算子代數(shù)上強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積的映射

賈 娟, 齊霄霏

(1. 太原學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 太原 030012; 2. 山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 太原 030006)

0 引 言

令R是具有對(duì)合運(yùn)算*的環(huán), 也稱為*-環(huán). 對(duì)任意的a,b∈R, 定義*{a,b}=ab+ba*, 稱為a,b的斜Jordan乘積[1-2]. 假設(shè)f:R→R為一個(gè)映射. 若*{f(a),f(b)}=f(*{a,b})對(duì)所有元a,b∈R均成立, 則稱f是保持斜Jordan乘積的; 若*{f(a),f(b)}=*{a,b}對(duì)所有元a,b∈R均成立, 則稱其為強(qiáng)保持斜Jordan乘積的. Li等[3]證明了因子von Neumann代數(shù)上保持斜Jordan乘積的雙射是*-環(huán)同構(gòu); Dai等[4]把上述結(jié)果推廣到更一般的von Neumann代數(shù)上, 證明了任意兩個(gè)von Neumann代數(shù)上(假設(shè)其中一個(gè)代數(shù)不含中心交換投影)保持斜Jordan乘積的雙射是線性*-同構(gòu)與共軛線性*-同構(gòu)之和; 文獻(xiàn)[5]討論了C*-代數(shù)上保持斜Jordan乘積映射的可加性. 假設(shè)A與B是兩個(gè)素C*-代數(shù), 文獻(xiàn)[5]證明了: 從A到B上的雙射Φ若保單位元, 且滿足Φ(*{A,P})=*{Φ(A),Φ(P)}對(duì)所有元A∈A及P∈{P1,IA-P1}成立, 其中P1是A中某個(gè)固定的非平凡投影, 則Φ必為*-可加的. 對(duì)于強(qiáng)保持斜Jordan乘積的映射, Taghavi等[6]證明了: 任意von Neumann代數(shù)A上的滿射Φ, 若滿足*{Φ(T),Φ(P)}=*{T,P}對(duì)所有T∈A和所有投影P∈A成立, 則Φ(I)是A中的中心元, 且存在從A中自伴元全體構(gòu)成的集合到其中心的映射h, 使得對(duì)任意自伴元T,h(T)是中心自伴元, 且有Φ(T)=TΦ(I)+ih(T)成立.

更一般地, 對(duì)于任意正整數(shù)k≥1, 可給出k-斜Jordan乘積的定義. 定義a,b的k-斜Jordan乘積為*{a,b}k=*{a,*{a,b}k-1}, 其中:*{a,b}0=b;*{a,b}1=*{a,b}=ab+ba*. 顯然, 當(dāng)k=1時(shí),a,b的k-斜Jordan乘積即為a,b的斜Jordan乘積. 對(duì)于映射f, 若*{f(a),f(b)}k=f(*{a,b}k)對(duì)所有元a,b∈R均成立, 則稱f是保持k-斜Jordan乘積的; 若*{f(a),f(b)}k=*{a,b}k對(duì)所有元a,b∈R均成立, 則稱其為強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積的. 當(dāng)k=3時(shí), 文獻(xiàn)[7-9]對(duì)算子代數(shù)上保持k-斜Jordan乘積映射進(jìn)行了刻畫. 但對(duì)于算子代數(shù)上強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積映射的研究目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 本文嘗試給出一些重要算子代數(shù)上強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積映射的具體刻畫形式, 其中k為任意正整數(shù). 注意到

其中

可見隨著k的增加, 刻畫強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積映射的問題越來越困難. 本文在一般的*-素環(huán)上討論強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積映射的刻畫問題. 令R是特征不為2、 且含有非平凡對(duì)稱冪等元e與單位元1的素*-環(huán). 假設(shè)f:R→R是滿射,k≥1是任意正整數(shù). 本文證明f強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積當(dāng)且僅當(dāng)存在滿足條件λk+1=1的對(duì)稱元λ∈C, 使得f(x)=λx對(duì)所有元x∈R均成立.

1 主要結(jié)果

設(shè)R表示一個(gè)環(huán),Z(R)為其中心. 回憶R的特征(記為charR)是指滿足條件dx=0對(duì)所有元x∈R均成立的最小正整數(shù)d. 如果不存在這樣的d, 則稱R的特征為0. 若對(duì)任意a,b∈R,aRb={0}蘊(yùn)涵a=0或b=0, 則稱R是素的.Q=Qml(R)表示極大左商環(huán).Q的中心C=C(R)稱為R的擴(kuò)展中心. 如果R是素的, 則Q也是素的, 且C是一個(gè)域. 此外,Z(R)?C. 如果R還是一個(gè)*-環(huán), 則R上的*運(yùn)算可自然地延拓到C上, 此時(shí)稱CS={λ∈C:λ=λ*}為R的對(duì)稱擴(kuò)展中心.

定理1令R是特征不為2、 且含有非平凡對(duì)稱冪等元e與單位元1的素*-環(huán). 假設(shè)f:R→R是滿射,k≥1是任意正整數(shù). 則f強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積, 即f滿足*{f(x),f(y)}k=*{x,y}k對(duì)所有元x,y∈R均成立, 當(dāng)且僅當(dāng)存在滿足條件λk+1=1的對(duì)稱元λ∈CS, 使得f(x)=λx對(duì)所有元x∈R均成立.

證明: 設(shè)e∈R是非平凡對(duì)稱冪等元, 并記e1=e,e2=1-e. 則R可分解為

R=R11+R12+R21+R22,

其中Rij=eiRej(i,j∈{1,2}).

首先, 通過直接計(jì)算可知下式成立:

(1)

充分性顯然. 對(duì)于必要性, 下面分8步證明. 利用f的滿射性知, 存在元a∈R使得

f(a)=1.

(2)

1)f是可加的.

對(duì)任意元x,y∈R, 利用等式(2), 有

即得

2k(f(x+y)-f(x)-f(y))=0.

由于R的特征不為2, 即蘊(yùn)涵f(x+y)=f(x)+f(y)對(duì)所有元x,y∈R均成立, 因此f是可加的.

2) 對(duì)任意元x∈R, 有f(x*)=f(x)*.

任取x∈R, 利用式(1),(2), 有

即蘊(yùn)涵f(x)*=f(x*)對(duì)所有元x∈R均成立.

3) 對(duì)i∈{1,2}, 下列表述成立:

①f(ei)k+1=ei且f(ei)∈Rii;

② 對(duì)任取元xii∈Rii, 存在元rii∈Rii使得f(rii)=xii.

令f(e1)=s=s11+s12+s21+s22. 由結(jié)論2)知f(e1)=f(e1)*, 即

(3)

一方面, 注意到

(4)

在式(4)左右兩邊分別乘以e2, 并利用R的特征不為2, 可得e2ske2=0. 另一方面, 由于*{f(e1),f(e1)}k=*{e1,e1}k, 所以2kf(e1)k+1=2ke1, 即有f(e1)k+1=e1, 從而

sk+1=e1ske1s+e1ske2s+e2ske1s=se1ske1+se1ske2+se2ske1=e1.

即

利用式(6)～(8),(11), 可得

類似地, 利用式(5),(9),(10),(12), 可得s21=0.

(13)

類似可證f(e2)k+1=e2,f(e2)∈R22, 且對(duì)任取元x11∈R11, 存在元r11∈R11使得f(r11)=x11.

4) 對(duì)任意元xij∈Rij, 有f(xij)=f(ei)xij=xijf(ej),i≠j∈{1,2}.

(14)

(15)

t12=s11x12=f(e1)x12,t21=0.

類似地, 利用式(15)可證t12=x12s22=x12f(e2).

下面證明t11=t22=0. 由f的滿射性與結(jié)論3)中②知, 存在元r11∈R11使得f(r11)=e1, 則有

(16)

式(16)蘊(yùn)涵t11=0. 類似可證t22=0.

5) 對(duì)任意元xii∈Rii, 有f(xii)∈Rii+Rjj,i≠j∈{1,2}.

6) 存在滿足條件λk+1=1的對(duì)稱元λ∈CS, 使得f(ei)=λei, 且對(duì)任意元xii∈Rii, 有f(xii)=λxii,i=1,2.

這里只給出i=1情形的證明, 另一種情形類似可證. 任取xij∈Rij(i,j∈{1,2}). 注意到

再由1)和4)(為方便, 令f(e1)=s11), 有

(20)

e2f(x22)e2=λx22

(21)

式(22)蘊(yùn)涵e1f(x22)e1=0, 再結(jié)合式(21)與結(jié)論5), 即得f(x22)=λx22對(duì)所有x22∈R22成立.

7) 對(duì)任意元xij∈Rij, 有f(xij)=λxij,i≠j∈{1,2}.

由結(jié)論4)和6)可知, 對(duì)任意的x12∈R12與x21∈R21, 有

f(x12)=f(e1)x12=λx12,

f(x21)=x21f(e1)={λ}x21.

8) 對(duì)任意元x∈R, 有f(x)=λx.

任取x=x11+x12+x21+x22∈R. 利用結(jié)論1),6),7), 易驗(yàn)證結(jié)論成立. 證畢.

2 主要結(jié)果在算子代數(shù)上的應(yīng)用

如果R是一個(gè)素C*-代數(shù), 則利用文獻(xiàn)[11]中推論2.4知, 其擴(kuò)展中心為C(R)=(復(fù)數(shù)域). 因此CS(R)=(實(shí)數(shù)域). 由定理1知下列推論顯然.

推論1令R是含單位元與一非平凡自伴冪等元的素C*-代數(shù). 假設(shè)Φ:R→R是一個(gè)滿射, 則Φ強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積當(dāng)且僅當(dāng)下列結(jié)論之一成立:

1) 若k是奇數(shù), 則Φ(A)=A對(duì)所有A∈R均成立, 或者Φ(A)=-A對(duì)所有A∈R均成立；

2) 若k是偶數(shù), 則Φ(A)=A對(duì)所有A∈R均成立.

令B(H)表示復(fù)Hilbert空間H上有界線性算子全體組成的代數(shù).回憶von Neumann代數(shù)M是B(H)的子代數(shù), 且滿足二次換位性質(zhì): M ″=M, 其中M ′={T:T∈B(H),TA=AT, ?A∈M }, M ″={M ′}′. 特別地, 若M的中心是I, 則稱M是因子von Neumann代數(shù).

注意到von Neumann代數(shù)是含單位元的C*-代數(shù), 且包含許多非平凡的自伴冪等元; 此外, 因子von Neumann代數(shù)是素的. 因此, 利用推論1, 可得:

推論2假設(shè)M是因子von Neumann代數(shù),Φ: M→M是滿射, 則Φ強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積當(dāng)且僅當(dāng)下列結(jié)論之一成立:

1) 若k是奇數(shù), 則Φ(A)=A對(duì)所有A∈M均成立, 或者Φ(A)=-A對(duì)所有A∈M均成立；

2) 若k是偶數(shù), 則Φ(A)=A對(duì)所有A∈M均成立.

推論3令H是維數(shù)大于1的復(fù)Hilbert空間, A?B(H)是關(guān)于H的一組給定就范正交基下的對(duì)稱標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù). 假設(shè)Φ: A→A是滿射, 則Φ強(qiáng)保持k-斜Jordan乘積當(dāng)且僅當(dāng)存在復(fù)數(shù)λ, 其滿足λk+1=1, 使得Φ(A)=λA對(duì)所有A∈A均成立.