變剛度圓柱螺旋彈簧的多目標(biāo)優(yōu)化

屈賢?張金龍

摘 要：結(jié)合現(xiàn)有的彈簧設(shè)計理論和方法，本文以某汽車前懸架的變剛度圓柱螺旋彈簧為例，以彈簧絲的直徑d，圈數(shù)n和旋繞比C為設(shè)計變量，彈簧絲的剪切力小于許用剪切力等為約束條件，以彈簧剛度kp盡可能大和彈簧質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用MATLAB自帶的優(yōu)化工具箱編程進行優(yōu)化設(shè)計計算。實例分析表明，本文所提出的多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型簡單易行、結(jié)果精確，對機械工程制造具有深遠(yuǎn)的意義。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo) 優(yōu)化；設(shè)計；變剛度彈簧

1 前言

優(yōu)化設(shè)計（Optimal Design）技術(shù)是一種在解決機械產(chǎn)品設(shè)計問題時，依據(jù)約束條件，從眾多設(shè)計方案中尋找使某項或幾項設(shè)計指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的先進設(shè)計方法。在日常生活和工程實際中，經(jīng)常要求不僅僅是一項指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，而是要求多項指標(biāo)都同時達(dá)到最優(yōu)。像這種在優(yōu)化設(shè)計中同時要求幾項指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的問題我們稱為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。[1]多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計考慮因素比單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計更全面，優(yōu)化效果更精確。

彈簧是機械工業(yè)中常用的彈性元零件，很多汽車懸架系統(tǒng)采用變剛度圓柱彈簧作為連接元件。[2]現(xiàn)在常用的變剛度圓柱螺旋彈簧主要有變節(jié)距，變中徑，變簧絲直徑或幾種同時變化這幾種形式，本文主要研究變節(jié)距的變剛度圓柱螺旋彈簧。隨著生活水平的提高，人們對汽車平順性，舒適性有了更高的要求。而變剛度彈簧既能在輕載變形量小時變形小，又可以在重載變形量大時變形大，因此受到廣大汽車制造商的青睞。但變節(jié)距的變剛度彈簧工藝難度大，設(shè)計也不成熟，因為本文對研究變剛度螺旋彈簧進行多目標(biāo)優(yōu)化，對減少制造成本和時間，提高彈簧剛度具有實際意義。

本文以彈簧剛度kp盡可能大和彈簧質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，以彈簧絲的直徑d，圈數(shù)n和旋繞比C為設(shè)計變量，以彈簧絲的剪切力小于許用剪切力等為約束條件建立優(yōu)化模型，運用MATLAB自帶的優(yōu)化工具箱對變剛度彈簧的多目標(biāo)模型進行優(yōu)化分析。

2 優(yōu)化分析過程

概括起來，多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計大體包括以下幾個步驟：

（1）將設(shè)計問題的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型描述工程問題的本質(zhì)，建立合理，有效的數(shù)學(xué)模型時實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計的根本保障。建立數(shù)學(xué)模型時要選取設(shè)計變量，列出約束條件，給出目標(biāo)函數(shù)。

（2）選擇合適的優(yōu)化方法求解。

選取優(yōu)化方法時要遵循以下原則：適合數(shù)學(xué)模型，解題效率高，精確度高，占機時間少。

（3）計算機求解，優(yōu)化設(shè)計方案。

（4）分析比較優(yōu)化結(jié)果。

3 變剛度圓柱螺旋彈簧的數(shù)學(xué)模型

3.1 設(shè)計變量的確定

影響彈簧剛度和彈簧質(zhì)量大小的設(shè)計變量為彈簧絲的直徑d，圈數(shù)n和旋繞比C。

即，

3.2 目標(biāo)函數(shù)的確定

自20世紀(jì)60年代早期以來，多目標(biāo)優(yōu)化問題吸引了越來越多不同背景研究人員的注意力。

多目標(biāo)優(yōu)化問題（multi-objective optimization problem， MOP）在工程運用上非常普遍并且處于非常重要的地位。

在彈簧設(shè)計過程中，不僅要考慮它的功能，還要考慮它的使用壽命，質(zhì)量和剛度等因素在內(nèi)。[3]本文以彈簧剛度盡可能大和彈簧質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)為：

其中，ni（i=1，2，3......j）表示節(jié)距不同的段數(shù)；n表示彈簧的圈數(shù)；D2表示彈簧中徑，mm；р表示彈簧材料密度，d表示彈簧的簧絲直徑，mm；G為彈簧材料的剪切彈性模量，GPa。

3.3 約束條件的確定

本文以某汽車前懸架的變剛度圓柱螺旋彈簧研究，主要從彈簧的強度條件，彈簧中徑，簧絲直徑，彈簧的旋繞比，彈簧的疲勞強度，穩(wěn)定約束等方面

來約束。約束條件如下：

（3）彈簧旋繞比條件

4≤C≤16

（4）彈簧疲勞強度條件[5]

式中：[S]為許用安全系數(shù)；τ0為彈簧材料的脈動疲勞極限。

（5）不穩(wěn)定條件

本文研究的彈簧認(rèn)為是兩端固定的，所以

（6） 螺旋升角的條件

3.4 問題的求解

本文研究變剛度圓柱螺旋彈簧是多目標(biāo)設(shè)計問題，一個目標(biāo)是使彈簧質(zhì)量最小，另一個是使彈簧剛度盡可能的大。依據(jù)同一目標(biāo)函數(shù)法的思想，通過某一個方法把原多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為一個新的目標(biāo)函數(shù)，用多目標(biāo)函數(shù)來評價原多目標(biāo)函數(shù)。[5]受此思想的指導(dǎo)，我們用子目標(biāo)乘除法求解，將 f2（x）/f1（x）作為評價函數(shù)，求解設(shè)計變量。

4 優(yōu)化設(shè)計的實現(xiàn)

4.1 優(yōu)化設(shè)計的方法

MATLAB的優(yōu)化工具箱提供了對各種優(yōu)化問題的一個完整的解決方案。[6]本文所研究的變剛度圓柱螺旋彈簧屬于求解有約束的非線性優(yōu)化問題，我們使用調(diào)用函數(shù)fmincon求極小值[7]。

系統(tǒng)部分程序如下：

利用文件編輯器為目標(biāo)函數(shù)建立M文件（my fun.m）：

Function f=myfun（x）

由于約束條件中有非線性約束，所以需要編寫一個描述非線性約束條件的M文件（mycoun.m）。

.........................

%調(diào)用多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)[8]。

[x，fval，exitflag，output，lambda]=........

fmincon（@myfun，x0，A，b，[]，[]，lb，[]，@mycoun）

運行程序后，對結(jié)果進行近似精確，求出最優(yōu)解。

4.2 優(yōu)化設(shè)計實例

本文以某汽車的前懸架彈簧為例，要求變剛度彈簧的質(zhì)量最小和剛度盡可能的大。根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計理論，彈簧的參數(shù)如下：kmin=50N/mm，kmax=80N/mm；圈數(shù)：，；簧絲直徑為12≤d≤2；彈簧中徑為；彈簧最小載荷是4KN，最大載荷是16.39KN；根據(jù)原車懸架彈簧設(shè)計參數(shù)：所選用的材料是50Crv，密度ρ=7900kg/m3；剪切彈性模量G=81Gpa；許用剪切力；脈動疲勞極限；安全系數(shù)。把這些數(shù)據(jù)帶入已經(jīng)編好的程序中，得到優(yōu)化結(jié)果，如表1。

通過實驗分析比較，彈簧質(zhì)量與彈簧剛度比減少了38.4%。可見，本文建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型的可行性。

5 結(jié)論

本文對變節(jié)距的變剛度螺旋彈簧進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，以彈簧質(zhì)量最小和剛度最大量兩個目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，運用MATLAB自帶的優(yōu)化工具箱進行優(yōu)化分析。最后，以某汽車前懸架彈簧為例，計算分析了彈簧的質(zhì)量和剛度之比，驗證了此優(yōu)化方案的可行性。此優(yōu)化方案不僅對變節(jié)距的螺旋彈簧適用，還可以應(yīng)用到其他形式的彈簧中，對工程機械制造行業(yè)有實踐意義。

參考文獻(xiàn)

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[8] 王正林，劉明.精通MATLAB7[M].北京：電子工業(yè)出版，2006.

作者簡介

屈賢（1988-），女，山東人，重慶交通大學(xué)，研究生，從事車輛系統(tǒng)動力學(xué)及山區(qū)車路協(xié)同安全性。

張金龍（1989-），男，江蘇人，重慶交通大學(xué)，研究生，從事車輛安全及流體力學(xué)研究。