推理與證明

一、填空題

2.（2019年啟東調(diào)研）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則它們的面積比為1：4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為________.

3.觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（-x）=________.

4.在△ABC中，若AC⊥BC，AC=b，BC=a，則△ABC的外接圓半徑r=.將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，則四面體的外接球半徑R=________.

5.設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn+1（x）=f′n（x），n∈N，則f（x）=________.2020

6.根據(jù)下面一組等式：

S1=1，

S2=2+3=5，

S3=4+5+6=15，

S4=7+8+9+10=34，

S5=11+12+13+14+15=65，

S6=16+17+18+19+20+21=111，

…

可得S1+S3+S5+…+S2n-1=________.

則當(dāng)n＜m，且m，n∈N時(shí)，=________.（結(jié)果用m，n表示）.

9.（2019年石家莊市調(diào)研）某校為高一學(xué)生開設(shè)了三門選修課程，分別是文學(xué)與藝術(shù)、哲學(xué)初步、數(shù)學(xué)史.調(diào)查某班甲、乙、丙三名學(xué)生的三門選修課程的選修情況時(shí)，甲說(shuō)：“我選修的課程比乙多，但沒(méi)有選修哲學(xué)初步.”乙說(shuō)：“我沒(méi)有選修數(shù)學(xué)史.”丙說(shuō)“我們?nèi)诉x修的課程中，有一門課程是相同的.”由此可以判斷乙選修的課程為________.

10.（2019年威海模擬）對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：仿此，若m3的“分裂”數(shù)中有一個(gè)是73，則m的值為________.

二、解答題

（1）求證：B1D1∥平面A1BD；

（2）求證：MD⊥AC；

（3）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

（第11題）

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若對(duì)任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

13.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且（Sn-1）2=anSn.

（1）求a1；

（3）是否存在正整數(shù)m，k，使成立？若存在，求出m，k；若不存在，說(shuō)明理由.

14.（2019年全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.