程中，不斷滲透蛇、鱷……是幾種特殊的爬行動(dòng)物，用肺來呼吸，得出的結(jié)論是所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸(一般性)．

例2三角形的內(nèi)角和是180° =180°× (3-2)；凸四邊形的內(nèi)角和是360°=180°×(4-2)；凸五邊形的內(nèi)角和是540°=180°×(5-2)．(特殊)

(根據(jù))三角形、凸四邊形、凸五邊形都是凸多邊形．(↓歸納)

(猜想)凸n邊形的內(nèi)角和是180°×(n-2)．(一般)

同樣，教師在分析的過程中刻意強(qiáng)調(diào)凸n邊形的內(nèi)角和的度數(shù)與邊數(shù)n的關(guān)系，進(jìn)而從幾個(gè)特殊的凸多邊形得出所有凸邊形的內(nèi)角和度數(shù)公式．

師：案例1和上述兩個(gè)例子，其推理有什么特點(diǎn)？

生：從特殊的事實(shí)到一般的結(jié)論．

師生共同提煉歸納推理的定義：從個(gè)別實(shí)驗(yàn)中推演出一般性的結(jié)論,這樣的推理稱為歸納推理．

歸納推理的一般模式：

(觀察)S1具有性質(zhì)P，S2具有性質(zhì)P，……

Sn具有性質(zhì)P．(特殊)

(概括)S1,S2, …,Sn, …是S類事物的對象．(↓歸納)

(猜想)S類事物具有性質(zhì)P．(一般)

歸納推理的思維過程：

師：歸納推理的思維過程中，觀察是基礎(chǔ)，要認(rèn)真仔細(xì)地觀察，要在不斷的觀察中找特點(diǎn)，尋規(guī)律，掌握聯(lián)系與差異，觀察變化與趨勢．大家再思考一下案例1，你們剛才歸納得出的結(jié)論一定正確嗎？為什么？

生：不一定！n= 11時(shí)結(jié)果就不是質(zhì)數(shù)．

師：這說明我們通過歸納推理得出的結(jié)果不一定是正確的，還有待進(jìn)一步的證明．

設(shè)計(jì)意圖從特殊到一般是歸納推理的特點(diǎn)，是學(xué)生熟悉的推理方式，這里通過對案例1、例1、例2這3個(gè)問題的歸納，目的是為了得出歸納推理的一般形式，而對歸納結(jié)論正確與否的論證不是本節(jié)課的重點(diǎn)，只需要讓學(xué)生知道歸納推理結(jié)果的或然性．

2.4 經(jīng)典探究，深化理解

例44 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，10 = 3 + 7 = 5 + 5，12 = 5 + 7，14 = 3 + 11 = 7 + 7，16 = 3 + 13，18 = 5 + 13 = 7 + 11，…．觀察上面等式，歸納猜想一般結(jié)論．(學(xué)生自由發(fā)言，教師點(diǎn)評)

設(shè)計(jì)意圖哥德巴赫猜想是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，這個(gè)猜想完整地體現(xiàn)了歸納推理的過程 ，具有代表性．這里讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷“哥德巴赫猜想”的發(fā)現(xiàn)過程，使學(xué)生充分感受觀察實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，得出結(jié)論的完整經(jīng)過，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

師：你們真了不起?。∧銈兙谷粴w納出了大數(shù)學(xué)家哥德巴赫的一個(gè)非常有名的猜想！哥德巴赫(Goldbach, 1690—1764)是一位著名的數(shù)學(xué)家，1742年哥德巴赫由以上一組等式觀察猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和(簡稱“1 + 1”)．可他既證明不了這個(gè)猜想，也否定不了這個(gè)猜想，于是哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過艱苦的證明也未能證明這個(gè)結(jié)論．1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“任何一個(gè)充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”(簡稱“1 + 2”)，這一結(jié)論十分接近哥德巴赫猜想，在國際上被稱為“陳氏定理”．雖然經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的不斷努力，但至今還沒有人能完全證明這個(gè)命題，在座的各位同學(xué)好好努力，證明“哥德巴赫猜想”的任務(wù)就由你們來完成吧！

設(shè)計(jì)意圖《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課標(biāo)2017》)提出“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)”，通過數(shù)學(xué)教育“培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”.這里通過向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家對“哥德巴赫猜想”探究的艱辛歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是人類社會不斷探索積累才形成的一門學(xué)科，感悟數(shù)學(xué)家探索過程的艱辛和孜孜以求的科研精神，使學(xué)生形成文化傳承意識，激發(fā)學(xué)生的探究精神．

2.5 當(dāng)堂反饋 鞏固提升

師：通過前面的幾個(gè)例題，我們了解了歸納推理的一般方法，下面請大家試試解決下面兩個(gè)問題吧！

(學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、小組討論很快得出了結(jié)果)

設(shè)計(jì)意圖借助兩道數(shù)列問題，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理的意義和特點(diǎn)，掌握歸納推理的一般步驟，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)演繹推理和數(shù)學(xué)歸納法埋下伏筆．

2.6 課堂小結(jié) 布置作業(yè)

對這節(jié)課的內(nèi)容梳理小結(jié)：(1)歸納推理具有哪些特點(diǎn)；(2)歸納推理具有什么局限性；(3)歸納推理有什么作用．

在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，總結(jié)：(1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容；(2)由歸納推理得出的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此它不能作為證明的工具；(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．

作業(yè)布置：第66頁第3～5題．

設(shè)計(jì)意圖歸納推理基于觀察和實(shí)驗(yàn)，人們很多重大的發(fā)現(xiàn)都是歸納的結(jié)果，但要引導(dǎo)學(xué)生“推理結(jié)論具有多樣性”“猜想的結(jié)果也未必準(zhǔn)確”，從而加深對概念的理解，強(qiáng)調(diào)推理的作用．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

根據(jù)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，這節(jié)課的主要任務(wù)是讓學(xué)生理解推理的含義，掌握歸納推理的特征及一般方法，重點(diǎn)感悟推理的過程，教學(xué)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生探索、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納.學(xué)生對歸納推理并不陌生，在生活實(shí)際和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都經(jīng)常遇到，所以這節(jié)課主要解決的問題是對歸納推理的理解和應(yīng)用，形成從特殊到一般的歸納能力．另外，從數(shù)學(xué)史來看，很多

重要史實(shí)的發(fā)現(xiàn)依賴于合情推理，如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想等都是通過歸納推理提出猜想，再經(jīng)過演繹推理給予證明，給學(xué)生提供數(shù)學(xué)史知識，有助于學(xué)生的素養(yǎng)提升．

3.2 教學(xué)反思

(1)目前高中生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)重，壓力大，課時(shí)多，作業(yè)多，個(gè)中原因很多，但我認(rèn)為課堂效益低下是一個(gè)重要的原因.現(xiàn)在有些數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中急功近利，不重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，掐頭去尾燒中段，忽視知識的來龍去脈，縮減思維過程，就會造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重“消化不良”，導(dǎo)致學(xué)生對知識的表層理解和機(jī)械記憶，不能在比較、變化、聯(lián)系中揭示內(nèi)涵，數(shù)學(xué)中的很多結(jié)論不能掌握其本質(zhì)．我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視知識的生成、發(fā)生和發(fā)展過程.本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生利用歸納的方式學(xué)習(xí)歸納推理的含義和過程，而不是簡單地模仿歸納推理的形式，從而讓學(xué)生的認(rèn)知有了廣度和深度．

(2)歸納推理是作為一種思維活動(dòng)而存在，并不依附于某一段知識或某一個(gè)知識點(diǎn)．事實(shí)上，教材十分重視對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，學(xué)生從小學(xué)就開始接觸歸納推理的方法，高中教材中又單獨(dú)開辟一章內(nèi)容集中講解“推理與證明”．《課標(biāo)2017》也提出學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的”．教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)重視知識產(chǎn)生過程中的合情推理，而不能僅是在單獨(dú)教這一章節(jié)內(nèi)容的時(shí)候才給予關(guān)注．另外，數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，又是歸納的科學(xué)，合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)中不可分割的兩部分．證明是后面將要專門學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在本節(jié)課教學(xué)活動(dòng)中，可以通過具體的例子讓學(xué)生明白歸納推理結(jié)果的或然性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思辨精神，也為后面的演繹推理埋下伏筆．

(3)數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)人的活動(dòng)，應(yīng)該以學(xué)生的發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培育學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；數(shù)學(xué)建模活動(dòng)、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開展應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新，積累發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣.另外，教師還應(yīng)該將數(shù)學(xué)文化融入日常的教學(xué)活動(dòng)中，提升學(xué)生的科學(xué)精神和人文素養(yǎng)，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣．