基于“單元
——課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”理念下的對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)課時(shí)一的教學(xué)設(shè)計(jì)

廣東省東莞市東莞中學(xué)

1 “單元——課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”理念背景

主題、單元教學(xué)是新課改強(qiáng)調(diào)的一個(gè)重點(diǎn),所以本次的教學(xué)設(shè)計(jì)是在單元教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上再給出課的時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì).這樣能兼顧數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性,切實(shí)防止碎片化教學(xué),通過(guò)有效的“四基”、“四能”教學(xué),使數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)真正落實(shí)于數(shù)學(xué)課堂.

具體而言,就是要在課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)之前,先進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì),對(duì)本單元內(nèi)容及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、本單元著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、本單元的主要學(xué)習(xí)難點(diǎn)等作出全面分析,并將《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》規(guī)定的本單元內(nèi)容按:知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程、學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程(從概念、原理等的學(xué)習(xí)到練習(xí)再到目標(biāo)檢測(cè)等)分解到課時(shí),同時(shí)將相應(yīng)的“內(nèi)容要求”(即單元目標(biāo))分解為課時(shí)目標(biāo).

2 “單元——課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”概要

2.1 單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

(1)內(nèi)容

通過(guò)本章學(xué)習(xí),使學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與基本性質(zhì),了解五種冪函數(shù),體會(huì)建立和研究一個(gè)函數(shù)的基本過(guò)程和方法,同時(shí)會(huì)運(yùn)用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.

(2)內(nèi)容解析

是基本的函數(shù)模型,是底數(shù)、冪、指數(shù)三個(gè)值之間的兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系.

形成函數(shù)概念時(shí)從特殊到一般,滲透模型思想;通過(guò)函數(shù)的圖象探究指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),從整體到局部,滲透數(shù)形結(jié)合的思想;借鑒指數(shù)函數(shù)的研究思路研究對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù),滲透類(lèi)比思想;通過(guò)指數(shù)冪的指數(shù)范圍推廣以及指數(shù)冪運(yùn)算的推廣環(huán)節(jié),向?qū)W生滲透推廣的思想,有理指數(shù)冪逼近無(wú)理指數(shù)冪,體會(huì)逼近的思想.

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三種基本的函數(shù)模型,是復(fù)雜函數(shù)形成的重要來(lái)源.

通過(guò)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算,提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng);經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)概念的提出過(guò)程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);經(jīng)歷指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的推廣、以及指數(shù)冪指數(shù)的范圍擴(kuò)大、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的探究培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng);通過(guò)應(yīng)用三種函數(shù)模型解決生活問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

本單元重點(diǎn)掌握指數(shù)冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算、三類(lèi)基本函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及性質(zhì)應(yīng)用.

2.2 單元目標(biāo)和目標(biāo)解析

(1)目標(biāo)

(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.

(2)理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義,通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義,掌握冪的運(yùn)算.

(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

(4)在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.

(5)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù),通過(guò)閱讀材料,了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及其對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

(6)通過(guò)具體實(shí)例,直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系,初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型;能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

(7)知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a＞0,a1).

(8)通過(guò)實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y=x,y=的圖象,了解它們的變化情況.

(2)目標(biāo)解析

以四基落實(shí)為基礎(chǔ),在基本知識(shí)環(huán)節(jié)會(huì)進(jìn)行函數(shù)概念辨析,在運(yùn)算技能訓(xùn)練上強(qiáng)化公式的正向和逆向變形,在畫(huà)圖環(huán)節(jié)注意恒過(guò)定點(diǎn)和漸近線等細(xì)節(jié),落實(shí)化歸、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、先宏觀后微觀等基本思想,以基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為支撐,在課堂上花時(shí)間讓學(xué)生開(kāi)展畫(huà)圖和計(jì)算.

注重以實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行引入求解,在這個(gè)過(guò)程中,讓學(xué)會(huì)體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,試著用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界,力求用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

以問(wèn)題為導(dǎo)向,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

2.3 單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生學(xué)習(xí)本單元知識(shí)時(shí)由于一個(gè)習(xí)慣兩個(gè)意識(shí)(討論函數(shù)的必明確完整結(jié)構(gòu)——稱(chēng)為一個(gè)習(xí)慣,函數(shù)問(wèn)題從三要素的關(guān)系和函數(shù)性質(zhì)為思考導(dǎo)向——稱(chēng)為兩個(gè)意識(shí))尚未形成模型,所以從函數(shù)的視角思考和解決問(wèn)題的意識(shí)淡薄.具體地,指對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性討論是難點(diǎn),解指對(duì)數(shù)不等式、求指對(duì)數(shù)函數(shù)值域、應(yīng)用單調(diào)性比較大小是重點(diǎn),有含參奇偶函數(shù)參數(shù)求解用特殊與一般的方法時(shí)不檢驗(yàn)一般性、求單調(diào)區(qū)間時(shí)不考慮定義域、對(duì)數(shù)公式變形忽略前提范圍等等易錯(cuò)點(diǎn),同時(shí)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式多變形復(fù)雜,化歸思想要求高.

3 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

3.1 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

對(duì)數(shù)函數(shù)概念、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、性質(zhì)與性質(zhì)應(yīng)用.

3.2 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷對(duì)數(shù)函數(shù)的概念形成過(guò)程,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)三要素,會(huì)求定義域,會(huì)求函數(shù)值,提高函數(shù)應(yīng)用意識(shí);

2.體驗(yàn)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象作圖過(guò)程,體會(huì)特殊到一般的思想,學(xué)習(xí)先宏觀再微觀的研究視角,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D習(xí)慣,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)性質(zhì),能辨析不同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;

3.運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小,初步了解對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用,提高函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用意識(shí),掌握應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性比較大小的常用方法.

3.3 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)圖象、性質(zhì)、求定義域.

教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用單調(diào)性比較大小、恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題.

3.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

3.4.1 回顧舊知

師:生物死亡t年后體內(nèi)14C的含量P=P為生物體出土?xí)r的14C殘留量與原始含量的比值.根據(jù)下面的14C的含量P算對(duì)應(yīng)時(shí)間t.

P(1 2)2229 5730(1 2)2106 5730(1 2)1370 5730(1 2)1043 5730(1 2)792 5730 t

師:一般地知道P如何求時(shí)間t呢?

生:把指數(shù)形式改成對(duì)數(shù)形式——tP ∈(0,1].

師:結(jié)合上表請(qǐng)大家思考,每一個(gè)P都有幾個(gè)t與之對(duì)應(yīng)? 一般情況下是否也成立?

生:唯一一個(gè),因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)的.

師:所以我們可以說(shuō)t是P的函數(shù).

一個(gè)細(xì)胞分裂m次后的細(xì)胞總個(gè)數(shù)m=2n,請(qǐng)大家思考知道m(xù)如何求n?

生:把指數(shù)形式改成對(duì)數(shù)形式——n=log2m.

師:仿照以上分析n是否也是m的函數(shù)呢?

生:是.

設(shè)計(jì)意圖從實(shí)際問(wèn)題引入,承前啟后,自然過(guò)渡,一舉多得,一方面生成對(duì)數(shù)函數(shù)概念,遵循從特殊到一般的研究思,讓概念來(lái)得自然,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).另外,在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)引入的必要性,設(shè)計(jì)表格重在滲透這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是指數(shù)函數(shù)存在反函數(shù)的基礎(chǔ),這也為反函數(shù)概念的提出和以及存在反函數(shù)的埋下伏筆.

3.4.2 生成新知

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)

師:觀察以上兩個(gè)函數(shù),像這種真數(shù)為自變量的函數(shù)我們稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù),記為y=logax(a＞0 且a1),叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是(0,+∞).

(2)圖象與性質(zhì)

和指數(shù)函數(shù)一樣,我們通過(guò)函數(shù)作圖來(lái)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì),請(qǐng)大家填寫(xiě)下列表格并在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象(y1=log2x的圖象畫(huà)實(shí)線,的圖象畫(huà)虛線).注意用尺畫(huà)圖.

追問(wèn)1:取這些x的值怎么取得的?為什么取這么多?

生:算得的縱坐標(biāo)都是整數(shù),建系后好描點(diǎn),描的點(diǎn)多便于看出函數(shù)的變化的整體趨勢(shì).

x ···1 4 1 2 1 2 4 8···y1······y2······

追問(wèn)2:為什么表格給出了兩列省略數(shù)值的呢?

生:表示圖象延續(xù)未斷.

追問(wèn)3:對(duì)數(shù)函數(shù)圖象是否能與y軸相交?

生:不能,因?yàn)槎x域是(0,+∞).

追問(wèn)4:觀察這個(gè)兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象,誰(shuí)能具體地說(shuō)說(shuō)隨著x增大時(shí)的y的變化快慢規(guī)律呢?

生:隨著x增大時(shí)的y變化得越來(lái)越慢.

追問(wèn)5:觀察這個(gè)兩個(gè)函數(shù)圖象有什么關(guān)系?

生:這個(gè)兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),因?yàn)閥2=定義域相同,橫坐標(biāo)相同時(shí)縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

生:將y1=log2x的圖象沿x軸翻折得到.

師總結(jié):函數(shù)作圖兩種常見(jiàn)方式,一種是描點(diǎn)法,第二種就是利用簡(jiǎn)單圖象的平移或?qū)ΨQ(chēng)變換得到,簡(jiǎn)稱(chēng)變換法,一般地y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

師:請(qǐng)大家在剛才的坐標(biāo)系中繼續(xù)畫(huà)出y3=log3x的圖象.

師:下面我們通過(guò)幾何畫(huà)板看看函數(shù)圖象隨著參數(shù)的連續(xù)變化的變化.

下面我們分類(lèi)總結(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).根據(jù)以上四個(gè)函數(shù)圖象填寫(xiě)下表.

0＜a＜1 a＞1圖象恒過(guò)定點(diǎn)定義域值域單調(diào)性

師總結(jié):學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì),我們類(lèi)比指數(shù)函數(shù)研究過(guò)程,學(xué)習(xí)類(lèi)比的思想;具體而言研究性質(zhì)先畫(huà)圖,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;畫(huà)圖過(guò)程中又從特殊到一般,具體探究上又遵循從整體到局部的思路.

設(shè)計(jì)意圖在畫(huà)圖時(shí)描更多的點(diǎn)可看出y隨x增大的變化快慢,這是為第三章比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)快慢埋下伏筆,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).設(shè)計(jì)漸近線探究環(huán)節(jié)十分必要,這是由數(shù)促形,并非由形促數(shù),是數(shù)形結(jié)合思想的滲透,更是培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖技能和細(xì)節(jié).設(shè)計(jì)圖象關(guān)系探究并尋求代數(shù)解釋與意義探究環(huán)節(jié),重在滲透畫(huà)圖方法,畫(huà)圖技能是函數(shù)章節(jié)乃至整個(gè)高中的基礎(chǔ)技能,注重畫(huà)圖過(guò)程的體驗(yàn)重在積累學(xué)生的函數(shù)作圖的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的理解,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的工匠精神.另外具體函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性變換又是章末研究抽象函數(shù)圖象變換的良好素材,適時(shí)將特殊結(jié)論推廣到一般.另外數(shù)學(xué)思想方法的滲透應(yīng)該是及時(shí)雨,在恰當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)進(jìn)行總結(jié).

3.4.3 檢測(cè)新知

(3)單調(diào)性應(yīng)用

例1、求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

例2、比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小.

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;

(3)loga5.1,loga5.9(a＞0,且a1).(4)log23,log32;

(5)log23,log30.2;(6)log25,log35.

設(shè)計(jì)意圖例1 求函數(shù)的定義域本質(zhì)是解不等式,求定義域是求單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ),求定義域環(huán)節(jié)重在用簡(jiǎn)單例子揭示問(wèn)題實(shí)質(zhì),所以本課時(shí)不強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的綜合性和復(fù)雜性.例2的大小比較邏輯清晰(底數(shù)同真數(shù)不同;真數(shù)同底數(shù)不同;底數(shù)不同真數(shù)也不同),方法豐富(用單調(diào)性;用圖;用介值;轉(zhuǎn)化變形),核心是利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性,思想典型(有分類(lèi)討論,有數(shù)形結(jié)合,有轉(zhuǎn)化).但是本課時(shí)只討論簡(jiǎn)單的類(lèi)型,不過(guò)分強(qiáng)調(diào)其它的變形技巧的融入.

3.4.4 總結(jié)新知

知識(shí)與技能:對(duì)數(shù)函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、比較大小

過(guò)程與方法:數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、整體與局部、類(lèi)比、分類(lèi)討論.

情感態(tài)度與價(jià)值觀:工匠精神.

3.4.5 鞏固新知

本上:P74A組第7題;P75B組第3和第4題

書(shū)上:課本第73頁(yè)練習(xí).課本第74頁(yè)8、9、10、12.

3.4.6 升華新知——課后思考

思考1:y=logax2(a＞0,且a1)恒過(guò)哪些點(diǎn)呢?如何求y=logaf(x)+b(a＞0,且a1)恒過(guò)的定點(diǎn)呢?

生:這是由于對(duì)數(shù)的一個(gè)恒等式loga1=0(a＞0,a1)決定的.y=logax2恒過(guò)(-1,0)和(1,0).令f(x)=1解得x1,x2,···,xn(n ∈ N*),則過(guò)定點(diǎn)(x1,b),(x2,b),···,(xn,b).

思考2:如何保證函數(shù)y=logaf(x)的定義域?yàn)镽呢?

生:f(x)＞0 對(duì)任意的x ∈R恒成立.

設(shè)計(jì)意圖思考1:向?qū)W生滲透恒過(guò)定點(diǎn)的原理以及求解方法,恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題主要設(shè)置在對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、直線方程,這是一個(gè)系統(tǒng)性問(wèn)題,設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題符合知識(shí)發(fā)生發(fā)展的整體性.思考2是一個(gè)恒成立問(wèn)題,恒成立問(wèn)題主要在學(xué)完導(dǎo)數(shù)之后進(jìn)行處理,這里設(shè)置這個(gè)問(wèn)題主要是為后面作思想鋪墊,向?qū)W生滲透從函數(shù)視角解決問(wèn)題的觀念.

4 反思總結(jié)

本節(jié)課是東莞市東莞中學(xué)與廣州市第二中學(xué)的同課異構(gòu),正如廣州市第二中學(xué)的鄧軍民老師所評(píng)價(jià)的那樣:本節(jié)課在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象探究階段從具體到抽象,在對(duì)稱(chēng)性的總結(jié)階段從具體上升到抽象很符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;同時(shí)在圖象對(duì)稱(chēng)性規(guī)律發(fā)現(xiàn)階段先猜再證,很符合教材編寫(xiě)理念;同時(shí)將六大核心素養(yǎng)滲透其中,通過(guò)觀察兩個(gè)具體的對(duì)數(shù)函數(shù)抽象出一般解析式的過(guò)程,提升學(xué)生的抽象素養(yǎng),通過(guò)類(lèi)比指數(shù)函數(shù)的研究思路以及尋求圖象對(duì)稱(chēng)性證明的過(guò)程,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的提出過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),通過(guò)完善表格數(shù)據(jù)的過(guò)程,提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng),通過(guò)圖象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程和圖象整體趨勢(shì)的推理過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象,通過(guò)分析坐標(biāo)設(shè)置合理性的環(huán)節(jié),提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

一節(jié)課時(shí)間有限,太多的內(nèi)容講不了,留下來(lái)的都是精華,課堂關(guān)鍵還是讓學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)技能的習(xí)得需要過(guò)程,就得反復(fù)練習(xí),本節(jié)課從回顧舊知→生成新知→檢測(cè)新知→總結(jié)新知→鞏固新知到→升華新知,結(jié)構(gòu)清晰,邏輯嚴(yán)謹(jǐn),符合知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,符合學(xué)生的思維發(fā)展過(guò)程,符合“單元——課時(shí)”設(shè)計(jì)理念,在諸多環(huán)節(jié)設(shè)置上承前啟后,在諸多共同問(wèn)題上下足功夫,很好地融入函數(shù)章節(jié)設(shè)計(jì).