在遞進(jìn)式問(wèn)題中促進(jìn)數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng)*
——以“三角形中位線定理證明”教學(xué)為例

華南師范大學(xué)附屬南沙中學(xué)廣州市馮少勤名師工作室

教學(xué)內(nèi)容安排在人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章“平行四邊形”,目標(biāo)定位是理解利用平行四邊形性質(zhì)分析三角形中位線性質(zhì)的合理性,掌握三角形中位線定理的證明,從中滲透轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理的核心素養(yǎng).以下設(shè)計(jì)僅對(duì)定理證明的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì),呈現(xiàn)主要環(huán)節(jié)和意圖,探索如何突破添加輔助線證明的難點(diǎn),并提出三點(diǎn)教學(xué)思考.

1 設(shè)計(jì)簡(jiǎn)案

環(huán)節(jié)1 回顧定理

問(wèn)題1:何為三角形中位線?中位線定理內(nèi)容是什么?

設(shè)計(jì)意圖:教師提出問(wèn)題,學(xué)生回答問(wèn)題.直截了當(dāng)回顧舊知,明確研究對(duì)象,理清證明目標(biāo):兩條線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

環(huán)節(jié)2 獲得思路

問(wèn)題2:如何證明三角形的中位線定理?從定理的結(jié)論出發(fā),顯然是兩條線段的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系,證明兩線平行的方法一般有哪些?證明兩線相等的方法一般有哪些?這些方法可行嗎?

追問(wèn)1:有沒(méi)有一個(gè)方法既涉及到兩條線段的位置關(guān)系又涉及到數(shù)量關(guān)系?之前知識(shí)是否學(xué)到類似的結(jié)論?

追問(wèn)2:構(gòu)造平行四邊形,用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形的中位線性質(zhì),有無(wú)它的合理性?你是如何理解的?

設(shè)計(jì)意圖:從問(wèn)題入手,挖掘已有的證明經(jīng)驗(yàn),激發(fā)思維,尋求方法,篩選方法.通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向和追問(wèn)思維,師生共同梳理方法,形成觀念:通過(guò)三角形的全等研究平行四邊形性質(zhì),反過(guò)來(lái),也可通過(guò)平行四邊形性質(zhì)獲得中位線性質(zhì).并形成圖1的證明思維導(dǎo)圖,旨在通過(guò)對(duì)知識(shí)尋根問(wèn)源,回顧平行四邊形性質(zhì)的獲得過(guò)程幫助學(xué)生理解構(gòu)造平行四邊形的合理性,對(duì)比兩個(gè)結(jié)論的求證路徑找到可行的方法,理解證明思路的來(lái)源,初步感知證明思路的切入口:添加輔助線構(gòu)造新的圖形.

圖1

學(xué)生初步嘗試,得證明方法1(圖2):延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得DE=EF,連接CF.(或者再分別連接DC、AF)

環(huán)節(jié)3 拓寬思路

該環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)實(shí)錄片段:

師:剛才的這種方法,如何添加輔助線實(shí)現(xiàn)線段倍長(zhǎng)?還有其它考慮方向?qū)崿F(xiàn)倍長(zhǎng)嗎?

生:他是通過(guò)補(bǔ)長(zhǎng)DE來(lái)實(shí)現(xiàn)的,應(yīng)該還可以通過(guò)截BC來(lái)實(shí)現(xiàn).

師:對(duì)!那如何通過(guò)補(bǔ)或截來(lái)實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的證明?需要構(gòu)造一個(gè)什么新的圖形?這個(gè)新的圖形的構(gòu)造是隨意的嗎?構(gòu)造時(shí)它的邊長(zhǎng)最好是哪些邊?

生:通過(guò)構(gòu)造一個(gè)平行四邊形,這個(gè)平行四邊形不是隨意構(gòu)造的,它的邊長(zhǎng)最好是兩條目標(biāo)線段為邊長(zhǎng),即可以考慮:以DE為邊長(zhǎng)的平行四邊形,或者以BC為邊長(zhǎng)的平行四邊形.

師:基于以上分析,還有其它證明方法嗎?請(qǐng)小組協(xié)作尋找新的證明方法.

設(shè)計(jì)意圖:以一種方法為跳板,通過(guò)深度剖析證明的思路以及涉及的思想方法,幫助學(xué)生形成模型,突破數(shù)學(xué)抽象.再通過(guò)后續(xù)的小組共同協(xié)作,利用新得到的工具重新解決問(wèn)題,以達(dá)到知識(shí)的遷移與創(chuàng)新.

環(huán)節(jié)4 再用思路

小組代表展示各種證明思路:

證法2(圖3):過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CF,交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

證法3(圖4):過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF,交BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AF,交GE于F.

設(shè)計(jì)意圖:呈現(xiàn)一般的證明方法,并對(duì)方法進(jìn)行分析總結(jié):證法2 用了補(bǔ)DE的方法,證法3 用了截BC的方法,其中證法1、2、3 都是用一個(gè)中點(diǎn)同側(cè)進(jìn)行補(bǔ)短或截長(zhǎng)構(gòu)造平行四邊形.基于總結(jié)順應(yīng)思維提出思考:可以考慮利用兩個(gè)中點(diǎn)向兩側(cè)來(lái)補(bǔ)短或截長(zhǎng)嗎?讓學(xué)生嘗試得出如下更一般的證法,從證法2、3到證法4、5 體現(xiàn)了從特殊到一般的證明思路和研究方法,符合認(rèn)知規(guī)律.

可讓學(xué)生課后完成:

證法4(圖5):在線段DE上任意取一點(diǎn)F,延長(zhǎng)FD于點(diǎn)I,使得DF=DI,延長(zhǎng)FE于點(diǎn)J,使得EJ=EF,連接BI,AF,CJ.

證法5(圖6):在BC上任取一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作DM的平行線EN交BC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AG,交DM于點(diǎn)G,交EN于點(diǎn)F.

證法6(圖7):連接CD,并延長(zhǎng)CD于點(diǎn)F,使得DF=CD,連接AF,BF,BF交ED于點(diǎn)H.

環(huán)節(jié)5 總結(jié)提煉

問(wèn)題3:經(jīng)歷了剛才的證明你獲得了哪些數(shù)學(xué)思想方法?觀察各種證法的圖形,你發(fā)現(xiàn)了三角形與平行四邊形有什么特殊的聯(lián)系?譬如它們之間如何轉(zhuǎn)換?

小結(jié):事實(shí)上,任何一個(gè)三角形都能通過(guò)中位線的圖形變換割補(bǔ)成一個(gè)與之面積相等的平行四邊形,反過(guò)來(lái),任何一個(gè)平行四邊形都能恒等變換成與之面積相等的三角形,所以平行四邊形的問(wèn)題我們可以用三角形來(lái)解決,三角形的問(wèn)題也可以用平行四邊形的相關(guān)知識(shí)來(lái)突破.

設(shè)計(jì)意圖:梳理知識(shí),升華思想,掌握方法,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,創(chuàng)新認(rèn)知.

2 教學(xué)思考

2.1 理解教材

三角形中位線是平行四邊形性質(zhì)、判定之后的一個(gè)推論,結(jié)論含有兩條線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,是四邊形、三角形的有關(guān)證明以及計(jì)算的重要定理.對(duì)三角形中位線的研究,體現(xiàn)了三角形、四邊形相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)的統(tǒng)一性;同時(shí)中位線的定理證明涉及到很多數(shù)學(xué)思考與思想方法,其數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)涵價(jià)值高,此為學(xué)生提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提供了豐富的素材.

2.2 理解學(xué)生

學(xué)生此前已經(jīng)掌握了全等三角形、利用全等三角形探索得到平行四邊形的性質(zhì)和判定.具有研究四邊形問(wèn)題時(shí)會(huì)轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題研究的意識(shí)和一定的研究經(jīng)驗(yàn),以及一定的邏輯推理能力.當(dāng)然,也存在一些不利的教學(xué)因素.其一,中位線的定理的證明思路多種多樣,如何基于學(xué)生已有的證明經(jīng)驗(yàn)梳理出可行的證明方法,是個(gè)難點(diǎn);其二,定理的原幾何圖形簡(jiǎn)單,涉及的兩個(gè)結(jié)論需要學(xué)生構(gòu)造新的圖形(全等三角形、平行四邊形),構(gòu)造的關(guān)鍵是如何利用兩個(gè)中點(diǎn)添加輔助線,這是學(xué)生的另一個(gè)難點(diǎn).

2.3 理解教學(xué)

教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為本源,因此,需要注重通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向,在數(shù)學(xué)活動(dòng)中引入數(shù)學(xué)思考以發(fā)展思維能力.從證明思路的獲得上引導(dǎo)學(xué)生嘗試用平行四邊形的方法證明結(jié)論,通過(guò)不同方法的截長(zhǎng)補(bǔ)短獲得證明思路的多樣性,能從分析問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的思想,并關(guān)注數(shù)學(xué)建模以及邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.同時(shí),順應(yīng)學(xué)生思維,通過(guò)對(duì)整堂課的小結(jié),帶領(lǐng)學(xué)生反思、揭示三角形與平行四邊形整體架構(gòu),強(qiáng)化了兩個(gè)內(nèi)容的系統(tǒng)統(tǒng)一性.

教學(xué)應(yīng)以思維發(fā)生的載體而生長(zhǎng)深入,因此考慮如何基于學(xué)生已有的證明經(jīng)驗(yàn)梳理出可行的證明方法?采取的是拋開(kāi)腳手架,從認(rèn)知的一般情況入手,模擬遇到問(wèn)題的第一反應(yīng):尋求方法解決問(wèn)題.通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向,調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的證明經(jīng)驗(yàn),挖掘出能夠可行的素材,通過(guò)思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn),幫助學(xué)生梳理出證明的優(yōu)解:構(gòu)造平行四邊形,雖然這種處理方法學(xué)生不太容易獲得思路,但是此種方法符合學(xué)生遇到問(wèn)題的真實(shí)情況,思維的活動(dòng)更活躍更靈動(dòng),也為學(xué)生今后分析問(wèn)題解決問(wèn)題提供了示范.

教學(xué)應(yīng)以思路拓寬而形成能力,因此考慮到添加輔助線的多樣性、抽象性和不確定性,學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力以及圖形直觀素養(yǎng)尚在較低水平,思維的深廣度尚不能獨(dú)立解決問(wèn)題.為此,在得到一種證明方法后,不急于展示其它方法,而以此為藍(lán)本,進(jìn)行方法的深度透析,通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向,把需要構(gòu)造的平行四邊形定性:通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造以目標(biāo)線段DE或者BC為邊長(zhǎng)的平行四邊形,獲得此認(rèn)知后讓學(xué)生嘗試考慮其他證明方法,同時(shí)拓寬思維:利用一個(gè)中點(diǎn)截長(zhǎng)補(bǔ)短;利用兩個(gè)中點(diǎn)截長(zhǎng)補(bǔ)短,滲透從特殊到一般的研究方向,這樣處理不會(huì)一下子拔得太高,讓學(xué)生先感悟了理解了方法,才能更好的使用方法,從而提升學(xué)生對(duì)證明思路的發(fā)散度和思維超越,以達(dá)到知識(shí)遷移以及知識(shí)的創(chuàng)新.

2.4 理解數(shù)學(xué)

教師的教法和學(xué)生的學(xué)法離不開(kāi)數(shù)學(xué)理解,數(shù)學(xué)知識(shí)是個(gè)整體,整體中的每一部分又相互聯(lián)系,因此,在教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)整體和聯(lián)系的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.有三點(diǎn)需要理解清晰.

一是思路為什么這樣來(lái)?需要理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈.基于學(xué)生已學(xué)的知識(shí)和方法經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)尋根問(wèn)源,通過(guò)回顧平行四邊形的性質(zhì)的獲得過(guò)程以及平行四邊形對(duì)邊的性質(zhì)理解構(gòu)造平行四邊形的合理性,對(duì)證明方法進(jìn)行梳理和呈現(xiàn)思維導(dǎo)圖,讓知識(shí)方法來(lái)得自然、合理、有據(jù),解決了知識(shí)怎么來(lái)的問(wèn)題.

二是知識(shí)去哪兒,怎么去?在獲得第一種證明方法后,從方法的特征中深度解剖證明的思路,通過(guò)問(wèn)題串的引導(dǎo)以及小組協(xié)作完成任務(wù)單以突破其他添加輔助線的方法,拓寬學(xué)生的思維,提升學(xué)生對(duì)性質(zhì)證明思路的發(fā)散度和思維超越,以達(dá)到知識(shí)遷移以及知識(shí)的創(chuàng)新,從而達(dá)到分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng),解決了知識(shí)怎么去的問(wèn)題.而通過(guò)對(duì)比各種證明思路以及方法,對(duì)比各種證明方法的圖形,發(fā)現(xiàn)圖形的相互轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)三角形與平行四邊形之間面積恒等與方法互動(dòng)的創(chuàng)新結(jié)論,解決知識(shí)去哪里的問(wèn)題.

三是整體和聯(lián)系的學(xué)科價(jià)值觀如何呈現(xiàn)?課最后的小結(jié)內(nèi)容,基于三角形與平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的著重點(diǎn)是本節(jié)課的證明過(guò)程與研究方法,并在此基礎(chǔ)上增加了圖形之間的定性轉(zhuǎn)化,通過(guò)對(duì)比各個(gè)證明圖形的切割與合成,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)三角形與平行四邊形在形狀上是可以相互轉(zhuǎn)化,任何一個(gè)三角形都可以通過(guò)中位線的切割變換成與之面積相等的平行四邊形,反之亦然.這深刻體現(xiàn)了我國(guó)《九章算術(shù)》中的出入相補(bǔ)轉(zhuǎn)化思想,此結(jié)論的獲得使得課堂更具有人文味,內(nèi)涵更豐富.

3 結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)中提到關(guān)鍵能力,它體現(xiàn)在知識(shí)學(xué)習(xí)的三種形態(tài):知識(shí)的理解,遷移以及創(chuàng)新,簡(jiǎn)單概括就是指數(shù)學(xué)的思維和方法的理解和遷移應(yīng)用.如何基于學(xué)生已有的知識(shí)設(shè)置教學(xué)活動(dòng)引入數(shù)學(xué)思考,從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得素養(yǎng)的養(yǎng)成,最佳的方法莫過(guò)于學(xué)生的經(jīng)歷與體驗(yàn)感悟,思維的產(chǎn)生也必然是順應(yīng)學(xué)生的已有認(rèn)知進(jìn)而產(chǎn)生拓展的,教師要利用好教學(xué)的載體,通過(guò)引導(dǎo)分析,對(duì)比,歸納,以問(wèn)促思,拓寬思維的發(fā)散度以及加深思維的深刻性.