自適應(yīng)觸發(fā)下一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的安全同步控制

劉 延，劉清怡

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在參數(shù)選取得當(dāng)?shù)那闆r下，可以表現(xiàn)出很大的復(fù)雜動(dòng)態(tài)特性.由于近年來成功地應(yīng)用在信號(hào)處理、模式識(shí)別、全局優(yōu)化等[1]領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究受到了廣泛的關(guān)注.同時(shí)，由于同步控制的潛在應(yīng)用，如信息處理、機(jī)器人陣列、安全通信等，同步控制[2-4]研究引起了更多學(xué)者們的注意. 在這些同步問題中，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步是一個(gè)流行的話題. 驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步的基本原理是，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)向響應(yīng)系統(tǒng)發(fā)送信號(hào)，然后響應(yīng)系統(tǒng)通過使用該信號(hào)來使自身與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到同步. 換句話說，響應(yīng)系統(tǒng)受驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)行為的影響，但驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)無關(guān). 然而，對(duì)于具有時(shí)變時(shí)滯的非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步控制還沒有得到充分的研究，這是本文的第一個(gè)動(dòng)機(jī).

值得注意的是，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)和現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展常常帶來一些挑戰(zhàn). 由于任何通信網(wǎng)絡(luò)單位時(shí)間內(nèi)只能攜帶有限的數(shù)據(jù)，因此，如何減輕網(wǎng)絡(luò)的負(fù)擔(dān)，提高網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)男?，已?jīng)成為人們研究的熱點(diǎn)[5-7]. 作為傳統(tǒng)周期控制模式的一種替代方案，事件觸發(fā)方案在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中得到了廣泛的關(guān)注. 差異在于事件觸發(fā)方案設(shè)置一個(gè)觸發(fā)條件來確定是否應(yīng)該發(fā)送采樣數(shù)據(jù)，這樣可以減少網(wǎng)絡(luò)帶寬的負(fù)擔(dān)和功耗. 但是，傳統(tǒng)的事件觸發(fā)所設(shè)置的觸發(fā)閾值幾乎都是常數(shù)，節(jié)約的資源有限. 因此，具有動(dòng)態(tài)閾值的自適應(yīng)觸發(fā)機(jī)制[8-10]被設(shè)計(jì)出來并得到廣泛運(yùn)用.

眾所周知，在某些實(shí)際系統(tǒng)中可以發(fā)現(xiàn)非線性. 由于物理上的限制、技術(shù)上的限制或其他內(nèi)部因素的影響，作為一種缺少測(cè)量的現(xiàn)象，飽和非線性經(jīng)常存在于許多網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中. 近年來，輸入飽和的研究成為熱點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的一些研究成果[11-13]也層出不窮.但是，對(duì)于具有控制輸入飽和的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在開放式文獻(xiàn)中幾乎沒有基于驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步的控制結(jié)果. 在理論和實(shí)踐中，這個(gè)問題都是很重要和具有挑戰(zhàn)性的. 在此基礎(chǔ)上，本文研究了具有輸入飽和的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步控制問題，這是本文的第二個(gè)動(dòng)機(jī).

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于控制元件（如傳感器、控制器、執(zhí)行器等）都是通過共享通信網(wǎng)絡(luò)連接，來實(shí)現(xiàn)有效的遠(yuǎn)程控制，故容易受到惡意攻擊（包括DoS 攻擊、欺騙攻擊、隱身攻擊等[14-17]），因此安全問題是研究與發(fā)展的一個(gè)重要課題. 值得指出的是，關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步問題，開放文獻(xiàn)中對(duì)于網(wǎng)絡(luò)安全方面的研究較少，基于此，在驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步基礎(chǔ)上，提出網(wǎng)絡(luò)攻擊環(huán)境下一種基于自適應(yīng)觸發(fā)的具有輸入飽和的輸出反饋控制方法，這是本文的第三個(gè)動(dòng)機(jī).

基于上述觀點(diǎn)，本文對(duì)網(wǎng)絡(luò)攻擊和輸入飽和環(huán)境下時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步控制問題進(jìn)行了研究. 利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論與線性矩陣不等式提出了一套新的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，通過自適應(yīng)事件觸發(fā)采樣來實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的同步. 基于這種穩(wěn)定條件，提出一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)事件觸發(fā)輸出反饋同步控制器的設(shè)計(jì)方法，并給出數(shù)值算例，以說明該方法的有效性.

1 問題陳述與建模

考慮如下時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈?n是表示n個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)向量，D、A、B和E是已知的系數(shù)矩陣，τ(t)∈[0,τ]是時(shí)變的有界時(shí)滯，J表示輸入偏差.f(x(t)) 表示神經(jīng)元激活函數(shù)且滿足f(0)=0.

根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，給出相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)模型：

其中^(t)表示響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)，u(t)是控制輸入.

定義e(t)=(t)-x(t)作為同步誤差的狀態(tài)，則誤差系統(tǒng)模型如下：

實(shí)際操作中，周期性采樣方法會(huì)降低數(shù)據(jù)傳輸效率，浪費(fèi)網(wǎng)絡(luò)帶寬. 為了節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，在傳感器和控制器之間引入了一種自適應(yīng)事件觸發(fā)方案，用于確定是否應(yīng)將輸出誤差發(fā)送給控制器. 定義作為將傳輸給響應(yīng)系統(tǒng)控制器的采樣測(cè)量誤差.

假定網(wǎng)絡(luò)通信中的時(shí)變延遲為dk∈[0,d](k=1,2,…,∞)且采樣周期為h. 考慮到時(shí)延的影響，采樣測(cè) 量將分別在t1h+d1,t2h+d2,t3h+d3,…時(shí)刻到達(dá)控制器，則自適應(yīng)觸發(fā)規(guī)則為：

其中Ω是一個(gè)正定矩陣，且λ(t)滿足如下條件：

當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)yˉ(tkh+jh)能被傳輸當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)yˉ(tkh+jh)與上一傳輸數(shù)據(jù)yˉ(tkh)違反不等式（4）.

為了技術(shù)方便，類似于文獻(xiàn)[12]，定義d(t)和ek(t)如下：

并且0≤d(t)＜dM，其中dM=h+d是d(t)的上界.

根據(jù)上面d(t)和ek(t)的定義，式（4）和式（5）可以重新寫為

因此，基于事件觸發(fā)機(jī)制與網(wǎng)絡(luò)延遲效應(yīng)，控制器的實(shí)際輸入如下：

其中k是相應(yīng)的控制器增益矩陣.

在此，引入飽和函數(shù)的定義如下：

其中

基于文獻(xiàn)[18]的結(jié)果，飽和后的實(shí)際輸入以下列形式表示：

其中φ(u^(t))是一個(gè)非線性函數(shù)，且滿足如下不等式

其中0＜ε＜1.

在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，惡意網(wǎng)絡(luò)攻擊或干擾可能經(jīng)常發(fā)生. 本文假設(shè)攻擊信號(hào)是一種隨機(jī)干擾，可以用一個(gè)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)行為有關(guān)的非線性函數(shù)h(·)來描述.則網(wǎng)絡(luò)攻擊環(huán)境下，實(shí)際輸入為：

其中α(t)表示滿足伯努利分布的網(wǎng)絡(luò)攻擊概率，取值介于0 和1 之間，并假設(shè)P{α(t)=1}=α，P{α(t)=0}=1-α，則攻擊概率的期望為E{α(t)}=α，方差為ρ2=α(1-α).

結(jié)合（6）-（11）式，最終誤差系統(tǒng)模型如下：

為證明主要結(jié)果之前，引入下面的假設(shè)和引理.

假設(shè)1神經(jīng)元激活函數(shù)f(·)和網(wǎng)絡(luò)攻擊信號(hào)函數(shù)h(·)為連續(xù)非線性函數(shù)，且滿足如下Lipschitz條件：

其中Λ1和Λ2是常數(shù)矩陣，且分別表示f(·)和h(·)的上界.

引理1[19]給定常數(shù)m，若函數(shù)d(t) 滿足d(t)∈(0,m]，則對(duì)于存在矩陣R＞0，使得如下矩陣不等式成立：

引理2[20]（Schur 補(bǔ)引理） 對(duì)于給定矩陣S=其中如下條件是等價(jià)的：

2 主要結(jié)果

這個(gè)部分給出相應(yīng)定理來分析閉環(huán)誤差系統(tǒng)（12）.利用李雅普諾夫泛函方法，首先給出了漸近穩(wěn)定的充分條件. 然后，應(yīng)用線性矩陣不等式方法，求解非線性項(xiàng)并給出響應(yīng)系統(tǒng)（2）的輸出反饋控制器設(shè)計(jì).

2.1 穩(wěn)定性分析

定理1對(duì)于一些給定的正標(biāo)量參數(shù)τ,dM,σ,γ,α,ε,ε1和ε2，系統(tǒng)（12）在輸出反饋控制器K下是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果存在合適維度的矩陣P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2),Λs(s=1,2,3),Ω＞0，使得如下不等式成立：

其中

證明：建立如下形式的李雅普諾夫泛函

其中

其中P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2)是待定的對(duì)稱矩陣.

對(duì)V(t)關(guān)于t求導(dǎo)求期望可得：

結(jié)合（6）式與（17）式，可以推出

E{V˙4(t)}≤

因此，可以推得

根據(jù)假設(shè)1，可以得到如下不等式：

結(jié)合（14）-（22）及引理1，可以得到不等式：

其中

運(yùn)用引理2，即可推得式（23）等價(jià)于ξT(t)Γξ(t)，由Γ＜0 可知E{V˙(t)}＜0，因此得證系統(tǒng)（12）是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

由于定理1 中矩陣不等式中非線性項(xiàng)的存在，不等式（13）不能直接用MATLAB 的LMI 工具箱求解.可在下面的定理2中解決此問題并設(shè)計(jì)控制器.

2.2 控制器設(shè)計(jì)

定理2對(duì)于一些給定的正標(biāo)量參數(shù)τ,dM,σ,γ,α,ε,ε1,ε2，系統(tǒng)（12）在輸出反饋控制器K=P-1V下是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果存在合適維度的矩陣P＞0,Qi＞0,Ri＞0,(i=1,2),Λs(s=1,2,3),Ω＞0 和V，使得不等式（24）成立：

其中

其他參數(shù)在定理1中已定義.

證明：令K=P-1V. 對(duì)（13）式先左乘右乘矩陣再左乘右乘矩陣diag{I,P,P,I,I,I,P}，則可以得到：

再考慮如下不等式

由此，可以從（25）式推導(dǎo)出（24）式，完成證明.

3 數(shù)值仿真

參考文獻(xiàn)[21]，考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)參數(shù)如下：

參考文獻(xiàn)[22]，假設(shè)神經(jīng)元激活函數(shù)f(x)和網(wǎng)絡(luò)攻擊函數(shù)h(x)分別為：

且輸入偏差J=0.

基于假設(shè)1，經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，可得：

然后，令參數(shù)τ=0.1,dM=0.1,α=0.5,ε=0.4,ε1=2,ε2=3,γ=15，事件觸發(fā)參數(shù)σ=0.2. 根據(jù)定理2 運(yùn)用線性矩陣不等式方法求得下列可行解：

控制器增益矩陣和事件觸發(fā)矩陣如下：

基于上述結(jié)果，設(shè)定采樣周期h=0.1 并選取初始值x(0)=[-0.3 0.3]T，x^(0)=[0 0]T，自適應(yīng)初始觸發(fā)值λ(0)=0.3. 可以得到仿真結(jié)果如圖1-4 所示（注：每個(gè)圖的橫坐標(biāo)表示時(shí)刻，單位為秒. 圖1、3、4的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的狀態(tài). 圖2 的縱坐標(biāo)表示觸發(fā)間隔，單位為秒）. 圖1 顯示了在控制器下，同步誤差快速趨于0，這表明最終系統(tǒng)是同步且穩(wěn)定的. 圖2顯示了自適應(yīng)事件觸發(fā)的觸發(fā)時(shí)刻與間隔，很明顯看到其有效節(jié)約了網(wǎng)絡(luò)資源，避免不必要的信號(hào)傳輸. 圖3 顯示了觸發(fā)閾值隨時(shí)間在發(fā)生變化. 圖4 展示了網(wǎng)絡(luò)攻擊的變化情況. 綜合上述仿真結(jié)果可見，本文的方法是可行且有效的.

圖1 同步誤差e(t)的值與時(shí)間t的關(guān)系

圖2 自適應(yīng)事件觸發(fā)的觸發(fā)時(shí)刻與間隔

圖3 自適應(yīng)觸發(fā)閾值λ(t)與時(shí)間t的關(guān)系

圖4 網(wǎng)絡(luò)攻擊信號(hào)h( Δ( (t)) )與時(shí)間t之間的關(guān)系

4 總結(jié)

本文研究了網(wǎng)絡(luò)攻擊和輸入飽和環(huán)境下，時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)事件觸發(fā)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步控制問題. 采用基于輸出誤差反饋的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制，減少控制器更新次數(shù)，避免不必要的網(wǎng)絡(luò)資源浪費(fèi)，并充分考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊和輸入飽和的影響，通過李雅普諾夫泛函得到了使同步誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，然后利用線性矩陣不等式技術(shù)同時(shí)得到控制器的增益矩陣和事件觸發(fā)參數(shù)矩陣. 最后，給出了一個(gè)仿真例子來說明最終結(jié)果的有效性.