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    W-空間上6個映射的公共不動點(diǎn)

    2020-07-17 16:09:48
    關(guān)鍵詞:不動點(diǎn)同理子集

    高 姍

    (太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西太原 030008)

    著名的Banach收縮原理[1]已經(jīng)被廣泛地推廣和應(yīng)用[2-8]。在W-空間上,通過引入兩類3元實(shí)函數(shù)類,討論了具有交換點(diǎn)的,滿足隱式積分型收縮條件的2個和4個映射公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性問題問題,t同時給出了3個映射和1個映射的公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性定理[1-2]。通過引進(jìn)一種6元實(shí)函數(shù)類,在W-空間上討論具有交換點(diǎn)的反交換性質(zhì)且滿足積分型收縮條件的6個映射的唯一公共不動點(diǎn)存在問題。

    1 準(zhǔn)備知識

    定義1設(shè)X是非空集合,如果一個映射d:X×X→R+滿足d(x,y)=0 ?x=y,則稱(X,d)為W-空間[9]。

    定義2設(shè)f和g是W-空間(X,d)的兩個自映射。稱f和g是反交換的,如果x∈X,fgx=gfx,則fx=gx[10]。

    定義3稱x∈X是W-空間(X,d)的兩個自映射f和g的交換點(diǎn)是指稱f和g滿足fgx=gfx[10]。

    定義4Φ={φ|φ:R+→R+是滿足在的任何緊子集上可積的,可求和的且對任何

    定義5γ∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)(R+)7→R+,滿足對任何a>0,b>0,由a≤γ(b,b),0,0,a,a,a推出a

    2 主要結(jié)果

    定理1設(shè)(X,d)是W-空間,f1,f2,g1,g2,h1,h2:X→X是6個映射,(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交換點(diǎn)的反交換映射。如果對于任何x,y,z∈X,且滿足當(dāng)d(f1x,g1y)>0,d(g2y,h2z)>0,d(h1z,f1z)>0時,

    其中φ∈Φ,γ,γ′,γ″∈Γ,則f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。

    證明設(shè)u,v,w是(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)的交換點(diǎn),即

    則有

    則由(1) :

    則由γ的定義可知:

    同理由(2),(3)可知:

    則由(5),(6)可知

    則(4)與(7)相矛盾,則d(f1u,g1v)>0,d(g2v,h2w)>0,d(h1w,f1u)>0里面必有一個不成立。

    不妨假設(shè)d(f1u,g1v)>0不成立,即f1u=g1v,d(g2v,h2w)>0,d(h1w,f1u)>0,則(5),(6)成立。即(7)成立,從而

    以下證明f1u是f1的不動點(diǎn),否則有d(f1f1u,f1u)=d(f1f1u,g1v)>0,

    則由(1),

    從而f1u是f1的不動點(diǎn)。

    又由f1f1u=f2f2u=f1f2u=f2f1u,可知f1u是f1,f2的公共不動點(diǎn)。同理,g1v是g1,g2的公共不動點(diǎn),h1w是h1,h2的公共不動點(diǎn)。從而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的公共不動點(diǎn)。

    若a,a′是f1,f2,g1,g2,h1,h2的兩個公共不動點(diǎn),對于(1) (2),令x=a,y=a′,z=a,

    從而f1u是f1,f2,g1,g2,h1,h2的唯一公共不動點(diǎn)。

    3 應(yīng)用

    根據(jù)定理1可知如下結(jié)果。

    定理2設(shè)(X,d)是W-空間,f1,f2,g1,g2,1,h2:hX→X是6個映射,(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)是具有交換點(diǎn)的反交換映射。如果對于任何x,y,z∈X,且滿足當(dāng)d(f1x,g1y)>0,d(g2y,h2z)>0,d(h1z,f1z)>0時,

    其中φ∈Φ,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<1,b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7<1,c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7<1。則f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。

    證明定義γ∈Γ:

    當(dāng)a>0,b>0,且a≤γ(b,b,0,0,a,a,a)時,a≤a1b+a2b+a5a+a6a+a7a,則有從而γ∈Γ。

    同理γ′∈Γ,γ″∈Γ。由定理1,f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點(diǎn)。

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