狀態(tài)微分反饋控制與壓水反應(yīng)堆功率現(xiàn)有兩種控制系統(tǒng)的等價(jià)性研究

欒秀春，劉 磊，王俊玲，楊志達(dá)，周 杰,*

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中國原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413)

1955年，Schultz編撰了第1部關(guān)于反應(yīng)堆控制的教科書[1]。在當(dāng)時(shí)，研究方法包括尼科爾斯表、奈奎斯特分析、根軌跡、伯德圖等，這些均依賴于輸入輸出形式的系統(tǒng)描述，特別是傳遞函數(shù)[2]。從20世紀(jì)中葉以來，現(xiàn)代控制理論獲得了很大的發(fā)展，并用于反應(yīng)堆控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，尤其是線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)的應(yīng)用[2-3]。1970年，Mohler和Shen[4]完成了一部?jī)?nèi)容為應(yīng)用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)反應(yīng)堆控制系統(tǒng)的教科書。

Edwards等[5-6]將狀態(tài)反饋輔助經(jīng)典控制(SFAC)用于控制反應(yīng)堆的一回路冷卻劑溫度，獲得了較常規(guī)控制器改善的性能和穩(wěn)定的魯棒性。以此為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[7]提出了用帶回路成型的線性二次調(diào)節(jié)器(LQG/LTR)設(shè)計(jì)的魯棒SFAC，文獻(xiàn)[8]提出了基于改進(jìn)的SFAC結(jié)構(gòu)的LQG/LTR控制器。Cho和Grossman[9]將面向負(fù)荷跟隨條件下氙空間震蕩的最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為線性二次型跟蹤問題。為抑制反應(yīng)堆中氙的空間震蕩，Park和Cho[10]建立的鎮(zhèn)定控制方案采用了極點(diǎn)配置和線性觀測(cè)器理論。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能描述非線性映射，基于準(zhǔn)對(duì)角神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)字PID控制器[11]和利用多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能控制器[12]能提高反應(yīng)堆的負(fù)荷跟隨能力。模糊規(guī)則能有效地表達(dá)工業(yè)領(lǐng)域中運(yùn)行專家的現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)，因此基于模糊規(guī)則的控制器能提高反應(yīng)堆控制系統(tǒng)的性能[13-14]。在制定模糊規(guī)則的過程中，存在主觀隨意性，引入遺傳算法來優(yōu)化模糊規(guī)則可改善性能[15-16]。

模型預(yù)測(cè)控制是一種源自工業(yè)過程系統(tǒng)控制的方法，也已用于反應(yīng)堆功率的控制。文獻(xiàn)[17]針對(duì)負(fù)荷跟隨運(yùn)行條件下的功率控制和軸向功率分布，將模型預(yù)測(cè)控制器與參數(shù)估計(jì)器相結(jié)合，來應(yīng)對(duì)工作點(diǎn)的改變和時(shí)變特性。文獻(xiàn)[18]采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方案，設(shè)計(jì)負(fù)荷跟隨運(yùn)行模式下的堆芯功率的子空間預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)。

現(xiàn)有的大部分壓水堆的控制棒的控制機(jī)制有兩種實(shí)現(xiàn)形式，即基于控制棒位置的控制和基于控制棒速度的控制[2]。本文目的是提出一種方法，來描述反應(yīng)堆的這兩種控制系統(tǒng)的等價(jià)性。

1 基于控制棒位置的功率控制器

在反應(yīng)堆功率的經(jīng)典控制系統(tǒng)中，輸入到反應(yīng)堆的反應(yīng)性是通過設(shè)定控制棒的位置來實(shí)現(xiàn)的。

出于計(jì)算方便的目的，通常使用等效單組緩發(fā)中子的點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)方程的歸一化形式[2]：

(1)

(2)

式中：nr=n/n0，為相對(duì)中子密度，n為中子密度(cm-3)，n0為額定功率(穩(wěn)態(tài))的中子密度(cm-3)；ρ=(k-1)/k，ρ為反應(yīng)性，k為增殖因數(shù)；β為總緩發(fā)中子份額；Λ為瞬發(fā)中子代時(shí)間，s；λ為等效單組緩發(fā)中子先驅(qū)核衰變常量，s-1；cr=c/c0，為緩發(fā)中子先驅(qū)核的相對(duì)密度，c為緩發(fā)中子先驅(qū)核濃度(cm-3)，c0為額定功率(穩(wěn)態(tài))的緩發(fā)中子先驅(qū)核的密度(cm-3)。

式(1)、(2)在平衡工作點(diǎn)的線性化形式[2]為：

(3)

式中，nr0為在平衡工作點(diǎn)的相對(duì)中子密度。

式(3)改寫成狀態(tài)空間方程的形式為：

(4)

對(duì)于式(4)，為讓輸出Δnr(t)跟蹤參考輸入信號(hào)r(t)，可設(shè)計(jì)積分形式的反饋控制律為：

(5)

反饋控制律(5)是增廣被控對(duì)象

(6)

y(t)=Cx(t)

(7)

的狀態(tài)反饋控制，可通過多種成熟的方法設(shè)計(jì)，如極點(diǎn)配置、LQR、H∞等[19-21]。設(shè)計(jì)所得的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 積分控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2 基于控制棒速度的功率控制器

在工程實(shí)踐中，使用誤差信號(hào)設(shè)置控制棒位置，實(shí)現(xiàn)起來很困難。在實(shí)際的反應(yīng)堆功率控制應(yīng)用中，現(xiàn)實(shí)可行的控制機(jī)制是使用控制棒速度作為輸入信號(hào)。圖2示出了以控制棒速度作為輸入信號(hào)的系統(tǒng)方框圖[2]。

圖2 使用控制棒速度的反應(yīng)堆控制的系統(tǒng)方框圖

根據(jù)圖2，在式(1)、(2)的基礎(chǔ)上增加1個(gè)微分方程[2]，有：

(8)

式中，Gr為控制棒總的反應(yīng)性價(jià)值，Δk/k。

式(1)、(2)、(8)在平衡工作點(diǎn)的線性化形式[2]為：

(9)

式(9)改寫成狀態(tài)空間方程的形式為：

(10)

對(duì)于式(10)，控制器也可采用積分控制(5)的形式，但閉環(huán)系統(tǒng)的階次將會(huì)較圖1的高。對(duì)照?qǐng)D1、2可看出，在兩圖中的前向通道上均有1個(gè)積分環(huán)節(jié)。所以，可利用式(8)中的積分器來設(shè)計(jì)反饋控制律，從而使所得的閉環(huán)系統(tǒng)具有與圖1相同的階次。

3 狀態(tài)微分反饋

設(shè)被控對(duì)象定義為：

y(t)=Cx(t)

(11)

此被控對(duì)象的執(zhí)行器可看作是1個(gè)積分器，有：

yact(t)=Cactxact(t)

(12)

執(zhí)行器與被控對(duì)象聯(lián)結(jié)，滿足：

u(t)=yact(t)

(13)

由執(zhí)行器與被控對(duì)象構(gòu)成的廣義被控對(duì)象表示為：

y(t)=Cx(t)

(14)

(15)

對(duì)于廣義被控對(duì)象(15)，設(shè)計(jì)反饋控制律：

uact=-KDw+kP(r-y)

(16)

式中，w為反饋信號(hào)，由下式構(gòu)造：

w(t)=Ax(t)+Bu(t)

(17)

對(duì)照式(17)與式(11)，可得：

(18)

信號(hào)w代表被控對(duì)象(11)的狀態(tài)的微分，因此，稱反饋控制律(16)為狀態(tài)微分反饋控制。根據(jù)式(12)、(13)、(17)，可得：

uact=-KD[Ax(t)+Bu(t)]+kP[r-Cx(t)]=

(19)

以上給出了狀態(tài)微分反饋控制的定義，而這一控制律的設(shè)計(jì)則依賴于等價(jià)性定理。

4 等價(jià)性定理

根據(jù)被控對(duì)象(6)設(shè)計(jì)的控制器(5)，與根據(jù)被控對(duì)象(15)設(shè)計(jì)的控制器(16)，兩者參數(shù)間的關(guān)系可表達(dá)如下定理。

定理：當(dāng)被控對(duì)象(6)和控制器(5)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)與由被控對(duì)象(15)和控制器(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)具有相同的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，式(20)、(21)成立。

(20)

(21)

證明：由被控對(duì)象(6)和控制器(5)，得閉環(huán)系統(tǒng)：

(22)

(23)

傳遞函數(shù)矩陣為：

(24)

為計(jì)算式(24)中的逆矩陣，令：

(25)

則式(24)變換為：

(26)

計(jì)算分塊矩陣(25)的逆矩陣[22]，得塊矩陣：

M22=[sI2-(-C)(sI1-A+BK)-1(BKI)]-1

(27)

(28)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)(22)、(23)的傳遞函數(shù)矩陣具有如下形式：

(29)

由被控對(duì)象(15)和控制器(16)、(17)，可得閉環(huán)系統(tǒng)：

(30)

(31)

其傳遞函數(shù)矩陣為：

(32)

為計(jì)算式(32)中的逆矩陣，令：

(33)

則式(32)變換為：

(34)

計(jì)算分塊矩陣(33)的逆矩陣[22]，得塊矩陣：

N22={sI2+BactKDBCact-

[Bact(KDA+kPC)](sI1-A)-1(-BCact)}-1

(35)

N12={s2(BCact)-1+s[BactKD-(BCact)-1A]+

BactkPC}-1

(36)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)(30)、(31)的傳遞函數(shù)矩陣具有如下形式：

(37)

當(dāng)被控對(duì)象(6)和控制器(5)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)與由被控對(duì)象(15)和控制器(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)具有相同的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，兩者的傳遞函數(shù)應(yīng)相等，即：

GI(s)=GSDF(s)

(38)

根據(jù)式(29)、(37)、(38)，可得：

(39)

由式(39)，可得：

(40)

(41)

經(jīng)過進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，得：

證明完畢。

5 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及仿真

表1列出了典型的壓水型反應(yīng)堆在額定功率工況下的參數(shù)[2]，用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和仿真。

表1 反應(yīng)堆參數(shù)

對(duì)于基于控制棒位置的反應(yīng)堆功率模型(1)、(2)，應(yīng)用極點(diǎn)配置來設(shè)計(jì)控制器。文獻(xiàn)[2]在根軌跡分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)最佳阻尼比，并考慮控制器設(shè)計(jì)的靈活性，確定主導(dǎo)極點(diǎn)為一對(duì)共軛極點(diǎn)，并保留開環(huán)系統(tǒng)中遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)，故將極點(diǎn)配置在p1=-0.2-0.2j，p2=-0.2+0.2j，p3=-65。本文也采用這組極點(diǎn)，則可獲得反饋控制律(5)為：K=[2.750 0×10-5-0.012 443 5]，KI=0.004 16。

使用式(11)～(13)的形式來描述基于控制棒速度的反應(yīng)堆功率模型(1)、(2)、(8)，表示為：

y(t)=Cx(t)

(42)

yact(t)=Cactxact(t)

(43)

u(t)=yact(t)

(44)

應(yīng)用上述定理的結(jié)論設(shè)計(jì)狀態(tài)微分反饋控制器，可得KD=[0.002 750 0 -1.244 35]、kP=0.416 0。

為演示所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，在由點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)方程描述的反應(yīng)堆功率模型上，應(yīng)用MATLAB 2011a中的Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真。本文采用3種不同的過渡過程來評(píng)價(jià)上述所設(shè)計(jì)的兩種控制器的性能，并進(jìn)行比較，指令功率的斜坡變化信號(hào)如下。

1) 局部控制工況：以額定功率為基準(zhǔn)，功率水平按照5%/min的速率斜坡變化100%→95%→100%；

2) 全局運(yùn)行工況：以額定功率為基準(zhǔn)，功率水平按照5%/min的速率斜坡變化100%→5%→100%；

3) 緊急運(yùn)行工況：以額定功率為基準(zhǔn)，功率水平按照15%/min的速率斜坡變化100%→20%。

圖3為局部控制工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線?？煽闯?，狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)能快速達(dá)到期望功率水平，超調(diào)很小且無震蕩；控制棒速度的狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)與控制棒位置的積分控制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線幾乎重合，差別很小。

圖4為全局運(yùn)行工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線?？煽闯?，期望的過渡過程被快速實(shí)現(xiàn)，控制棒速度的狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)幾乎無功率超調(diào)和震蕩，反應(yīng)性過渡平穩(wěn)；控制棒位置的積分控制系統(tǒng)有較小的功率超調(diào)，并存在反應(yīng)性響應(yīng)的震蕩。

圖3 局部控制工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線

圖4 全局運(yùn)行工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線

圖5為緊急運(yùn)行工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線?？刂瓢羲俣鹊臓顟B(tài)微分反饋控制系統(tǒng)中，反應(yīng)堆的功率輸出無超調(diào)和震蕩，反應(yīng)性過渡平穩(wěn)，這說明狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)能在緊急運(yùn)行工況下調(diào)節(jié)反應(yīng)堆功率；控制棒位置的積分控制系統(tǒng)具有較小的功率超調(diào)和震蕩，并存在反應(yīng)性響應(yīng)的震蕩。

綜合圖3～5，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中反應(yīng)性遠(yuǎn)小于β/2，即兩種控制系統(tǒng)均滿足反應(yīng)堆安全運(yùn)行的要求[23]；由于上述兩種控制系統(tǒng)均依據(jù)在額定工況負(fù)荷工作點(diǎn)線性化的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)，而數(shù)值仿真中的被控對(duì)象采用非線性模型，故在局部控制工況下，兩者的性能差別很小，而在全局運(yùn)行工況和緊急運(yùn)行工況下，偏離設(shè)計(jì)工況點(diǎn)較遠(yuǎn)，控制棒速度的狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)的負(fù)荷跟隨調(diào)節(jié)能力優(yōu)于控制棒位置的積分控制系統(tǒng)。

圖5 緊急運(yùn)行工況的系統(tǒng)運(yùn)行曲線

6 結(jié)論

反應(yīng)堆控制棒的控制機(jī)制有兩種實(shí)現(xiàn)形式，即基于控制棒位置和基于控制棒速度?，F(xiàn)有的技術(shù)——積分控制和極點(diǎn)配置，用于為前者設(shè)計(jì)控制器。一種新方法——狀態(tài)微分反饋控制，為后者設(shè)計(jì)控制器而提出。本文討論了這兩種控制系統(tǒng)的等價(jià)性，并總結(jié)為等價(jià)性定理。根據(jù)此定理，為基于控制棒速度的功率過程設(shè)計(jì)了狀態(tài)微分反饋控制器。數(shù)值仿真結(jié)果表明，依據(jù)本文所列典型參數(shù)的反應(yīng)堆功率的狀態(tài)微分反饋控制系統(tǒng)，具有很好的負(fù)荷跟隨調(diào)節(jié)能力。