含受控源電路負(fù)載最大功率求解易錯(cuò)情況探討

代廣珍，韓 超，王冠凌

（安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

電路分析中負(fù)載何時(shí)才能獲得最大功率［1］，以及負(fù)載獲得的最大功率是多少，即最大傳輸功率問題［2］，在實(shí)際電路中應(yīng)用廣泛，如電子電路設(shè)計(jì)、測(cè)量及通訊電路等［3］.因此，在電路理論教學(xué)中，合理地分解知識(shí)點(diǎn)并加以詳細(xì)地講解，有利于學(xué)生正確理解并運(yùn)用來解決電路問題［4］.此外，電路分析中定理、定律較多，各自都有不同的應(yīng)用前提且相互之間又有一定的聯(lián)系［5-6］；分析方法較多，尤其是用理論性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)工具來解答實(shí)際電路問題過程中的理想化假設(shè)與理論抽象，很容易讓初學(xué)者產(chǎn)生困惑，不知道運(yùn)用哪種分析方法［7］.其實(shí)，對(duì)于電路分析課程教學(xué)中所涉及到的電路問題，一般根據(jù)電路結(jié)構(gòu)及組成元件的特點(diǎn)都有一種常用的分析方法最為簡(jiǎn)單，這也是前人分析總結(jié)得出的經(jīng)驗(yàn)［8］.學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中，只需要掌握已有的理論知識(shí)，并結(jié)合個(gè)人的理論基礎(chǔ)和能力加以擴(kuò)展，從而避免可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，強(qiáng)化對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握.

筆者以一道含受控源電路負(fù)載為何值時(shí)獲得最大功率的習(xí)題中所出現(xiàn)的情況為例，闡述可能出現(xiàn)的解題誤區(qū)，以幫助正確理解和避免錯(cuò)誤.

1 問題描述及求解方法

電路分析課程中關(guān)于基本概念理解的重要性，在解題過程中可以窺見一斑.圖1 所示為一含有受控電流源電路，要求計(jì)算負(fù)載RL為何值時(shí)能夠獲得最大功率.

在求解該題時(shí)，通常的做法是采用戴維寧定理等效的方法.將圖1 中電路等效變換為圖2 所示電路，圖2（a）中端口1-1’左側(cè)的有源電路等效成為了一個(gè)電壓為該電路開路電壓UOC和等效電阻REQ串聯(lián)的電源模型，如圖2（b）所示.然后，再將負(fù)載RL接入該電源模型進(jìn)行計(jì)算，如圖2（c）所示.接下來的工作是先計(jì)算出UOC和REQ，其中，UOC和REQ分別為圖2（a）中端口1-1’之間的開路電壓和輸入等效電阻.將RL接入該電源模型后，并令RL=REQ時(shí)，負(fù)載RL上獲得最大功率.運(yùn)用最大功率計(jì)算公式Pmax=U2OC/（4R2L）求解即可得到負(fù)載RL上的最大功率.

圖1 求負(fù)載何時(shí)獲得最大功率電路

圖2 戴維寧等效變換電路

2 求解過程分析及易錯(cuò)點(diǎn)描述

上述求解方法看似簡(jiǎn)單，但是在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)了不同的求解方式，而由于受控源的存在，導(dǎo)致求解過程中出現(xiàn)了各種各樣的錯(cuò)誤.下面對(duì)該問題的求解按求開路電壓和等效電阻分步進(jìn)行討論.

2.1 求解開路電壓

求解開路電壓時(shí)出現(xiàn)了兩種處理方式：

（1） 將受控電流源和并聯(lián)的3 Ω 電阻等效變換成受控電壓源與3 Ω 電阻串聯(lián)；

（2） 采用結(jié)點(diǎn)電壓法就出結(jié)點(diǎn)n 的電壓，然后再求解端口開路電壓UOC.

采用等效變換的方法得到的電路如圖3（a），對(duì)于電路中的回路可列出KVL 方程：（3+3）i=1.5i+18，并求解得：i=4 A.由于電阻2 Ω 無電流流過，因此其端壓降為零，所以開路電壓UOC=18-3i=6 V.如果在計(jì)算過程中將變換后的電壓源的極性搞錯(cuò)，則列出的KVL 方程為：（3+3）i=-1.5i+18.于是，求解得到的電流為：i=2.4 A，開路電壓為：UOC=18-3i=10.8 V.顯然，因?yàn)楹笳邔?duì)電源的兩種模型等效變換概念模糊，造成計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

采用結(jié)點(diǎn)電壓法求解［7］時(shí)，如圖3（b）電路中只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此考慮運(yùn)用結(jié)點(diǎn)電壓法的特例——彌爾曼公式求解.彌爾曼公式的表達(dá)形式為：式中表示的是灌入結(jié)點(diǎn)n 的電流之和，當(dāng)電壓源正極靠近結(jié)點(diǎn)n 或電流源電流方向指向結(jié)點(diǎn)n 時(shí)，支路x 的電流Ix為正，否則為負(fù)表示與結(jié)點(diǎn)n 相連的電導(dǎo)之和，如支路y 中電導(dǎo)Gy與電流源串聯(lián)，則Gy=0，即不包含與電流源串聯(lián)的電導(dǎo).根據(jù)彌爾曼公式列出結(jié)點(diǎn)n 的電壓方程式：并根據(jù)彌爾曼公式灌入電流的求解方法計(jì)算的電流i=18/3=6 A，帶入結(jié)點(diǎn)n 的電壓方程，計(jì)算得到Un=4.5 V.同樣，由于電阻2 Ω 無電流流過端壓降為零，開路電壓UOC=Un=4.5 V.

采用結(jié)點(diǎn)電壓法求解，計(jì)算過程并無明顯錯(cuò)誤，為什么和上一種方法計(jì)算結(jié)果不一致呢？不防運(yùn)用電路的基本定律KVL、KCL 來進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算.對(duì)于圖3（b）中的結(jié)點(diǎn)n，根據(jù)KCL 電流定律，假定由18 V 電壓源流入的電流為i，已知受控電流源流出的電流為0.5i，則經(jīng)與之并聯(lián) 3 Ω 電阻上流出的電流也為0.5i，于 是 利 用KVL 可 得 到18-3i=0.5i×3，計(jì)算得到電流i=4 A，進(jìn)一步計(jì)算得到開路電壓為：UOC=6 V.顯然，上面計(jì)算錯(cuò)誤的原因是把電壓源的灌入電流作為受控源的控制量造成的結(jié)果.受控源的控制量應(yīng)該是其所在支路的實(shí)際流過的電流，即i=4 A.因此，考慮到端口電阻2 Ω 無電流流過端壓降為零，端口開路電壓實(shí)際應(yīng)為結(jié)點(diǎn)n 的電壓，即

圖3 含受控源電路開路電壓計(jì)算

2.2 求解等效電阻

電路分析課程中，對(duì)于電阻網(wǎng)絡(luò)中端口輸入等效電阻的求解方法可以歸結(jié)為3 種：

（1）僅由純電阻構(gòu)成的端口網(wǎng)絡(luò)，采用電阻的串、并聯(lián)和混聯(lián)的方法求解；

（2）僅含有電阻和獨(dú)立源的端口網(wǎng)絡(luò)，采用將獨(dú)立源置零后再采用（1）的求解方式；

（3）除了含有電阻和獨(dú)立源外，還含有受控源的端口網(wǎng)絡(luò)，先采用（2）的方式將獨(dú)立源置零，然后對(duì)于僅含有電阻和受控源的端口網(wǎng)絡(luò)求解等效電阻.

通常對(duì)于僅含有電阻和受控源的端口網(wǎng)絡(luò)，采用外加電壓源U0求端口電流I0或外加電流源I0求端口電壓U0，然后利用REQ=U0/I0求解得到等效電阻的值.對(duì)于采用等效變換和未采用等效變換方法得到的求等效電阻的電路分別如圖4（a）、（b）所示.顯然兩個(gè)電路中均含有受控源，然而對(duì)于圖4 中（a）、（b）兩個(gè)電路，都無法直接利用端口電流I0（或電壓U0）表示出端口電壓U0（或電流I0），必須利用控制量i 作為中間變量來分別表示出端口電流I0和電壓U0，最后帶入等效電阻計(jì)算表達(dá)式計(jì)算，消去i 后得到REQ電阻值.由于中間變量的引入，為計(jì)算帶來了復(fù)雜度，不僅是在繪制求解等效電阻電路時(shí)容易出錯(cuò)，在列寫方程時(shí)由于不能直接表示出端口電流與電壓的關(guān)系也容易出錯(cuò).為了避免第一個(gè)錯(cuò)誤的出現(xiàn)，將控制量參考方向和受控源極性之間的關(guān)系保持不變.

對(duì)于圖4（a），假定端口上加電流源電流為I0，求端口電壓U0.由KCL 電流定律可得受控電壓源所在支路上的電流為I0+i，參考方向定為由上向下.于是，對(duì)于左邊的回路，可列出KVL 方程3i+3（I0+i）=1.5i，求解得I0=-1.5i.再對(duì)端口列回路方程，有兩個(gè)回路方程：

（1） 單獨(dú)的3 Ω 支路與U0組成的回路方程：-3i+2×（-1.5i）=U0；

（2） 受控源支路與組成的回路方程：-3（-1.5i+i）-1.5i+2×（-1.5i）=U0，分別求得的端口電壓皆為：U0=-6i，帶入REQ=U0/I0得到等效電阻為4 Ω.

對(duì)于圖4（b），同樣假定端口上加電流源電流為I0，求端口電壓U0.由于原獨(dú)立電壓源所在支路電流保持原有假設(shè)i，因此獨(dú)立3 Ω 電阻支路的電流也為i，且也為流入結(jié)點(diǎn)n，故對(duì)結(jié)點(diǎn)n 列KCL 方程得i+I0+i=0.5i，求得I0=1.5i.對(duì)獨(dú)立3 Ω 電阻支路和U0構(gòu)成的回路列KVL 方程得-3i+2I0=U0，帶入I0求借得U0=-6i.將求得i 表示I0和U0帶入等效電阻求解表達(dá)式，同樣可求得等效電阻REQ=4 Ω.

最后，將以上各步驟求解得到的開路電壓UOC=6 V 和輸入等效電阻REQ=4 Ω 帶入最大功率計(jì)算公式Pmax=U2OC/（4R2L），求解得到負(fù)載RL上的最大功率為Pmax≈ 0.56 W.

3 總結(jié)

電路分析作為電類及相近專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，定理、定律及分析方法繁多［1］，很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.基于含有受控源網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)載獲得最大功率的課后習(xí)題，對(duì)求解時(shí)涉及到的戴維寧定理、電路等效變換、含受控源電路等效電阻等知識(shí)運(yùn)用過程中的易錯(cuò)情況［5］進(jìn)行總結(jié)，（1）對(duì)于含有受控源電路的等效變換應(yīng)既要注意保留控制量所載支路，又要在等效變換過程中正確標(biāo)明變換后受控源的參考極性；（2）對(duì)于含有受控源電路運(yùn)用結(jié)點(diǎn)電壓法時(shí)，要注意受控源所在支路的電流或電壓應(yīng)為該支路實(shí)際流過的電流或兩端的電壓.通過明確指出學(xué)習(xí)過程中的易錯(cuò)情況使學(xué)生能夠正確理解、掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)對(duì)電路問題進(jìn)行分析解答，有利于電路理論教學(xué)過程中知識(shí)點(diǎn)的合理劃分與詳細(xì)講解，從而提高了教學(xué)效果.