關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的教學研究

蘇新衛(wèi)

摘 要 針對部分教材中復(fù)變函數(shù)積分內(nèi)容的安排特點，從拓展式方法及一題多解兩方面分析復(fù)變函數(shù)積分教學，有利于拓寬學生的解題思路。

關(guān)鍵詞 復(fù)積分 拓展 一題多解

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

復(fù)變函數(shù)積分的路徑主要有兩種-閉和非閉曲線?；癁槎ǚe分法和牛頓-萊布尼茲公式可以計算非閉路的積分，復(fù)合閉路原理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式及留數(shù)方法等主要計算閉路上的積分 。本文針對部分教材中復(fù)變函數(shù)積分內(nèi)容的安排特點，即相對而言非閉路的積分內(nèi)容較少而閉路的積分內(nèi)容較多，分別從拓展式教學以及一題多解方面分析復(fù)變函數(shù)積分的計算，旨在使學生整體連貫地掌握復(fù)變函數(shù)積分知識，尋找最簡便有效的積分計算方法。

1拓展式教學

在和復(fù)變函數(shù)積分有關(guān)的教材中，對于非閉路的復(fù)變函數(shù)積分計算，相對來說內(nèi)容較少。以教材內(nèi)容為依托，使學生真正熟練地掌握沿著非閉路的復(fù)變函數(shù)積分計算，拓展式教學的合理運用變得尤為重要。

拓展教學，首先要強調(diào)復(fù)積分和實積分的聯(lián)系。例如在講解復(fù)積分的定義時可以指出兩種積分定義的相同點-分割、取定點、求和、求極限，因此復(fù)積分是實積分的推廣，當復(fù)積分中的路徑是實軸上的線段時，復(fù)積分就是實積分。這種和實積分相比較的方法無疑可以加深學生對于復(fù)積分的理解。其次，除可以增加一些具有代表性的例題外，還可以從教材中已有的典型例題入手拓展講解。

下面以[1]中例3.9為例具體展現(xiàn)拓展教學在復(fù)變函數(shù)積分教學中的應(yīng)用。

例1： 計算，C是從到的直線段。

當時在C上有不連續(xù)點。由復(fù)變函數(shù)積分的化定積分法，此例對應(yīng)定積分在內(nèi)有間斷點且有界而連續(xù)。由于有有限個間斷點的有界實函數(shù)可積，所以此時積分存在。不妨先計算：從到的直線段和：從到的直線段的積分，是實常數(shù)。

解：類似于[1]中例3.9，由牛頓-萊布尼茲公式及分部積分易得

，

由于且，，對積分，兩端當時求極限并求和可得積分值為，得到與[1]中例3.9不同的結(jié)果。

通過對上例的拓展求解可以看到，由于主輻角的范圍不同導(dǎo)致積分結(jié)果的不同，同時也加深了對實積分和復(fù)積分之間密不可分關(guān)系的理解。

2一題多解

相比于非閉路徑的積分，沿著閉路的積分方法是多樣的，對于同一題往往可用多種方法計算。為使學生整體連貫地掌握這些方法并尋找最簡便的方法計算積分，一題多解教學法的應(yīng)用是行之有效的。

例2：求。

在內(nèi)有被積函數(shù)的兩個奇點3和1。方法之一是應(yīng)用復(fù)合閉路原理，在之內(nèi)做兩個包含3和1的互不相交互不包含的閉路和，然后用柯西積分公式;方法之二是將被積函數(shù)分成兩個分式的和，然后用柯西積分公式;方法之三是直接用留數(shù)方法計算。

解一：

解二：

解三：

僅此簡單一題，將復(fù)合閉路原理、柯西積分公式和留數(shù)方法統(tǒng)一起來，學生可根據(jù)自身對每種方法的掌握程度選擇一種計算，在此不再舉例贅述。

3結(jié)語

本文通過兩個簡單的例子說明如何應(yīng)用拓展教學和一題多解法講授復(fù)變函數(shù)積分。在計算復(fù)變函數(shù)積分時，首先應(yīng)判斷被積函數(shù)在非閉路徑上的連續(xù)性、解析性以及閉路內(nèi)的解析性，從而選用不同的方法進行計算。同時我們看到，在積分路徑上有被積函數(shù)的不連續(xù)點時積分可能收斂，這是值得引起初學者注意的一點。

基金項目：校級課程建設(shè)與教改項目（J190806，J190812，J190802）。

參考文獻

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