W-空間上6個映射的公共不動點(diǎn)

高 姍

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030008)

著名的Banach收縮原理[1]已經(jīng)被廣泛地推廣和應(yīng)用[2-8]。在W-空間上，通過引入兩類3元實(shí)函數(shù)類,討論了具有交換點(diǎn)的，滿足隱式積分型收縮條件的2個和4個映射公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性問題問題，t同時給出了3個映射和1個映射的公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性定理[1-2]。通過引進(jìn)一種6元實(shí)函數(shù)類,在W－空間上討論具有交換點(diǎn)的反交換性質(zhì)且滿足積分型收縮條件的6個映射的唯一公共不動點(diǎn)存在問題。

1 準(zhǔn)備知識

定義1設(shè)X是非空集合，如果一個映射d：X×X→R+滿足d(x,y)=0 ?x=y，則稱(X,d)為W-空間[9]。

定義2設(shè)f和g是W-空間(X,d)的兩個自映射。稱f和g是反交換的，如果x∈X，fgx=gfx，則fx=gx[10]。

定義3稱x∈X是W-空間(X,d)的兩個自映射f和g的交換點(diǎn)是指稱f和g滿足fgx=gfx[10]。

定義4Φ={φ|φ：R+→R+是滿足在的任何緊子集上可積的，可求和的且對任何

定義5γ∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)(R+)7→R+，滿足對任何a>0,b>0，由a≤γ(b,b),0,0,a,a,a推出a

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是W-空間，f1,f2,g1,g2,h1,h2：X→X是6個映射，(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交換點(diǎn)的反交換映射。如果對于任何x,y,z∈X，且滿足當(dāng)d(f1x,g1y)>0，d(g2y,h2z)>0，d(h1z,f1z)>0時，

其中φ∈Φ，γ,γ′,γ″∈Γ，則f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。

證明設(shè)u,v,w是(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)的交換點(diǎn)，即

則有

則由(1) ：

則由γ的定義可知：

同理由(2),(3)可知：

則由(5),(6)可知

則(4)與(7)相矛盾,則d(f1u,g1v)>0，d(g2v,h2w)>0，d(h1w,f1u)>0里面必有一個不成立。

不妨假設(shè)d(f1u,g1v)>0不成立，即f1u=g1v，d(g2v,h2w)>0，d(h1w,f1u)>0，則(5)，(6)成立。即(7)成立，從而

則

以下證明f1u是f1的不動點(diǎn)，否則有d(f1f1u,f1u)=d(f1f1u,g1v)>0,

則由(1)，

從而f1u是f1的不動點(diǎn)。

又由f1f1u=f2f2u=f1f2u=f2f1u，可知f1u是f1,f2的公共不動點(diǎn)。同理，g1v是g1,g2的公共不動點(diǎn),h1w是h1,h2的公共不動點(diǎn)。從而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的公共不動點(diǎn)。

若a,a′是f1,f2,g1,g2,h1,h2的兩個公共不動點(diǎn)，對于(1) (2)，令x=a,y=a′,z=a,

從而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的唯一公共不動點(diǎn)。

3 應(yīng)用

根據(jù)定理1可知如下結(jié)果。

定理2設(shè)(X,d)是W-空間，f1,f2,g1,g2,1,h2：hX→X是6個映射，(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交換點(diǎn)的反交換映射。如果對于任何x,y,z∈X，且滿足當(dāng)d(f1x,g1y)>0，d(g2y,h2z)>0，d(h1z,f1z)>0時，

其中φ∈Φ，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<1，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7<1，c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7<1。則f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。

證明定義γ∈Γ：

當(dāng)a>0,b>0，且a≤γ(b,b,0,0,a,a,a)時，a≤a1b+a2b+a5a+a6a+a7a，則有從而γ∈Γ。

同理γ′∈Γ,γ″∈Γ。由定理1，f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。