拉普拉斯變換及其在物理學(xué)中的應(yīng)用研究

唐鴿 劉桂香 賈久峰

【摘?要】拉普拉斯變換又被稱為拉氏變換，是拉普拉斯總結(jié)當(dāng)時(shí)所有的概率論之后提出的，是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具。本文研究分析了拉普拉斯變換在解線性常微分方程、電路分析、阻尼振動(dòng)中的應(yīng)用。研究表明傅里葉積分變換大大減少了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展有著顯著的促進(jìn)作用。

【關(guān)鍵詞】拉氏變換;解線性常微分方程;電路分析;阻尼振動(dòng)

1812年法國的分析學(xué)家概率論學(xué)家和物理學(xué)家Pierre-Simon Laplace，（1749-1827）總結(jié)了當(dāng)時(shí)所有有關(guān)概率論的研究，在《概率的分析理論》中導(dǎo)入了拉普拉斯變換并在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)過嚴(yán)格論證之后于19世紀(jì)末期被英國工程師物理學(xué)家Oliver?Heaviside，（1850-1925）稱之為算子法，在電路分析學(xué)中有著廣泛應(yīng)用。

1拉普拉斯變換【1】

拉普拉斯變換是一種重要的積分變換，它建立傅里葉變換的基礎(chǔ)上，比傅里葉變換的范圍更廣。

一個(gè)函數(shù)f（t）進(jìn)行拉普拉斯變換為F（s）定義如下：

2 拉普拉斯變換的應(yīng)用

2.1求解線性常微分方程

在求解線性常微分方程中拉普拉斯變換是一種分非常重要是數(shù)學(xué)工具，出可將實(shí)變量函數(shù)轉(zhuǎn)換為虛變量函數(shù)，對(duì)線性常微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可以轉(zhuǎn)換成含有s的代數(shù)方程，最終可得到其在s域上的解，并對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯逆變換即可得線性常微分方程的通解和特解，十分方便。

例如有一個(gè)二階線性常微分方程：

我們可以通過上面的計(jì)算可以看出，若求一個(gè)線性常微分方程的解運(yùn)用拉普拉斯運(yùn)算是十分簡便的。只需要對(duì)其進(jìn)行拉氏變換，求出X（s）后對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯反變換就可以得到我們想要的通解了。

2.2電路分析【2-3】

在電路分析中拉普拉斯變換也有著重要應(yīng)用，在電路分析中的向量法是一種變換域的分析方法，可將電壓電流等物理量在時(shí)域中的單一頻率正余弦波變換為頻域的向量中來。通過分析計(jì)算得出相量形式的電壓和電流，最后對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯反變換變?yōu)闀r(shí)城正余弦電壓電流。相量法實(shí)質(zhì)是將電路中一些的物理量在時(shí)域正余弦交流變化中求解微分方程的計(jì)算，從而轉(zhuǎn)化為在頻域中求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題，從而簡化數(shù)學(xué)計(jì)算。

對(duì)于動(dòng)態(tài)電路的分析，一般情況下有兩種方法，即變換域分析法和時(shí)域分析法，我們可以對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換從而得到復(fù)頻域分析，是一種非常重要的變換域分析法。而時(shí)域分析法經(jīng)常用于處理簡單的二階電路的問題和一些一階電路問題。對(duì)于高階電路來說采用時(shí)域分析法來求解電路時(shí)，確定初始條件和積分常數(shù)的計(jì)算十分復(fù)雜，不利于簡化問題。如果，這時(shí)如果對(duì)電路進(jìn)行運(yùn)用拉普拉斯變換的復(fù)頻域分析法即對(duì)電路進(jìn)行拉普拉斯變換就可以簡化計(jì)算。

拉普拉斯變換是積分變化，它可以將動(dòng)態(tài)電路過程中描述時(shí)域的常系數(shù)線性微分方程變轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域下的復(fù)數(shù)代數(shù)方程，在復(fù)頻域的求解這，可以解得對(duì)應(yīng)量的復(fù)頻域函數(shù)，最后經(jīng)拉普拉斯反變換可以求解到在時(shí)域下的對(duì)應(yīng)量。在動(dòng)態(tài)電路的分析中這種時(shí)域和復(fù)頻域相互轉(zhuǎn)換的變換分析方法，實(shí)質(zhì)就是時(shí)域問題變換為復(fù)頻域來求解，簡化了計(jì)算。

2.3 阻尼振動(dòng)方程

在研究物理學(xué)的阻尼振動(dòng)中，由于系統(tǒng)受阻尼影響振幅會(huì)隨時(shí)間的增大而逐漸減小，且在同一種阻尼下阻尼的大小與運(yùn)動(dòng)的速度成正比，所以可以加一個(gè)周期的策動(dòng)力，策動(dòng)力按周期的余弦變化規(guī)律且初相位為零。記為：

研究表明傅里葉積分變換大大減少了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展有著顯著的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室編.積分變換第三版[M].北京高等教育出版社.

[2]徐美進(jìn)，陳永衡.積分變換的電學(xué)應(yīng)用[J].學(xué)院學(xué)報(bào)2006，26（02）：136-138

[3]Duhamel P，Vetterli M. Fast Fourier transform：a tutorial review and a state of the art. Signal processing，19：259-299，1990.

作者簡介：

唐鴿，1981年10月出生，女，湖南省邵陽市，漢族，碩士研究生，講師，研究方向：凝聚太物理。