立足數(shù)學(xué)課堂，培養(yǎng)抽象概括能力

晁普旗

[摘 ?要] 文章結(jié)合多個(gè)課例，分別對(duì)教師的良好示范、巧妙設(shè)問(wèn)、歸納類比以及引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)進(jìn)行分析，探討了抽象概括在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的作用，并提出了以“抽象概括”為切入點(diǎn)，落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)的思考.

[關(guān)鍵詞] 抽象概括能力;巧妙設(shè)問(wèn);歸納類比

抽象概括不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科本身最重要的思維形式，同時(shí)也是解決問(wèn)題中的一項(xiàng)關(guān)鍵性能力，因此抽象概括能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重任. 數(shù)學(xué)學(xué)科特征決定了抽象概括能力的重要意義，高中數(shù)學(xué)知識(shí)繁雜程度較初中更大，要學(xué)好數(shù)學(xué)除去不斷努力還需牢牢把握問(wèn)題特征，自覺(jué)排除一些非本質(zhì)因素的干擾，進(jìn)一步深入分析和綜合，從而有效突破問(wèn)題本身[1]. 新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了包含數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而定位了抽象概括對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性，那么高中學(xué)生的抽象概括現(xiàn)狀如何？如何才能與新課程標(biāo)準(zhǔn)相匹配？相較于初中生，高中生的抽象概括能力自然已經(jīng)提升到了一個(gè)新的高度，然尚處于緩慢發(fā)展的狀態(tài)，這就必然需要廣大數(shù)學(xué)教育者在平日的教學(xué)中關(guān)注到引導(dǎo)的有效性. 文章結(jié)合相關(guān)案例，通過(guò)多個(gè)片段進(jìn)行分析，為高中生抽象概括能力的培養(yǎng)提供一定的參考和建議.

抽象概括的起始點(diǎn)：教師的良好示范

學(xué)生習(xí)慣于以形象思維作為主導(dǎo)，具體的感知易促進(jìn)學(xué)生思維的深化. 因此，教師需從學(xué)生的這一思維特征著手，做好良好的抽象概括示范，讓學(xué)生在抽象概括時(shí)“有法可依”，借助他們鮮活的形象思維來(lái)逐步向抽象概括過(guò)渡，從而認(rèn)識(shí)到抽象概括是數(shù)學(xué)的“有利武器”，這是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的起始點(diǎn).

案例1：“直線與平面平行的判定”的教學(xué)片段.

師：在生活中，有哪些具體事例與直線與平面平行有關(guān)呢？

生1：墻邊豎立的路燈與墻面，陽(yáng)臺(tái)上的晾衣架與天花板，等等.

生2：還有門(mén)在打開(kāi)或關(guān)閉中離開(kāi)門(mén)框的任意位置，其邊緣線與門(mén)框的平面始終平行.

師：非常好！可以給大家演示一下嗎？

學(xué)生到教室門(mén)前進(jìn)行演示，接著教師再借助多媒體動(dòng)畫(huà)演示，使學(xué)生形成深刻的感知. 然后教師演示，請(qǐng)學(xué)生觀察教師與四周墻面的關(guān)系：第一種，教師直立于講臺(tái)前，學(xué)生很快觀察到“與四周墻面平行”的情形;第二種，教師向前傾斜或者向后傾斜，學(xué)生很快觀察到“此時(shí)與左右墻面依然平行”的情形;第三種，教師向左傾斜或向右傾斜，學(xué)生同樣觀察到“這時(shí)與前后墻面平行”的情形.

師：在以上演示的過(guò)程中，哪些因素導(dǎo)致了直線與平面位置關(guān)系的不同呢？

生：不知道（不熟悉概念）.

師：事實(shí)上，在感知直線與平面是否平行中，需要關(guān)注到以下三個(gè)因素：第一，平面外的一條線;第二，平面內(nèi)的一條直線;第三，它們是平行關(guān)系.

師：若平面外一直線a與平面α內(nèi)一直線b平行，直線a與平面α是否平行？

生：平行.

師：很好，那我們一起來(lái)歸納一下這一判定定理（多媒體演示直線和平面平行的判定定理）. 可以簡(jiǎn)單概括為：線線平行？圯線面平行，也可以用符號(hào)這樣表示：a？埭α，b？奐α，？圯a∥α.a∥b

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)概念有多種引入方式，教師從學(xué)生的心理特征出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境與操作情境來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“直線與平面平行”的求知?jiǎng)訖C(jī)，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)課“很有意思”，讓學(xué)生從具體材料中抽象出數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的相互關(guān)系，在教師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄⑹霰磉_(dá)中，利于學(xué)生新知的建構(gòu)，也使學(xué)生對(duì)這一判定定理“回味無(wú)窮”.

抽象概括的著力點(diǎn)：巧妙設(shè)問(wèn)

出色的提問(wèn)可以幫助學(xué)生理清概括的思路，培養(yǎng)勤于思考的習(xí)慣，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在思考中實(shí)現(xiàn)抽象素養(yǎng)的提升. 由此可見(jiàn)，巧妙設(shè)問(wèn)是提升學(xué)生抽象概括能力的著力點(diǎn)，通過(guò)提問(wèn)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，讓學(xué)生的思維得到鍛煉，并真正意義上使學(xué)生在實(shí)踐中將抽象概括內(nèi)化為能力[2].

案例2：求函數(shù)y=+（0

師：高中數(shù)學(xué)中有幾類重點(diǎn)題型，而以上這道求函數(shù)最值問(wèn)題則是高中的熱點(diǎn)問(wèn)題. 大家一起來(lái)思考這道題的求解方法.

生1：據(jù)題意，可得與均為正數(shù)，這里可以直接利用均值不等式求解，則有y=+≥2=2，所以該函數(shù)最小值為2.

生2：不對(duì)，生1的解法存在問(wèn)題，這里要取到最小值則需要=，則sinx=2，顯然這里是不可能的，所以等號(hào)不成立.

師：很好，生2的解說(shuō)很正確. 在利用均值不等式求最值時(shí)驗(yàn)證等號(hào)是否成立是不可遺忘的步驟，那么顯然這種解法不可取，這道題該如何求解呢？

生3：我認(rèn)為可以借助換元法，令t=sinx∈（0，1），原函數(shù)可變?yōu)閒（t）=+，易得函數(shù)f（t）在t∈（0，1）上為減函數(shù)，則y的最小值為f（1）=.

生4：對(duì)的，我也是這樣求解的.

師：這種方法求解是正確的，不過(guò)此處f（t）=+的單調(diào)性求證過(guò)程需補(bǔ)上，不可忽視.

生5：我認(rèn)為這種解法對(duì)是對(duì)，就是太麻煩了，是不是有其他方法呢？

師：的確煩瑣了一點(diǎn)，有更簡(jiǎn)捷的求解方法嗎？

生6：可以將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=++，據(jù)x∈（0，π），可得0

師：非常精彩的解法……

設(shè)計(jì)意圖：本題是均值不等式學(xué)完后，教師針對(duì)學(xué)生易忽略檢驗(yàn)而頻繁出錯(cuò)所選用的習(xí)題. 要真正在課堂上落實(shí)能力的培養(yǎng)，應(yīng)該先從不斷設(shè)問(wèn)開(kāi)始. 巧妙設(shè)問(wèn)的功能是引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，這樣學(xué)生就在具體易錯(cuò)的情節(jié)中深化對(duì)其的理解與應(yīng)用，而這樣生成的數(shù)學(xué)抽象才是最深刻的.

抽象概括的助推點(diǎn)：歸納類比

不少定理、公式及其證明都離不開(kāi)歸納類比，教師只有不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行滲透，才能使學(xué)生逐步感知并運(yùn)用好這一方法培養(yǎng)抽象概括能力. 因此，歸納類比的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的典型素材.