關(guān)于高等代數(shù)中一些問(wèn)題的注記

摘 要 本文考慮了高等代數(shù)中的某些具有唯一性的量，例如可逆矩陣的逆、可逆線性變換的逆、矩陣的譜等，以及某些不具有唯一性的量，比如使實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的正交矩陣、使對(duì)稱(chēng)矩陣合同于對(duì)角矩陣的可逆線性替換矩陣等. 最后總結(jié)了在高等代數(shù)課程中多次出現(xiàn)的等價(jià)關(guān)系， 以期使讀者能夠更好的掌握高等代數(shù)這門(mén)課程。

關(guān)鍵詞 高等代數(shù) 線性變換 正交矩陣 對(duì)稱(chēng)矩陣 等價(jià)關(guān)系

中圖分類(lèi)號(hào)：O151文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在高等代數(shù)的教材中編者往往或?yàn)榱司帉?xiě)的流暢性，或?yàn)槠?，或?yàn)楹雎缘仍?，高等代?shù)中某些量的是否唯一性并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)太多，或者根本就忽略了。為了使大家能夠更加容易理解這些量，在本文中我們列舉了一些出來(lái)，以饗讀者，希望讀者能夠更好的掌握高等代數(shù)這門(mén)課。

1某些量的唯一性

1.1可逆矩陣的逆

首先我們給出大部分教材給出了證明的一個(gè)性質(zhì)，其證明具有參考性，其他的有些性質(zhì)可以類(lèi)似給出。

性質(zhì)1.1：可逆的矩陣的逆是唯一的。

證：假設(shè)矩陣A是可逆的，矩陣B和C都是A的可逆矩陣，則 BA=E，AC=E

故 B=BE=BAC=EC=C

所以唯一性得證。

1.2可逆的映射的逆

類(lèi)似地我們可以得到下面的結(jié)論：

性質(zhì)1.2：可逆的映射的逆是惟一的。

證 ?假設(shè)映射 是可逆的，并且映射和都是的可逆映射，則故所以唯一性得證。

1.3可逆的線性變換的逆

由于線性變換也是映射，所以我們也可以容易得到下面的結(jié)論。

性質(zhì)1.3.可逆的線性變換的逆是惟一的。

1.4正交變換的逆

由于正交變換也是線性變換，所以也能夠得到下面的結(jié)論：

性質(zhì)1.4：正交變換的逆變換是惟一的，并且它是歐式空間的同構(gòu)映射。

1.5矩陣的譜

性質(zhì)1.5：在確定的數(shù)域下，矩陣的譜是惟一的。

矩陣的譜就是矩陣的所有特征值構(gòu)成的集合，由于矩陣的特征值就是它的特征多項(xiàng)式的所有的根，所以也是確定的，且譜是唯一的。當(dāng)然矩陣有沒(méi)有特征值是跟數(shù)域有關(guān)的，所以它的唯一性是在數(shù)域確定的情形下得出的。

當(dāng)然比較明顯的其它的概念如矩陣的秩、行列式、二次型的規(guī)范性、線性變換的線性變換的矩陣、值域與核以及線性空間的基確定的情況下任意向量的坐標(biāo)等都是惟一的，上面我們僅僅討論相對(duì)不易發(fā)現(xiàn)或推導(dǎo)的性質(zhì)。

2某些量的多元性

2.1矩陣相似的可逆矩陣

定義2.1：設(shè)A，B是數(shù)P域上的兩個(gè)方陣，如果能夠找到同數(shù)域上的可逆矩陣X，使得BX-1AX，則稱(chēng)A相似于B。

性質(zhì)2.1：若A相似于B，則滿(mǎn)足BX-1AX在同數(shù)域上的可逆矩陣X是不唯一的。

例2.1：A若相似于B，且滿(mǎn)足BX-1AX，則X也是我們要找的可逆矩陣，且滿(mǎn)足B=（X）-1A（X）。

例2.2：若n階方陣a可以對(duì)角化，則存在可逆矩陣X，使得X-1AX=A，這里A=是一個(gè)對(duì)角矩陣，是矩陣A的特征值。進(jìn)一步我們可得到AX=XA。然后把矩陣X分塊，每一列為一塊。接著我們把AX=XA展開(kāi)可得

故

也即是矩陣A的特征向量。另外只要我們找的可逆矩陣X的列是個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，都能夠使得矩陣A可以對(duì)角化。由此我們只需要改變最開(kāi)始的矩陣X的每一列的系數(shù)就會(huì)得到不同的可逆矩陣X'，這些矩陣都會(huì)滿(mǎn)足（X'）-1=AX'=，所以這樣的可逆矩陣也是無(wú)窮多的。

2.2矩陣合同的可逆矩陣

定義2.2：設(shè)A，B是數(shù)域P上的兩個(gè)方陣，如果能夠找到同數(shù)域上的可逆矩陣X，使得B=X'AX，則稱(chēng)A合同于B。

性質(zhì)2.2：若A合同于B，則滿(mǎn)足B=X'AX且定義在相同數(shù)域上的可逆矩陣X是不唯一的。

例2.3：設(shè)，，則我們可以找到滿(mǎn)足，也可以找到滿(mǎn)足，所以滿(mǎn)足的可逆矩陣X，是不惟一的。

同時(shí)，關(guān)于的選取，通過(guò)計(jì)算，只需要令是虛數(shù)單位，則它就能夠滿(mǎn)足，所以這樣的可逆矩陣也是無(wú)窮多的。

注2.1：矩陣的合同是跟數(shù)域有關(guān)的，在上例中，如果我們把數(shù)域限制在實(shí)數(shù)域上，則A不能夠合同于B。

2.3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的正交矩陣

我們知道高等代數(shù)中的一個(gè)最重要的定理之一就是任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A都可以找到一個(gè)正交矩陣T，使得化為對(duì)角矩陣.這個(gè)正交矩陣是惟一的嗎？顯然不是。

性質(zhì)2.3：若A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則可以找到多個(gè)正交矩陣T，使得化為對(duì)角矩陣。

關(guān)于這個(gè)性質(zhì)，我們可以把它看成例2.2自然地可以推出的結(jié)論。

其它的量諸如矩陣的屬于某個(gè)特征值的特征向量、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、歐式空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等明顯的是不唯一的。在這些量當(dāng)中，有些是有限的，有些是無(wú)限的。

3等價(jià)關(guān)系

等價(jià)關(guān)系是一種重要的代數(shù)關(guān)系，往往是對(duì)量進(jìn)行分類(lèi)的一個(gè)重要依據(jù)。它有三個(gè)性質(zhì)，即自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候往往不善于總結(jié)，學(xué)得不夠牢固，所以在這里我們特意提出。

（1）向量組的等價(jià)：兩個(gè)向量組可以相互線性表示。這里的向量組可以是具體的中的，也可以是線性空間V中的。當(dāng)然是一個(gè)線性空間。課本中的出現(xiàn)是從具體再到抽象的形式，易于大家的理解。

（2） 矩陣（—矩陣）的等價(jià)：指一個(gè)矩陣（—矩陣）經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到另一個(gè)矩陣（—矩陣）。

（3）矩陣的相似：見(jiàn)定義2.1。

（4）矩陣的合同：見(jiàn)定義2.2。

（5）線性空間的同構(gòu)：是指兩個(gè)線性空間（歐式空間）存在一個(gè)同構(gòu)映射。包括線性空間的同構(gòu)和歐式空間的同構(gòu)，當(dāng)然歐式空間的同構(gòu)作為線性空間來(lái)說(shuō)也一定是同構(gòu)的。

基金項(xiàng)目：樂(lè)山師范學(xué)院科研項(xiàng)目（Z1514）。

作者簡(jiǎn)介：馮新磊，男（漢），山東陽(yáng)谷人，樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，理學(xué)博士。主要研究方向符號(hào)模式矩陣以及多智能體系統(tǒng)一致性。

參考文獻(xiàn)

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[2] 俆德余，何承源，鄒國(guó)成等.高等代數(shù)（第二版）[M].四川大學(xué)出版社，2005.

[3] 林亞南.高等代數(shù)[M]，高等教育出版社，2013.