三角函數(shù)的值域和最值問題求解策略

王雷 葛艷

[摘要]探討三角函數(shù)的值域和最值問題的求解策略，以全面鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù);值域;最值

[中圖分類號]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0018-02

有關(guān)三角函數(shù)值域和最值問題，素來是高考命題熱點之一，求解這類問題涉及化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法，有關(guān)三角函數(shù)的值域和最值問題，通?？刹捎媚男┗镜慕忸}策略呢？

一、利用三角函數(shù)的圖像

圖像法能讓函數(shù)性質(zhì)徹底“曝光”，三角函數(shù)也是如此，當(dāng)三角函數(shù)圖像容易畫出時，它的圖像會直接顯示它的值域或最值，所以圖像法是求三角函數(shù)的值域和最值問題的首選.

[例1]已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）+|sinx-cosx|，則f（x）的值域是______

分析：去掉絕對值符號，f（x）就是一個分段函數(shù)，再分段畫出圖像.

二、利用正余弦函數(shù)的有界性

正余弦函數(shù)的值域具有有界性，即sinx，cosx∈;[-l，1]，利用這個特征可以解一些與正余弦函數(shù)復(fù)合的三角函數(shù)的值域或最值.

[例2]求下列兩個函數(shù)的值域.

（1）y=（cosx-3）/（cosx+3）;（2）y=（sinx）/（cosx+2）

分析：本題兩個函數(shù)都是與正余弦函數(shù)復(fù)合的分式型三角函數(shù)，可考慮利用三角函數(shù)的有界性來求解.

三、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題

轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)解題的主旋律，當(dāng)三角函數(shù)比較復(fù)雜，依靠三角函數(shù)本身無法求真，真值域或最值時，可把它轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)來解決，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最為常見.

[例3]（1）已知sinx+siny=1/3，求siny-cos²x的最大值與最小值.

（2）求函數(shù)y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值.

分析：（1）消去siny后可直接看成關(guān)于sinx二次函數(shù).（2）通過換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.

四、利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B求最值

對于一個含有sinx與cosx的二次齊次的三角函數(shù)來說，利用三角恒等變換公式，一般都可化成y=Asin（ωx+φ）+B形式，即將二次式轉(zhuǎn)化為一次式，繼而利用三角函數(shù)的有界性就可求出它的最值與值域.

[例4]已知函數(shù)f（x）=Asin （ωx+φ）（A>O，ω〉0，φ∈[0，π））的圖像如圖2所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+√3 f（x+2）在X∈[-1，3]上的最大值和最小值.

分析：（1）根據(jù)圖像給㈩的關(guān)鍵點的位置與坐標(biāo)求出f（x）的解析式;（2）將函數(shù)g（x）表達(dá)式y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+B的形式.

當(dāng)然，求解三角函數(shù)的值域與最值問題，還有許多方法，這些方法的根本是轉(zhuǎn)化，把原來無法解決的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）