一類ka+b型幾何最值題的研討與拓展

廣東省廣州市廣州中學

1 問題提出

已知ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2=c2=25,試求2a+b的最大值.

2 解法研討

顯然,可以畫出一個圓O,如圖1,AB是⊙O的直徑,原題等價于求2BC+AC的最大值;下面先研究它的幾種解法.

解法一:設

圖2

解法二:如圖2,點F在半圓O上運動,m=2FB+AF,延長AF至點D,使得FD=2FB,連接BD,設∠ADB=∠α,由∠AFB=∠BFD=90°有再作

記⊙K的半徑為r,由于⊙K是一個定圓,AD是⊙K的動弦,∴當AD與直徑AE重合時,m=AD=AE,取到最大值,由勾股定理可得,最大.

解法三:設∠ABC=β,a=5 cosβ,b=5 sinβ

圖3

圖4

解法四:如圖3,以點B為坐標原點,點B與點O重合,直線BC為x軸建立直角坐標系,以O為圓心,,OA為半徑作圓,則OC=x=a,AC=y=b,有

以上四種解法,分別是從判別式、純幾何推導、三角函數(shù)、解析法幾方面思考得來的方法,本題還可以推廣求得ka+b的最大值.

3 變式與拓展

3.1 變式問題

變式題一已知ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2=c2=25,試求3a+b的最大值;

根據(jù)圓具有對稱性,a+2b、a+kb與2a+b、ka+b問題屬于等價變形問題,所以不予討論;顯然,與解法二類似,可以求得,最大;

變式題二已知ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2-ab=c2=25,試求2a+b的最大值;

分析與解:如圖5,點F在圓O上運動,m=2FB+AF,延長AF至點D,使得FD=2FB,連接BD,設∠ADB=α(下同),由∠AFB=60°,∠BFD=120°,記∠FBD=β(下同),則α+β=60°,又即sinβ=2 sinα,故α是一個定值.

圖5

圖6

再作ΔABD的外接圓⊙K,記⊙K的半徑為r,易證得m等于圓K中過點A的任意弦長,

∴m=2r最大,由

3.2 拓展推廣問題

推廣題1已知ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2=c2=25,試求ka+b的最大值(k為正整數(shù));顯然,當k=1時,是一個常態(tài)問題,不再贅敘.

當k＞2時,如圖6,當BC=kAC時,點C為所求的位置,此時,m取到最大值;再延長AC至點E,CE=CB,連接EB,作ΔEAB的外接圓⊙K,由∠ECB=∠BCA=90°,知ΔECB∽ΔBCA,可得,∠ABE=90°,AE為⊙K的直徑,延長AF交⊙K于點D,連接BD,易證ΔDFB∽ΔECB,DF=kFB,m=kFB+AF=DF+AF=AF,顯然,由直徑不小于弦,可得AE≥AD,m=AE時最大.

由AB=5,可得,當最大.

推廣題2已知ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2-2abcosC=c2,∠C=θ為銳角,c和θ為常數(shù),試求ka+b的最大值(k為正整數(shù)常數(shù));