數(shù)列常考綜合題型及破題思路探究

◇ 山東 杲 峰

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識，一些綜合類的習(xí)題較為抽象，難度較大，是中學(xué)生最易失分的題型.

1 數(shù)列新定義題型及破題思路

數(shù)列新定義題在高中數(shù)學(xué)相關(guān)測試以及高考中出現(xiàn)頻率較高，對學(xué)生理解以及分析問題的能力要求較高.解題的關(guān)鍵在于深入理解新定義，充分挖掘隱含條件，靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)列知識.為使學(xué)生掌握該類題的解題思路，實(shí)現(xiàn)迅速破題，教師在授課過程中應(yīng)做好等差與等比數(shù)列知識的深入講解，不僅使其能準(zhǔn)確地記憶相關(guān)的結(jié)論、性質(zhì)，還應(yīng)鼓勵(lì)其進(jìn)行推導(dǎo)，知其然更知其所以然，避免死記硬背.同時(shí)，還要讓學(xué)生在解題過程中靈活運(yùn)用題干已知條件，把握本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)列各項(xiàng)關(guān)系的靈活推導(dǎo)與轉(zhuǎn)化.

例1已知正整數(shù)k，如數(shù)列｛an｝滿足以下等式：an-k+an-k-1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，對所有的正整數(shù)n（n＞k）恒成立，則稱數(shù)列｛an｝為“P（k）數(shù)列”.（1）證明等差數(shù)列｛an｝為P（3）數(shù)列；（2）如數(shù)列｛an｝既是P（2）數(shù)列，又為P（3）數(shù)列，證明｛an｝是等差數(shù)列.

分析解答數(shù)列新定義綜合題的關(guān)鍵在于理解新定義，搞清楚題干中給出的等式關(guān)系.問題（1）只需要將k=3代入給出的等式，運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)便不難證明.問題（2）難度稍大，應(yīng)緊扣給出的條件，積極回顧所學(xué)的等差數(shù)列定義進(jìn)行證明.

解析

（1）由已知條件可知，將k=3代入關(guān)系式易得：an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，由等差數(shù)列等差中項(xiàng)知識易得出等差數(shù)列｛an｝為P（3）數(shù)列.

（2）因?yàn)閿?shù)列｛an｝既是P（2）數(shù)列，又為P（3）數(shù)列.

當(dāng)n≥3時(shí)，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①所以an-2+an-1=4an-（an+1+an+2），an+1+an+2=4an-（an-2+an-1）.

令n=n-1，則由式①可得

又因?yàn)楫?dāng)n≥4時(shí)，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an， ④

將②③代入④，得到an-1+an+1=2an（n≥4）.所以a3，a4，a5，…，an為等差數(shù)列.

設(shè)d 為其公差，在①中分別取n=4和n=3，化簡得到a2=a3-d，a1=a3-2d.

綜上，｛an｝是等差數(shù)列.

2 數(shù)列與方程題型及破題思路

學(xué)生對數(shù)列與方程綜合題型并不陌生.該類題難度一般不大，通常將數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)或前n 項(xiàng)和與方程的兩根關(guān)聯(lián)起來.解答該類問題時(shí)需要求出方程的兩根，并根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項(xiàng)或者數(shù)列的前n 項(xiàng)和.需要注意的是，如果是等比數(shù)列與方程相結(jié)合的題目，需要對求出的根進(jìn)行合理取舍，準(zhǔn)確求出數(shù)列通項(xiàng)公式后，再根據(jù)問題要求，靈活運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和相關(guān)知識解答.

例2｛an｝是遞增的等差數(shù)列，且a2和a4為方程x2-5x+6=0的兩根.求數(shù)列的前n 項(xiàng)和Sn.

分析該題難度中等，根據(jù)給出的方程不難求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.求數(shù)列的前n 項(xiàng)和可使用錯(cuò)位相減法.

解析

因?yàn)閍2和a4為 方 程x2-5x+6=0 的兩根，且數(shù)列為遞增數(shù)列，所以a2=2，a4=3.又因?yàn)閍4-a2=2d，解得則所以

3 數(shù)列與函數(shù)題型及破題思路

數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)的特殊函數(shù)，這就意味著一些函數(shù)知識可用于解答相關(guān)數(shù)列習(xí)題，包括函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識等，都能用于分析數(shù)列綜合題.為使學(xué)生更好地掌握該類題型的解題思路，應(yīng)提高其函數(shù)知識應(yīng)用意識，使其能靈活運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和等知識解題.另外，在進(jìn)行推理時(shí)應(yīng)時(shí)刻關(guān)注數(shù)列的自變量n，保證得出的結(jié)論有意義，必要情況下可進(jìn)行分類討論.

例3已知｛an｝為公差為d 的等差數(shù)列，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x圖象上（n 為正數(shù)）.（1）證明數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列；（2）設(shè)a1=1，過函數(shù)f（x）圖象上點(diǎn)（a2，b2）的切線在x 軸上的截距為，求數(shù)列｝的前n 項(xiàng)和Sn.

分析（1）根據(jù)已知條件運(yùn)用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明.（2）難度較大，需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識求得切線的斜率與在x 軸上的截距，得出數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式，而后使用錯(cuò)位相減法求出Sn.

解析

（1）由 已知條 件 可知，bn=2an，則bn+1=2an+1，則bn+1／bn=2d，因此，｛bn｝是以2a1為首項(xiàng)，公比為2d的等比數(shù)列.

（2）對函數(shù)f（x）=2x求導(dǎo)得到f′（x）=2xln2，則過點(diǎn)（a2，b2）的切線方程為y-2a2=2a2ln2（xa2），令y=0，求得其在x 軸上的截距為

4 數(shù)列與不等式題型及破題思路

數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題難度較大，但授課中應(yīng)注重樹立學(xué)生的自信，為學(xué)生歸納好該類題目的解題思路.該類題目通常和數(shù)列的前n 項(xiàng)和結(jié)合起來，因此，求解時(shí)可靈活應(yīng)用數(shù)列前n 項(xiàng)和求解方法，包括公式法求和、分組求和、列項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減法求和等.而后使用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性或放縮法等找到與要求解問題之間的聯(lián)系.尤其對學(xué)生而言，放縮法難度較大，可鼓勵(lì)學(xué)生記憶一些常見的放縮技巧，并不斷地訓(xùn)練，直至正確牢固地掌握.

5 結(jié)語

為使學(xué)生掌握數(shù)列綜合題型的解題思路，教師在授課過程中應(yīng)認(rèn)真匯總常考的數(shù)列綜合題型，并為學(xué)生講解解題過程以及解題時(shí)應(yīng)注意的關(guān)鍵點(diǎn)，使其積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，以便遇到類似問題時(shí)能迅速破題.