柯西不等式的推廣及其應(yīng)用

高建全 蔡肖楠

【摘 ?要】隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，素質(zhì)教育在我國(guó)的發(fā)展效果顯著，高中數(shù)學(xué)作為高中學(xué)習(xí)階段中最重要的學(xué)科之一，其創(chuàng)新教學(xué)的觀念也逐漸被教師所采納，柯西不等式是高中數(shù)學(xué)課程中比較重要的不等式結(jié)構(gòu)之一，如何讓學(xué)生更好的理解和掌握柯西不等式成為了當(dāng)前教師所要探索的方向。本文基于高中數(shù)學(xué)為背景，探討分析柯西不等式的推廣及其應(yīng)用，并提出了幾點(diǎn)觀點(diǎn)和建議，希望為相關(guān)的高中數(shù)學(xué)教育從業(yè)者提供一些思路和方向。

【關(guān)鍵詞】柯西不等式;推廣;應(yīng)用

引言

柯西不等式作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)典公式之一對(duì)學(xué)生的高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到了承上啟下的作用，這個(gè)經(jīng)典不等式的應(yīng)用不僅讓學(xué)生對(duì)于之前學(xué)習(xí)的平均值不等式中進(jìn)行鞏固，還能為后續(xù)學(xué)習(xí)的三角不等式和排列不等式打下了良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也培養(yǎng)提升了學(xué)生的思維創(chuàng)新能力和自主探究學(xué)習(xí)能力，除此此外，柯西不等式的運(yùn)用和推廣在學(xué)生解決數(shù)學(xué)中經(jīng)典題型都起到了很大的作用和幫助，因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重柯西不等式的推廣和應(yīng)用。

1.柯西不等式的應(yīng)用

1.1柯西不等式的基本形式

在高中教學(xué)中，數(shù)學(xué)定理如同牛毛一般多，學(xué)生在學(xué)習(xí)不同定理公式的同時(shí)要對(duì)每個(gè)公式定理透徹了解，只有這樣，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答才會(huì)更加容易、方便和快捷，柯西不等式的教學(xué)是眾多知識(shí)點(diǎn)中最重要的知識(shí)點(diǎn)之一，它在高中數(shù)學(xué)課本中呈現(xiàn)出幾種不同的表現(xiàn)形式，分為一般形式：“（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2等號(hào)成立條件：a1：b1=a2：b2=…=an：bn，或ai、bi均為零二維形式”和二維形式，其中二維形式是高中數(shù)學(xué)課本中常給學(xué)生展現(xiàn)的形式，柯西不等式中二維形式又分為代數(shù)形式：“若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立”、向量形式：“設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則│α.β│≤│α││β│，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立”以及三角形式：“設(shè)x1，x2，y1，y2∈R那么√（x12+y12）+√（x22+y22）≥√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]，當(dāng)且僅當(dāng)P1（x1，y1），P2（x2，y2），O（0，0）三點(diǎn)貢獻(xiàn)且P1，P2再原點(diǎn)O兩旁”。還有其他多種表現(xiàn)形式隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的不斷加深進(jìn)行不斷演進(jìn)，通過(guò)不同形式的運(yùn)用數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中以更方便快捷的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1.2柯西不等式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，柯西不等式可以幫助學(xué)生來(lái)解決某些函數(shù)最值或者證明一些不等式，所以使用率非常高，教師可以通過(guò)各種不同的柯西不等式的變換形式來(lái)滿足答題需求。由于柯西不等式這個(gè)數(shù)學(xué)概念相比較其他不等式較為復(fù)雜，教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)理念，積極學(xué)習(xí)新型的教學(xué)模式，在課程教學(xué)中要注重與學(xué)生之間的互動(dòng)，盡管素質(zhì)教育在各個(gè)高校相繼展開，效果也非常顯著，但是仍有個(gè)別教師在教學(xué)中忽視了學(xué)生作為數(shù)學(xué)課堂的主體，忽視了與學(xué)生之間的良好互動(dòng)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)柯西不等式興趣的喪失，因此在真正的實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)例題所存在的條件和規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用柯西不等式不同的變換形式對(duì)各個(gè)題型的解題步驟做到及時(shí)的歸納總結(jié)，要求學(xué)生把所有的方法總結(jié)到一個(gè)數(shù)學(xué)筆記本中，方便日后隨時(shí)翻閱。

例如在證明恒等式的時(shí)候，利用柯西不等式可以將其取等號(hào)的充分必要條件從而實(shí)現(xiàn)解決題目的目的。已知a√1-b2+b√1-a2=1去求證a2+b2=1.

證明：由柯西不等式中得出

a√1-b2+b√1-a2≤{a2+（1-a2）}{b2+（1-b2）}=1，

當(dāng)且僅當(dāng)b/√1-a2=√1-b2/a時(shí)，上式取等號(hào)，

所以得出ab=√1-a2·√1-b2，a2b2=（1-a2）（1-b2），

于是得出結(jié)論a2+b2=1，在此過(guò)程中，教師的教學(xué)步驟要放緩慢，針對(duì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的疑難困惑及時(shí)的解答，不要讓學(xué)生的問(wèn)題留到課下，教師再講恒等式這類題型多引導(dǎo)學(xué)生使用柯西不等式來(lái)解答，更方便、更快捷的計(jì)算出答案。

柯西不等式對(duì)于無(wú)理方程的解題也有所幫助，有些學(xué)生面對(duì)無(wú)理方程會(huì)一籌莫展，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把無(wú)理方程運(yùn)用柯西不等式轉(zhuǎn)化為不等式。然后再結(jié)合原方程把不等式轉(zhuǎn)換成等式，最后在可以判斷這個(gè)公式為等式的時(shí)候?qū)⒖挛鞑坏仁饺〉忍?hào)的特性加以利用，從而得到與原方程一樣答案的無(wú)理方程，進(jìn)而整個(gè)方程式都會(huì)清晰明了簡(jiǎn)單化，學(xué)生也因而得出原方程的答案解，在此過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)一步步引導(dǎo)，一環(huán)扣一環(huán)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究的能力。將各個(gè)學(xué)過(guò)的知識(shí)重組，實(shí)現(xiàn)新型且有創(chuàng)意的解題思路。

例如：習(xí)題中要求解方程√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2=2+1/x（x+1）.

解：∵√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2，

=√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2.

證明：由柯西不等式得出

√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥x/x+1+x+1/x，

即√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥2+1/x（x+1），

∴√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2≥2+1/x（x+1）

當(dāng)上是取等號(hào)時(shí)有x（x+1）=1/x（x+1）成立，

∴x2+x+1=0（無(wú)實(shí)根）或x2+x-1=0

∴x=-1+√5/2經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根為x=-1+√5/2

教師在講授柯西不等式的應(yīng)用這一課題時(shí)，要提前明確課程目標(biāo)，完善課程計(jì)劃，確保到每個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)理解、掌握和使用柯西不等式在每個(gè)例題中的應(yīng)用，教師還應(yīng)該根據(jù)學(xué)生基本的學(xué)習(xí)情況和數(shù)學(xué)認(rèn)知能力來(lái)對(duì)課程計(jì)劃規(guī)范的計(jì)劃，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課程活動(dòng)中，除了以往的教師機(jī)械性教知識(shí)，學(xué)生機(jī)械性的學(xué)知識(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)模式外，還要融合不同的教學(xué)模式，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究柯西不等式的興趣，在上述幾個(gè)例題分析中，教師可以通過(guò)小組合作探究的形式，讓學(xué)生將問(wèn)題和想法充分的表達(dá)出來(lái)，共同完成利用柯西不等式來(lái)解決數(shù)學(xué)中各種相關(guān)的問(wèn)題。

2.柯西不等式的推廣

柯西不等式除了在高中數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的應(yīng)用，還可以推廣到任意的內(nèi)積空間，從復(fù)雜的不等式推廣到另一個(gè)特殊的不等式，從實(shí)數(shù)還可以推廣到復(fù)數(shù)，以至于推廣到更廣的范圍，解決更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師在教授關(guān)于柯西不等式推廣中復(fù)數(shù)的推廣學(xué)習(xí)中，首先引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)出發(fā)，因?yàn)閷?shí)數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，不等式構(gòu)建在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上才富有意義，在此基礎(chǔ)上教師可以向?qū)W生提問(wèn)關(guān)于復(fù)數(shù)或者向量方面的相關(guān)問(wèn)題，例：有關(guān)復(fù)數(shù)或者是向量等之間的關(guān)系是如何衡量的？以小組為單位思考這個(gè)問(wèn)題并積極回答問(wèn)題，讓學(xué)生自主得出結(jié)論關(guān)于測(cè)量復(fù)數(shù)和向量大小的首要選擇的便是測(cè)量長(zhǎng)度

單位，并緊接著啟發(fā)學(xué)生思考：那如何進(jìn)行柯西不等式的推廣呢？教師在學(xué)生討論之間可以在一旁解答學(xué)生對(duì)知識(shí)的不解，經(jīng)過(guò)學(xué)生積極的思考和討論再加上教師在一旁的引導(dǎo)便可得出結(jié)論：在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)只需要把柯西不等式數(shù)值的平方轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的模的平方就可以大幅度提高解題速度。例如：復(fù)數(shù)z=x+iy，定義長(zhǎng)度|z|=√x2+y2，假若設(shè)ai，bi為任意復(fù)數(shù)（i=1，2，...，n），那么等式成立的充分必要條件就是ai=λbi（i=1，2，...n）。

除此復(fù)數(shù)的推廣之外，柯西不等式在代數(shù)數(shù)學(xué)中中得以運(yùn)用，例如：對(duì)于任意向量a，b有|（a，b）|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a和b線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)則予以成立，即矢量?jī)?nèi)積小于等于矢量長(zhǎng)度之積?？挛鞑坏仁降耐茝V中比較有影響力的赫爾德不等式和閔可夫斯基不等式也對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到了重要作用，盡管這個(gè)在高中教材中沒(méi)有涉及，教師可以以科普知識(shí)、科普創(chuàng)始人等有趣的方式向?qū)W生展示，創(chuàng)設(shè)一個(gè)有趣寬松的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生了解掌握并熟練運(yùn)用柯西不等式的推廣應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)意識(shí)，鍛煉學(xué)生的思維創(chuàng)造能力和動(dòng)手時(shí)間能力，為學(xué)生日后全面發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)生以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中提供方便和快捷。

3.結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，柯西不等式的運(yùn)用和推廣不止為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也為當(dāng)前數(shù)學(xué)在世界的發(fā)展都起到了一定的貢獻(xiàn)，發(fā)揮著不可比擬的影響力，在上述的柯西不等式運(yùn)用和推廣的例子中可以了解到柯西不等式的靈活性和變通性很強(qiáng)，但也要基于現(xiàn)實(shí)實(shí)際的情況進(jìn)行不同的構(gòu)建假設(shè)，不同問(wèn)題不同分析，根據(jù)不同的基本概念實(shí)施各種形式的解題方法，柯西不等式作為高中數(shù)學(xué)必備的基本公式之一，為學(xué)生在解決各種類型的問(wèn)題都提供了很大的幫助，同時(shí)也提升了學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的思維擴(kuò)散創(chuàng)新的能力和大膽思考、探索問(wèn)題的正確意識(shí)，目前來(lái)看，柯西不等式也很難解決有些問(wèn)題，因此，關(guān)于柯西不等式的推廣和應(yīng)用還需要教師不斷的進(jìn)行探討和分析，以便創(chuàng)造出更多的解題思路貢獻(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生全面發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：

高建全（1980.08--），男，漢族，河南泌陽(yáng)人，講師，本科，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)分析。

蔡肖楠（1991.11--），女，漢族，河南開封人，中小學(xué)二級(jí)教師，本科，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)。