基于APOS理論的“完全平方公式”的教學設(shè)計*

廣東省廣州市第十六中學

POS理論是美國學者杜賓斯基等人提出的一種建構(gòu)主義的數(shù)學學習理論,APOS由“Action(操作)”“Process(程序)“Object(對象)”和“Schema(圖式)”四個英文單詞的首字母組合而成,它體現(xiàn)了建構(gòu)過程的四個重要的階段.數(shù)學公式的教學有兩種形式,例子到原理,原理到例子,前者是一種發(fā)現(xiàn)式學習,符合建構(gòu)主義學習理論.因此本文將嘗試把APOS理論運用到初中數(shù)學公式的教學上,通過《完全平方公式》這一課的教學設(shè)計來探究其對公式教學的理論指導意義和實踐性.

1 “操作(A)階段”

在學習新知識之前,教師基于學生已有的認知基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)問題情境,或者提出與當前認知相沖突的問題,燃起學生思考的火花,使得學生必須經(jīng)過具體的“操作活動”,如動手操作、猜想、回憶、計算、推理等,親自體驗,為公式(a+b)2=a2+2ab+b2的學習提供感性基礎(chǔ).

教學設(shè)計

國王要對兩個有功的騎士獎賞,擴大他們的封地.兩位騎士原來各有一塊邊長為a米的正方形領(lǐng)地,第一個騎士對國王說:“您可不可以再給我一塊邊長為b的正方形封地呢?”國王答應(yīng)了他.第二個騎士說:“我只要您把我原來的正方形領(lǐng)地邊長增加b米,變成一個更大的正方形就好了.”國王想不通,問:“你們的要求不是一樣的嗎?”同學們,你們覺得是嗎?

師生活動教師用課件展示問題情境.學生閱讀題目,思考問題,計算比較.

設(shè)計意圖教師把抽象枯燥的數(shù)學問題融入有趣的故事,吸引學生的注意力,思考如何運用數(shù)學知識來解決實際問題.

2 “程序(P)階段”

在“操作(A)階段”學生獲得了直觀感知,緊接著,就要對其進行組織和處理,經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、歸納和概括等過程,才能實現(xiàn)頓悟和知識的內(nèi)化,是感性認識逐漸上升到理性認識的階段.在這一階段,我們要設(shè)置由淺到深的問題,不斷的引導學生進行思考,完全平方公式的展開式究竟有幾項?每一項有什么特點?兩數(shù)和的完全平方公式和兩數(shù)差的完全平方公式有什么聯(lián)系和不同?它們各自的幾何意義是什么?

教學設(shè)計

活動一、教師引導學生用兩種方式研究問題的結(jié)果:

(1)列代數(shù)式計算比較大小:

(2)作圖比較大小.

從圖形中同時發(fā)現(xiàn)了完全平方公式:

師生活動學生思考解決問題,反思解題方法.教師引導學生回答問題,對回答的情況進行分析點評.教師引導學生關(guān)注代數(shù)式的幾何意義.

設(shè)計意圖教師從代數(shù)和幾何兩方面來解釋完全平方公式,抓住公式的本質(zhì)特征.

活動二、

師:同學們,通過剛才的學習,你知道怎么計算下面的式子嗎?

(1)(a-b)2;(2)(2x+3y)2;(3)(2x-3y)2

教師點評學生用兩種方式計算(a-b)2:

方式一:

方式二:

教師點評學生用不同方法計算(2x+3y)2和(2x-3y)2.

教師提問:這些題目計算的結(jié)果有什么共同點?(a+b)2和(a-b)2的結(jié)果有什么區(qū)別和聯(lián)系?

師生活動學生動筆解決問題,有的學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這些算式都是完全平方公式,但是有些學生還在用乘法法則進行計算.教師根據(jù)學生的做題情況進行點評.通過提問來引導學生總結(jié)出完全平方公式的特征,能夠用整體法套用公式進行計算,還能夠用幾何圖形解釋它們的意義.

設(shè)計意圖教師給出問題,讓學生在計算的過程中,探究其中的規(guī)律.教師用一系列的問題,引導學生歸納總結(jié)出完全平方公式,并說出它們的特征,區(qū)別.

3 “對象(O)階段”

學生通過前面的程序,在大腦中不斷進行描述和反思,抽象概括出公式所特有的本質(zhì)特征,對其賦予形式化的定義及內(nèi)涵,使其達到精確化,在頭腦中建立起直觀的知識結(jié)構(gòu)形象.是在理性認識的基礎(chǔ)上,達到全新認識的階段.在這一階段,我們可以不斷的改變公式里的字母和符號,使學生充分感悟到公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的可變性,公式對應(yīng)的幾何意義,同時還應(yīng)特別注意符號的正確處理.

教學設(shè)計

師生共同總結(jié)完全平方公式,并強調(diào)了公式的結(jié)構(gòu)特征.

教師順便引導學生能否類比(a+b)2,用圖形面積解釋(a-b)2和(2x+3y)2?

例題:運用剛剛學過的知識計算:

(1)(3p+5)2;(2)(2x-7y)2;(3)(-2a-5)2

學生做題,教師觀察學生答題情況,重點點評第(3)個小題,有如下三種算法:

原式=[(-2a)- 5]2=(-2a)2- 2(-2a)·5+52=4a2+20a+25;

原式=[(-2a)+(-5)]2=(-2a)2+2(-2a)(-5)+(-5)2=4a2+20a+25;

原式=[-(2a+5)]2=(2a+5)2=4a2+20a+25.教師請同學們比較思考,三種方式哪種最方便?

師生活動學生嘗試用完全平方公式計算結(jié)果.教師觀察學生的做題情況,發(fā)現(xiàn)不同的解題思路,展示典型的解答過程,進行點評.

設(shè)計意圖能夠用幾何圖形解釋完全平方公式的幾何意義.理解完全平方公式的字母可變,結(jié)構(gòu)不變性,讓學生通過練習題加以鞏固熟練.

練習1、計算:(1)(4a2-3b)2;(2)(-5x+y)2;(3)

2、運用完全平方公式計算:(1)992;(2)1022.

3、計算:(1)(x+y)2-(x-y)2;(2)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2.

師生活動學生在作業(yè)本上進行計算,與同學的不同解答過程進行對照反思,總結(jié)更好的計算方法.教師點評學生的解答過程,總結(jié)其中一些易錯點,符號的處理方式.

設(shè)計意圖挑選典型習題進行強化訓練,特別注意符號問題.

4 “圖式(S)階段”

教師提供反映新知識的特例、相關(guān)性質(zhì)等情境給學生探究,學生對其進行深入學習.對前面幾個階段的經(jīng)歷及大腦中原有相關(guān)認識的不斷的整合、精致,最終實現(xiàn)數(shù)學知識的建構(gòu),形成綜合的心理圖式.是理論應(yīng)用于實際的過程.在這一階段,我們可以采用題組變式訓練和綜合拓展練習,加深學生對公式內(nèi)部各個整體之間的關(guān)系和兩個完全平方公式之間各個整體的關(guān)系的理解和運用.同時還能把完全平方公式推廣運用到三項及以上的平方運算中,起到簡化運算的作用,真正實現(xiàn)公式的靈活運用.

教學設(shè)計

例題1:已知a+b=4,ab=3,求(a+b)2,(a-b)2;

變式:已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,求a2+b2和ab.

教師點評:(a-b)2,(a+b)2,a2+b2以及ab這些式子之間都有聯(lián)系,知道其中兩個就可以求另外一些式子.

例題2、你會計算(a+b+c)2嗎?

教師點評學生解答過程,可以有兩種做法,并引導學生哪種方法更簡便:

原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2;

原式=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

教師再提問:你能用幾何圖形表示它的意義嗎?

練習:計算:(1)(x+2y-3)2;(2)(2x+y-1)(2x+y+1)

師生活動學生嘗試運用完全平方公式進行計算.教師觀察學生觀察練習題中每一項的符號特點,選擇正確的公式進行運算.注意對學生的不同解題思路進行肯定.

設(shè)計意圖讓學生對完全平方公式有更深入的理解,能熟練的對公式進行靈活運用.

結(jié)論:公式教學不應(yīng)是簡單的告知學生公式的具體內(nèi)容,然后題海戰(zhàn)術(shù),直至學生能熟練的運用公式進行計算.而應(yīng)該讓學生感知公式的來源,領(lǐng)悟公式的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì),熟練掌握公式的正用逆用和靈動運用.完全平方公式這節(jié)課的教學設(shè)計,充分體現(xiàn)了學生在公式學習中,在“操作”中體驗、在“程序”中感悟、在“對象”中歸納、在“圖式”中升華,分層次逐步遞進,體現(xiàn)了完全平方公式學習的螺旋上升,由感性到理性,到理解公式的本質(zhì),直至公式的綜合運用.本節(jié)課能有效的提高了學生的抽象概括能力,準確運用公式的能力,數(shù)形結(jié)合的能力和問題解決的能力.因此,APOS理論對于本節(jié)公式課的教學的理論指導意義和實踐性都很有效果.