自主探究促發(fā)展深度學(xué)習(xí)提素養(yǎng)*
——以“探索三角形的相似(2)”教學(xué)為例

江蘇揚州儀征市第三中學(xué)

近來“核心素養(yǎng)”成為一個熱詞,培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng)成為每一位數(shù)學(xué)教師的追求,那么,作為一名初中數(shù)學(xué)教師,課堂教學(xué)中該如何讓這一核心素養(yǎng)落地生根呢,這是筆者最近一直在思考的問題.近日,在南京市骨干教師匯報課展示活動中,筆者有幸聽了一節(jié)初二的數(shù)學(xué)課,課題是“探索三角形的相似(2)”,給筆者留下深刻印象.

1 教學(xué)片段實錄

上課開始,教者提問:上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似三角形的定義,請大家回憶一下,什么樣的三角形是相似三角形呢?

生齊答:形狀相同大小不一定相同的三角形.

師:如果兩個三角形相似,那么它們的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,反過來,兩個三角形具備怎樣的條件就相似了呢?

生齊:根據(jù)相似三角形的定義,所有的邊對應(yīng)成比例,所有的角都相等的兩個三角形相似,另外還有A字型相似.

師:定義是性質(zhì)和判定的生長之根,在定義的基礎(chǔ)上結(jié)合平行線等分線段成比例生長出了A字型相似.

師:請大家回憶三角形全等的判定方法,你能否類比得出三角形相似的判定方法?

生1:我覺得可以弱化條件,就是減少已知條件.

師:對,我們一開始判定兩個三角形全等用的方法是三個角對應(yīng)相等,三條邊對應(yīng)相等,然后減少條件,得出了三角形全等的判定方法,大家回憶一下得出了哪些判定方法?

生2:SAS,ASA,AAS,SSS,另外還有HL.

師:好,下面就請大家仿照探索全等的方法看看兩個三角形相似需要哪些條件?給大家?guī)追昼姇r間探索一下.

生3:我想到的方法是類比SSS可以看這兩個三角形的三邊是否成比例,如果三邊成比例,那么兩個三角形應(yīng)該相似

師:說說你的理由.

生3:我覺得可以根據(jù)三角形的穩(wěn)定性來判定,一個三角形三邊如果確定了,這個三角形形狀和大小就確定了,所以兩個三角形三邊確定且成比例的話,這兩個三角形應(yīng)該相似.

生4:我覺得兩個三角形如果三個角相等,這兩個三角形相似,因為三個角相等的兩個三角形形狀應(yīng)該是相同的,大小不一定相同,所以相似.

師:很好!還有其他方法嗎?

生5:我覺得有兩個角相等就可以了,因為根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以知道一個三角形兩個角確定了第三個角也就確定了.

生6:我覺得可以類比SAS得出兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似,因為如果把兩個相等的角的頂點放在一起,根據(jù)縮放可以判定相似.

師:對于以上幾種猜想,大家如何理解它的合理性?同學(xué)們交流一下.

于是,大家開始積極研討交流.過了一會兒,就有學(xué)生積極舉手發(fā)言.

生7:我覺得可以先找一些特例來驗證一下.

生8:我覺得特例不能說明問題,應(yīng)該進行證明.

師:好!那我們下面就來證明,我們先從兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似來證明,出示幻燈片:

已知:如圖1,在ΔABC與ΔA′B′C′中,

圖1

求證:ΔABC∽ΔA′B′C′

師:請同學(xué)們探索證明的方法.

生9:把ΔA′B′C′“挪”到ΔABC上去.

師:好,這個“挪”字怎么理解?

生9:如圖2,在AB上截取AD=A′B′,在AC上截取AE=A′C′,連接DE.這樣構(gòu)造出的ΔADE∽= ΔA′B′C′(易證).

圖2

師:好的,然后怎么辦?

生9:再證ΔADE∽ΔABC,最后轉(zhuǎn)化為ΔA′B′C′∽ΔABC.

師:試試看能否沿著這個思路做下去.

師:這個方法可行嗎?

生10:不可行,無法證明ΔADE∽ΔABC.

師:有辦法解決這個問題嗎?

生10:如圖2,只要把作輔助線的方式改變一下就可以了,把“在AB上截取AD=A′B′,在AC上截取AE=A′C′,連接DE.”改成“在AB上截取AD=A′B′,過點的作DE//BC,交AC于點E.”這樣也能使ΔADE∽= ΔA′B′C′,由DE//BC可直接證出ΔADE∽ΔABC.

圖3

師:這位同學(xué)完美的解決了這個問題,我為你點贊!

師:還有其它的想法嗎?

生11:把ΔA′B′C′的邊B′C′和ΔABC的邊BC放到同一條直線上,構(gòu)成如圖3所示的大ΔDBC.

師:這個辦法也是可行的,同學(xué)們下課可以嘗試按這個思路來證明.

師:我們探索了什么?如何探索?還能繼續(xù)探索什么?

生12:我們探索了判定三角形相似的條件,采用了類比三角形全等判定的幾種方法,通過作輔助線(平行線)將問題轉(zhuǎn)化為可以利用前面學(xué)過的平行線等分線段成比例,相似三角形的定義,A字型相似的模型加以解決.

生13:我們還將繼續(xù)探索這節(jié)課還沒解決的“三邊成比例的兩個三角形相似”以及“兩角分別相等的兩個三角形相似”這兩種猜想的證明,還要探究相似三角形具有的性質(zhì).

生14:后面還要運用相似三角形的定義,性質(zhì)和判定方法來解決問題.

師:同學(xué)們想的非常全面,這些都是我們今后一個階段要去研究的.

2 課后訪談與調(diào)查

筆者聽了這節(jié)章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課后,眼前一亮,覺得這是一節(jié)難得的好課,因此很想了解教者對這節(jié)課的設(shè)計意圖和教后體會,也想了解學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受.于是對教者進行訪談,并對學(xué)生進行問卷調(diào)查.

2.1 與教者的訪談交流

筆者:您這節(jié)課的設(shè)計很巧妙,沒有直接按課本上的順序來教,而是打破教材的順序,說說你這節(jié)課的設(shè)計的思路?

師:這是我們南京最近研究的一種新的課型,也就是章節(jié)的小統(tǒng)領(lǐng)課.我們數(shù)學(xué)教材中每一章的開頭都有一些文字和圖片,目的是讓學(xué)生對本章的內(nèi)容和知識框架有一個全面了解,但實際教學(xué)中,老師們往往忽視了這一部分內(nèi)容,直接開始知識點的教學(xué).其實,章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課的重要性不亞于建筑物地基的重要性,它是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵環(huán)節(jié),它對一章起到統(tǒng)整引領(lǐng),是章節(jié)的序幕,它一方面承載著激發(fā)學(xué)生興趣,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,初步感知學(xué)習(xí)本章的價值和意義,對后繼學(xué)習(xí)起引領(lǐng)指導(dǎo)和組織的作用;另一方面,還承載著幫助學(xué)生建構(gòu)策略性知識的重要價值,為學(xué)生提供學(xué)習(xí)章節(jié)知識的框架和基本線索,搭建溝通章節(jié)知識的橋梁,除了顯現(xiàn)知識的教學(xué),還應(yīng)包括對本章內(nèi)容的介紹研究思路和方法的整體構(gòu)建,讓學(xué)生既見樹木,更見森林,從而提高學(xué)生的整體意識、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),所以本節(jié)課我就按照學(xué)生認(rèn)識事物的通常規(guī)律,先從相似三角形的定義出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生類比研究三角形全等的判定方法,構(gòu)建研究相似三角形的路徑,讓學(xué)生通過自主討論,歸納得出了相似三角形的判定方法,從而獲得了對本節(jié)內(nèi)容的整體認(rèn)識,

筆者:您的教學(xué)活動的設(shè)計意圖是什么?

師:(1)主要通過課堂上學(xué)生們自主討論,并開展交流式、追問式、總結(jié)式、反思式等多種方式的對話交流、思維碰撞,層層深入問題的本質(zhì),暴露出學(xué)生們探討問題時的思維障礙,讓他們體會這類問題的一般的研究思路,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,從而提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.(2)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一,是讓學(xué)生理解或掌握研究數(shù)學(xué)的方法,最終達到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的,通過這樣的自主研討課,我覺得可以培養(yǎng)學(xué)生的反思與質(zhì)疑意識和發(fā)現(xiàn)問題的能力,讓學(xué)生學(xué)會做一個會思考的人.

筆者:通過這節(jié)課的教學(xué),您有哪些體會?

師:這節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)活動應(yīng)該說超出了我的預(yù)期,這是課前沒想到的:(1)生9和生10的證明方法我覺得學(xué)生應(yīng)該很難想到的,生9 想到了將一個三角形“挪”到另一個三角形上去,生10接著補充完善了證明方法,這在以往的教學(xué)中我是多次啟發(fā)后學(xué)生才能想出來,而今天這兩位同學(xué)立刻想出來,應(yīng)該是不容易的;(2)我覺得數(shù)學(xué)課的教學(xué)一定要讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí),千萬不要認(rèn)為學(xué)生不會想,而不停地說教,要放手讓學(xué)生討論,要激發(fā)他們的興趣,培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)的能力,長期積累,學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會得到提升.

筆者:您認(rèn)為教學(xué)效果如何?

師:我個人認(rèn)為實現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo),而且又有新的生成,通過學(xué)生們不斷探究揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì),從課堂氣氛來看,所有的學(xué)生都能積極參與研討,我覺得他們是有收獲的,應(yīng)該達到了深度學(xué)習(xí).

2.2 對學(xué)生的調(diào)研分析

為了便于對學(xué)生調(diào)研,筆者設(shè)計如下表格的問卷,發(fā)放給教者所上課班級的學(xué)生,共發(fā)放54份,收回52份.(如表1)

表1 調(diào)查問題

經(jīng)過統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)表格中的這幾個問題選A的百分率分別達到了82%,87%,89%,97%,94%,92%,可以得出這樣的結(jié)論:學(xué)生非常喜歡上這樣的課,這樣的課堂教學(xué)效益很高,課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性完全被充分激發(fā)出來,他們覺得自己是課堂的主人,他們自己的想法得到了充分的展示.

3 聽課及訪談?wù){(diào)研后的思考

為什么數(shù)學(xué)課有的同學(xué)不喜歡上,數(shù)學(xué)課堂上如何提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,讓每個學(xué)生都能動起來?這節(jié)課無疑做了一個很好的示范.

3.1 基于學(xué)生基礎(chǔ),把學(xué)生的思維作為課堂教學(xué)的起點

本節(jié)課是相似判定的小章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課,也是研究相似判定方法的起始課.它的核心作用有兩個:一是讓學(xué)生獲得這一章所要研究的對象的整體;二是讓學(xué)生初步構(gòu)建研究相似判定的方法.在本節(jié)課中,教者根據(jù)學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)研究了三角形全等的判定方法后,通過創(chuàng)設(shè)一系列學(xué)生熟悉的、感興趣的問題情境,引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲,從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突,誘發(fā)質(zhì)疑猜想,喚醒強烈的問題意識,啟發(fā)學(xué)生思維,讓學(xué)生類比猜想得出三角形相似的判定方法.整節(jié)課教學(xué),教者從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā),基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,把學(xué)生的思維作為課堂教學(xué)的起點,因勢利導(dǎo)進行教學(xué),無疑使學(xué)生能水到渠成的獲得了新的知識,這樣的教學(xué)既能使學(xué)生了解知識的源頭、發(fā)展和去向,又能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強的知識,讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)相似判定方法的價值和意義,為他們進一步學(xué)習(xí)指明了路徑,起到了很好的引領(lǐng)與示范作用.

3.2 基于對話交流,利用提問驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)的動機

根據(jù)觀察,以往的課堂教學(xué)中,大部分老師教學(xué)時不關(guān)心學(xué)生的思維障礙在哪里,課堂上只是按照自己的思路講課,無視學(xué)生的基礎(chǔ)和感受,這種教學(xué)助長了學(xué)生思維的被動性,長此以往,部分學(xué)生的思維就跟不上老師講課節(jié)奏,漸漸的就對數(shù)學(xué)課失去了興趣.Knud Illeris 教授認(rèn)為動機維度是學(xué)習(xí)中的一種重要和不可或缺的要素,它以動機、情緒、態(tài)度和意志模式出現(xiàn),至少與學(xué)習(xí)的內(nèi)容和結(jié)果同等重要.動機常常會是一個“認(rèn)知不協(xié)調(diào)”問題,即一個人經(jīng)歷的事物是與他的觀念相沖突的.而“認(rèn)知不協(xié)調(diào)”的問題常產(chǎn)生于問題驅(qū)動[1].本節(jié)課中,教師在學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”倡導(dǎo)思維風(fēng)暴,通過一系列問題,如“大家仿照探索全等的方法看看兩個三角形相似需要哪些條件?”“還有其他方法嗎”“有辦法解決這個問題嗎?”“如何理解它的合理性?”“我們探索了什么?如何探索?還能繼續(xù)探索什么?”等引發(fā)認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的動機,讓學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上合作交流,使學(xué)生自行解決“思維障礙”.整節(jié)課,幾乎沒有學(xué)生置身度外,而老師只是不斷適時提出問題,啟發(fā)學(xué)生思考,而且學(xué)生們獲得這些知識覺得很自然,沒有被動感,增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,并且老師不斷地對學(xué)生的回答給與肯定和表揚,讓孩子們學(xué)習(xí)的動機得以激發(fā)和持續(xù).

3.3 基于對話交流,利用提問驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)的動機

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一,是讓學(xué)生理解或掌握研究數(shù)學(xué)的方法,最終達到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的.通常,章節(jié)的小統(tǒng)領(lǐng)課的教學(xué),不適合對知識的具體細節(jié)做過多的追究,教學(xué)的目標(biāo)主要是讓學(xué)生了解本章的內(nèi)容框架,讓學(xué)生體會研究本章問題的基本思想方法.如本節(jié)課中要突出的是類比和轉(zhuǎn)化的基本思想.本案例中教師不斷通過問題引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑和反思,層層深入問題的本質(zhì),學(xué)生主動利用已有知識經(jīng)驗尋找解決問題的突破口,通過類比研究三角形全等的判定方法來探究三角形相似的判定方法,學(xué)生經(jīng)歷了觀察、歸納、類比、抽象、猜想、證明的過程,積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,體會了研究幾何問題的一般思路.從三角形全等到三角形相似的研究,是對類比這一數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透,證明兩個三角形相似轉(zhuǎn)化為前面的A 字形圖形證明突出了轉(zhuǎn)化思想是解決問題的重要策略.這些思想方法貫穿始終,潤物無聲地有效滲透,對學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、優(yōu)秀思維品質(zhì)的形成都將起到積極的推動作用,促使學(xué)生深度學(xué)習(xí),很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).