淺談數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用

●靳旭東 方秀男

一、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的含義

數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模是指將經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題抽象為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，綜合運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)以及相關(guān)數(shù)學(xué)建模軟件解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的意義

在通常情況下，數(shù)學(xué)并不能直接且完整地展示出經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域問(wèn)題的真實(shí)情況，因?yàn)楹芏嘟?jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題都是客觀存在的，而且具有動(dòng)態(tài)發(fā)展的趨勢(shì)，在這種情況下，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模就完美地給出了此類問(wèn)題的解決方案，其具有以下意義：

1.數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模使經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題變得直觀化、簡(jiǎn)單化。很多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題的描述都是十分復(fù)雜的，而且部分經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題還有許多數(shù)據(jù)需要進(jìn)行處理，通過(guò)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模，我們可以將實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理，對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，大大降低了解題難度。

2.數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模使經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題變得更加具有說(shuō)服性與前瞻性。通過(guò)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模，我們可以通過(guò)給出相關(guān)變量間的具體關(guān)系表達(dá)式，展示出數(shù)據(jù)的說(shuō)服性，此外，很多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題是需要對(duì)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與回歸分析來(lái)預(yù)測(cè)其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，這正是數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模應(yīng)用性的最直接體現(xiàn)。

三、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的若干問(wèn)題分類

經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題是多樣化的，根據(jù)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的不同，大致可以將此類問(wèn)題作如下分類：

1.經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的最優(yōu)化問(wèn)題，很多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求解最大值或者最小值的問(wèn)題。即數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化模型，主要是根據(jù)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的約束條件和目標(biāo)列出相關(guān)的不等式進(jìn)行求解，約束條件可以是線性規(guī)劃問(wèn)題，也可以是非線性規(guī)劃問(wèn)題。

2.經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的預(yù)測(cè)問(wèn)題，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，有時(shí)需要根據(jù)已有的部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)作出相關(guān)預(yù)測(cè)，這就是數(shù)學(xué)建模中的預(yù)測(cè)模型，我們可以運(yùn)用Matlab 軟件或SPSS 軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與回歸分析，或通過(guò)觀察回歸曲線的總體趨勢(shì)，給出對(duì)未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)。

3.經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的政策問(wèn)題，政策評(píng)價(jià)是指決策者從已有的眾多方案中選出做好的執(zhí)行方案，其中可以用到的數(shù)學(xué)模型包括層次分析模型、綜合評(píng)價(jià)模型等等，本文將就部分模型給出實(shí)例。

四、數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例

1.數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模中的最優(yōu)化問(wèn)題模型。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的日常生產(chǎn)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到如何利用現(xiàn)有的客觀因素來(lái)安排生產(chǎn)，以獲得更高的經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題。于是，一個(gè)重要的運(yùn)籌學(xué)分支應(yīng)運(yùn)而生，即線性規(guī)劃。自從G·B·Dantzig 于1947 年提出用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題以來(lái)，線性規(guī)劃在理論和實(shí)踐中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛和深入。特別是在計(jì)算機(jī)能夠處理成千上萬(wàn)的約束和決策變量之后，線性規(guī)劃的應(yīng)用更加廣泛，已經(jīng)成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)中常用的基本方法之一。

例題：一卡車廠生產(chǎn)A 車和B 車兩種，每次銷售后利潤(rùn)分別為3 萬(wàn)元和4 萬(wàn)元。A型卡車生產(chǎn)需要a、b 生產(chǎn)線加工，每輛卡車生產(chǎn)時(shí)間分別為 20 小時(shí)和 15 小時(shí)；B 型卡車生產(chǎn)需要 a、b、c 生產(chǎn)線加工，每輛卡車加工時(shí)間為10 小時(shí)。如果每天可供生產(chǎn)的機(jī)器裝配線數(shù)量為：a 裝配線10 小時(shí),b 裝配線8 小時(shí)c 裝配線7 小時(shí)，那么卡車廠應(yīng)生產(chǎn)A、B 卡車各多少量，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)總額的最大化？

上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：設(shè)該廠生產(chǎn)N1 臺(tái)A 卡車和N2 臺(tái)B 卡車時(shí)總利潤(rùn)最大，則N1,N2 應(yīng)滿足的目標(biāo)函數(shù)為Ymax =3N1+4N2

本例題所給出的是較為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃模型。它的解題思想與建模過(guò)程就是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的典型最優(yōu)化問(wèn)題，即求解利潤(rùn)的最大值，對(duì)于此類問(wèn)題來(lái)說(shuō)，求解是相對(duì)簡(jiǎn)單的，常用的數(shù)學(xué)建模軟件包括Lingo 與Matlab,其中Lingo 是運(yùn)籌學(xué)中求解線性規(guī)劃問(wèn)題最直接有效的建模軟件。

2.數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模中的預(yù)測(cè)模型。在數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模中較為有效的預(yù)測(cè)模型就是對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析,對(duì)于回歸分析來(lái)說(shuō)，它的預(yù)測(cè)效果往往要優(yōu)于曲線擬合，簡(jiǎn)單地說(shuō)，回歸分析就是對(duì)擬合問(wèn)題作進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析。進(jìn)一步說(shuō)，回歸分析就是在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究以下幾個(gè)問(wèn)題：建立因變量與自變量之間的回歸分析模型；對(duì)回歸模型進(jìn)行置信度檢驗(yàn)；判斷每個(gè)自變量Xi(i 1,2,,m)i=L 是否對(duì)Y 存在影響；診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對(duì)Y 的趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

例題：某電子廠生產(chǎn)的一種U 盤的銷售量y 與其他廠家的價(jià)格X1和本廠的價(jià)格X2有關(guān)。表1 是該商品在10 個(gè)地區(qū)的銷售記錄。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立Y 與X1和X2的關(guān)系式，對(duì)得到的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。若某市本廠產(chǎn)品售價(jià)150（元），競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手售價(jià)160（元），預(yù)測(cè)商品在該市的銷售趨勢(shì)。

表1

上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：先利用Matlab 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理（圖 1，紅色為 Y 與 X1曲線，藍(lán)色為 Y 與 X2曲線），分別畫出 Y 關(guān)于X1和Y 關(guān)于X2的散點(diǎn)圖，可以看出Y 與2x有較明顯的線性關(guān)系，而Y 與X1之間的關(guān)系則難以確定，我們將作如下嘗試，用統(tǒng)計(jì)分析決定優(yōu)劣。

設(shè)回歸模型為：y=β0+β1X1+β2X2，運(yùn)用Matlab 進(jìn)行求解，可得出可以看出結(jié)果不是太好：p=0.0247，取α=0.05 時(shí)回歸模型可用，但取α=0.01 則模型不能用；故我們?nèi)ˇ?0.05，進(jìn)而得出在該市的產(chǎn)品銷量會(huì)增加。

本例題所應(yīng)用的回歸分析模型相對(duì)于其他數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜，適用于對(duì)大量銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

3.數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模中的政策問(wèn)題。對(duì)于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的政策問(wèn)題，常用的數(shù)學(xué)模型就是層次分析模型，將各種選擇方案與影響因素進(jìn)行分層處理，通過(guò)列出判別矩陣與進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，求出各種方案所占的比重，進(jìn)而得出最佳選擇。

圖1

例題：工廠選址問(wèn)題：工廠選址，一般要依據(jù)交通、水源、地盤價(jià)格、能源、勞動(dòng)力等方面因素選擇某一地址。

圖2

上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型舉例：（1）建立AHP 模型。（2）構(gòu)造判別矩陣。判別矩陣的構(gòu)造是根據(jù)人們已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行構(gòu)造的，帶有一定的主觀色彩。（3）計(jì)算層次單排序的權(quán)向量與一致性檢驗(yàn)。由于判別矩陣帶有一定的主觀色彩，因此要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。（4）進(jìn)行層次總排序與總一致性檢驗(yàn)。通過(guò)層次總排序可以得出總權(quán)重排序，進(jìn)而得到比較滿意的結(jié)果。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文中所給的應(yīng)用實(shí)例較為簡(jiǎn)單，便于讀者深入體會(huì)數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用意義，此外，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型還有很多，本文未一一列出。經(jīng)濟(jì)的發(fā)展不僅僅是變量之間的宏觀體現(xiàn)，更存在于巧妙的微觀領(lǐng)域，而數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用很好地揭示了微觀變量的相關(guān)性質(zhì)，為經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域問(wèn)題的解決打開了全新的世界，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)應(yīng)用性很強(qiáng)的實(shí)用工具，我們應(yīng)該樹立應(yīng)用它的意識(shí)，培養(yǎng)探索科學(xué)的精神。