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    初中數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想

    2020-07-14 10:54:40徐敏明
    關(guān)鍵詞:思路分析構(gòu)造法解題能力

    徐敏明

    摘? 要:從平時(shí)教學(xué)中能體會(huì)到學(xué)生有構(gòu)造法的意識(shí),卻沒有構(gòu)造法系統(tǒng)的歸納與方法,因此學(xué)生經(jīng)常在解題過程中碰到阻礙。從而本文歸納了幾種常見的構(gòu)造法,并講解如何建立條件與構(gòu)造對(duì)象的聯(lián)系來獲得構(gòu)造的思路,以便學(xué)生更好地掌握構(gòu)造法,使構(gòu)造法在解題中發(fā)揮出創(chuàng)造性的作用,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力,減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

    關(guān)鍵詞:構(gòu)造法;初中數(shù)學(xué);創(chuàng)造性;解題能力;思路分析

    引言

    我在進(jìn)行八年級(jí)上冊(cè)第四章 《平面直角坐標(biāo)系》教學(xué)時(shí),發(fā)現(xiàn)很大部分同學(xué)對(duì)求兩點(diǎn)之間的距離問題感到迷茫與不解。例如:已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,4),請(qǐng)求線段OA、AB的長(zhǎng)?

    部分同學(xué)可能會(huì)直接求OA的長(zhǎng),即一個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,卻不知道任意兩點(diǎn)之間的距離,只能說明這些同學(xué)是靠記公式求得OA的長(zhǎng),而并非正真理解求兩點(diǎn)之間距離的知識(shí)本源。其實(shí),此題主要是要求學(xué)生掌握直角三角形的構(gòu)造,再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)。但是,我們的學(xué)生往往缺乏利用構(gòu)造法解決問題的思想,因此對(duì)類似的題目感到毫無頭緒。所以,我就對(duì)初中階段的幾種構(gòu)造方法做了簡(jiǎn)單的歸納,以幫助學(xué)生能初步形成構(gòu)造思想。

    正文

    首先,我主要通過有限的幾個(gè)例題,來分析各問題的特點(diǎn)和性質(zhì),然后建立與構(gòu)造對(duì)象之間的聯(lián)系,進(jìn)而獲取構(gòu)造思路,達(dá)到靈活應(yīng)用構(gòu)造法解題的目的。

    1? 構(gòu)造圖形

    著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說過:“數(shù)與形,本是相倚依?!币话銇碇v,代數(shù)的問題比較抽象,若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題,利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法溝通代數(shù)與幾何的關(guān)系,往往可增強(qiáng)問題的直觀性,使解答事半功倍,實(shí)現(xiàn)難題巧解。巧用構(gòu)造圖形不僅可以提升學(xué)生數(shù)形互用的能力,而且還對(duì)培養(yǎng)學(xué)生探究能力和建模能力有積極作用。

    例1:已知 , ,求證:

    思路分析:剛看見此題,貌似很難找到突破口,但是我們觀察左式的形式 與兩點(diǎn)間的距離公式很像,不難聯(lián)想到將不等式的左邊看成點(diǎn) 分別到四個(gè)點(diǎn) 距離的和。

    證明:把不等式左邊看成是點(diǎn) 到四個(gè)點(diǎn) 距離的和,描出各點(diǎn),如圖所示:不等式左式=AE+BE+CE+DE,且由三角形三邊關(guān)系可得:AE+CE AC(當(dāng)E在AC上時(shí),取到等號(hào)),BE+DE BD(當(dāng)E在BD上時(shí),取到等號(hào)),所以不等式左式 AC+BD(當(dāng)E既在AC上又在BD上,取到等號(hào))。

    因?yàn)锳C= ,BD= ,所以

    例2:已知 , , 為正數(shù), ,求 的最大值。

    思路分析:本題很難從已知條件中的式子通過放縮變形得到目標(biāo)函數(shù),也難以用線性規(guī)劃的知識(shí)構(gòu)造出已知的區(qū)域,那么我們需要思考該如何得到目標(biāo)函數(shù),這是我們解決本題的關(guān)鍵所在。我們首先分析條件: , , 為正數(shù),而且存在 , ,根據(jù)對(duì)稱關(guān)系,那么顯然也存在 。根據(jù)切線長(zhǎng)定理,我們可以將 , , 看成是一個(gè)有內(nèi)切圓的三角形的三條邊,從而構(gòu)造得一個(gè)三角形。那么目標(biāo)函數(shù)中的各元素可以借助三角形性質(zhì)得以轉(zhuǎn)化,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。

    解:以 , , 為三條邊構(gòu)造出一個(gè)三角形,然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理知道該三角形必有一個(gè)內(nèi)切圓,如圖所示:

    為方便表示,我們令 , , ,根據(jù)海倫公式知

    ,其中

    ,即目標(biāo)函數(shù)=

    又 ,

    ,

    當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),即 取到最大值。

    當(dāng) , ,

    最大值是1。

    2? 構(gòu)造方程

    通過構(gòu)造方程,我們建立了已知量與未知量之間的聯(lián)系,從而溝通了問題的條件與結(jié)論,使問題轉(zhuǎn)化為求未知量,這就是我們所用的構(gòu)造方程法。該法避免了學(xué)生對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的逆向思維,而是可以直接地、正面地構(gòu)造方程,從而轉(zhuǎn)化條件與結(jié)論的聯(lián)系,也使一些隱含條件明朗化,從而能更加快捷有效地解決問題,因此方程思想能為廣大的學(xué)生所接受。

    例1:已知 ,求證:

    思路分析:首先我們可以根據(jù)問題中未知量的對(duì)稱性可知,只要求出其中的一個(gè)未知量的范圍即可。接著我們可以由條件中的形式出發(fā),得到用其中的一個(gè)量來表示 和 ,即 。而且據(jù)我們所知,要溝通 和 ,可借助完全平方公式得到 ,所以 。已知 ,通過韋達(dá)定理構(gòu)造出以 為兩根的二次方程 ,同時(shí) 是其兩根。由根的存在性的判定得到結(jié)論。

    證明:我們由條件可得:

    借助完全平方公式 ,

    得 。

    通過韋達(dá)定理構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于 的二次方程 ,同時(shí) 是其兩根。

    由根的存在性得到結(jié)論: ,解得 。

    同理可得 范圍,所以 。

    3? 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型

    構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就是將問題的條件和結(jié)論放到一個(gè)具體的現(xiàn)實(shí)背景中,將其轉(zhuǎn)化為所構(gòu)造的模型的相關(guān)問題。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型可以滲透數(shù)學(xué)思想,也使某些數(shù)學(xué)理論變得更加鮮活,更加明確,從而減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力,使學(xué)生快樂地學(xué)習(xí),這些都符合新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。

    例:求方程 有多少組正整數(shù)解?

    思路分析:我們發(fā)現(xiàn)該方程的各解都是正整數(shù),與我們現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)非常類似,因此我們轉(zhuǎn)換背景,構(gòu)造模型:12個(gè)形狀、大小、顏色完全相同的球,任意放入五個(gè)不同的盒子中,問共有多少種放法?由題可知,一種放法對(duì)應(yīng)著方程的一組解;反之,方程的任一組正整數(shù)解也對(duì)應(yīng)著球在盒中的一種放法,從而問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題。

    解:我們構(gòu)造出模型:12個(gè)形狀、大小、顏色完全相同的球,任意放入五個(gè)不同的盒子中,問共有多少種放法?

    我們將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入4塊隔板,把球分成5堆,每一種分法所得5堆球的各堆球的數(shù)目,依次對(duì)應(yīng)為a、b、c、d、e的一組正整解。

    故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 。

    總結(jié)語(yǔ)

    以上是構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾種應(yīng)用,著重強(qiáng)調(diào)的是各種構(gòu)造法應(yīng)用的思路分析,在這里只是拋磚引玉,希望能以此引起足夠的反思和重視。

    新課程為我們提出了新的課程目標(biāo),在解題的過程中要善于觀察,善于發(fā)現(xiàn),不墨守成規(guī),大膽去探求解題的最佳途徑。創(chuàng)新思維是整個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)的關(guān)鍵,敏銳的觀察力,創(chuàng)造性的想象,獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利地解決問題,高水平地掌握知識(shí),并能把知識(shí)廣泛地運(yùn)用到解決問題上來。而構(gòu)造法正是從這方面來訓(xùn)練學(xué)生思維,使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌刃?,顯得積極靈活,從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí),一定要明確構(gòu)造的目的,也就是說為什么目的而構(gòu)造;二要弄清楚問題的特點(diǎn),以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案,實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。

    從以上各例不難看出,構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想,也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”,它可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)以及其它對(duì)象,就會(huì)促使學(xué)生更加熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識(shí)技能,并多方設(shè)法加以綜合利用,這對(duì)學(xué)生的多元思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。因此,在解題教學(xué)時(shí),若能啟發(fā)學(xué)生從多角度、多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想,則能得到許多構(gòu)思巧妙,新穎獨(dú)特,簡(jiǎn)捷有效的解題方法,而且還能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,培養(yǎng)思維的靈活性,提高學(xué)生自主分析問題的能力。所以“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段,在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的作用。運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題,不僅可從中欣賞到數(shù)學(xué)之美,還能感受到解題之樂,更重要的是可開拓思維空間,啟迪智慧,并對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。

    希望本文對(duì)構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的研究,可以引導(dǎo)深受構(gòu)造困惑的廣大學(xué)子有所感悟,從而感受到構(gòu)造法解題的優(yōu)勢(shì)所在,體會(huì)到構(gòu)造法呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美,增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

    參考文獻(xiàn)

    [1]? 姚祥江,施建昌.重水復(fù)疑無路,巧用構(gòu)造辟蹊徑[J].教學(xué)金刊,2004,7(11):30~31.

    [2]? 王平,李明鴻.構(gòu)造圖形證明不等式[J].河北理科教學(xué)研究,2009,11(5):49~50.

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