借助數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的課堂實(shí)踐策略研究

郭婭娟 王茜 周揚(yáng)

摘 ?要：數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科形成與發(fā)展的基礎(chǔ)，不僅是溝通現(xiàn)實(shí)的橋梁，也是公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)之一。文章重點(diǎn)探討在小學(xué)階段，借助數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，在日常課堂教學(xué)實(shí)踐中感受數(shù)學(xué)抽象，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;小學(xué)數(shù)學(xué);概念;課堂實(shí)踐;培養(yǎng)策略

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)2011》）中給出了10個(gè)數(shù)學(xué)課程核心概念，與數(shù)學(xué)抽象密切相關(guān)的涵蓋了：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、運(yùn)算能力、模型思想和應(yīng)用意識(shí)。當(dāng)前我國數(shù)學(xué)抽象研究較為單一，將數(shù)學(xué)抽象與素養(yǎng)培養(yǎng)的結(jié)合研究甚少，因此對(duì)一線的數(shù)學(xué)教師而言，尤其在實(shí)踐領(lǐng)域具有很大的研究空間。

一、對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”及培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的理解

“數(shù)學(xué)抽象”在《數(shù)學(xué)辭?！さ诹怼分薪缍閿?shù)學(xué)哲學(xué)的基本概念，定義為“抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程”。

“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的明確是在教育部《普通高中課程方案（2017版）數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，作為6個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一位出現(xiàn)。其給出的定義是：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)?！?/p>

培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”在小學(xué)階段，就要借助課堂教學(xué)這一固定時(shí)間，利用教材中充分呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象意識(shí)的培養(yǎng)，從而真正內(nèi)化形成素養(yǎng)。

這三者之間既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)內(nèi)容與理論支撐，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)會(huì)助推數(shù)學(xué)抽象的未來發(fā)展。

二、培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的教育價(jià)值

（一）有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有助于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知思維的發(fā)展，更指向教育的本質(zhì)“育人”的目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念抽象的過程，通過創(chuàng)設(shè)的情景化活動(dòng)、直觀的手段，借助生活經(jīng)驗(yàn)，有根據(jù)有條理地思考，以及對(duì)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)整理，都將會(huì)對(duì)概念有更加本質(zhì)的理解及掌握。認(rèn)知思維作為學(xué)生能判斷會(huì)選擇，能理解會(huì)反思，能總結(jié)會(huì)歸納的學(xué)習(xí)方式，為未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，為其可持續(xù)發(fā)展提供了前提條件。

（二）為學(xué)生更好適應(yīng)未來生活提供支撐

布魯納認(rèn)為“任何學(xué)習(xí)行為的首要目的，在于它將能為我們服務(wù)，學(xué)習(xí)不但應(yīng)該把我們帶往某處，而且還應(yīng)該讓我們?nèi)蘸笤倮^續(xù)前進(jìn)時(shí)更為容易?！泵鎸?duì)未來社會(huì)呈現(xiàn)出高度的信息化和數(shù)字化，背后一定是具有高級(jí)的數(shù)學(xué)抽象算法做支撐。那么面對(duì)未來生活，紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)場景、數(shù)以萬計(jì)的大數(shù)據(jù)信息，就更需要學(xué)生擁有良好知識(shí)的更新能力和創(chuàng)新能力，要更擅長概括、提煉現(xiàn)實(shí)中的問題，抽象地去多方面開辟自己思考問題的角度，并且從已知因素中發(fā)現(xiàn)新的線索，借助數(shù)學(xué)將事物的發(fā)展抽象化，提升預(yù)測的精確度，適應(yīng)世界的發(fā)展變化。

（三）深入研究能加速教師的專業(yè)化成長

教學(xué)研究作為教師專業(yè)化成長的重要手段，通過課堂實(shí)踐，有意識(shí)地去挖掘培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的教學(xué)典型案例，主動(dòng)探索背后的教學(xué)規(guī)律，研磨課堂組織形式以及實(shí)踐的效果，再用研究出的具體化、可操作化的方式用于指導(dǎo)新的教學(xué)實(shí)踐。如此循環(huán)往復(fù)，對(duì)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”培養(yǎng)的課堂實(shí)踐研究，也是提升教師自身“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的水平的過程，也會(huì)促進(jìn)教師自身專業(yè)化水平發(fā)展。

三、借助數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的課堂實(shí)踐策略

數(shù)學(xué)概念作為反映數(shù)量之間關(guān)系以及空間形式的特定數(shù)學(xué)思維形式，與數(shù)學(xué)抽象思維過程密不可分，形成數(shù)學(xué)概念的過程就是完整經(jīng)歷“數(shù)學(xué)抽象”的過程。在小學(xué)階段，大量用“不完全歸納”得出的概念定義，就更充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)高度“抽象”性，借助課堂上對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，通過對(duì)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)、理解和應(yīng)用，在頭腦中形成數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓其思維從形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就水到渠成。

（一）重現(xiàn)概念形成的感知，借助“數(shù)學(xué)抽象”建立對(duì)應(yīng)表象

數(shù)學(xué)概念在小學(xué)教科書中的呈現(xiàn)，雖然經(jīng)過編者的處理變得較為形象直觀，但是本身的抽象性，還是需要我們用情景化的活動(dòng)過程，在概念形成的過程中，借助反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的圖片、教具的呈現(xiàn)、學(xué)具的操作，為學(xué)生提供豐富典型的感性材料，在頭腦中建立所學(xué)知識(shí)的表象，賦予數(shù)學(xué)概念充分的現(xiàn)實(shí)意義。

例如《方程的意義》是小學(xué)生認(rèn)知過程中的重大飛躍，是完整概念教學(xué)的體現(xiàn);是在學(xué)生掌握用字母表示數(shù)、表示數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，借助天平這一學(xué)具，充分利用具體問題情境和直觀形象的感知活動(dòng)逐步建立起等式和方程的概念，在大量感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上概括方程的本質(zhì)屬性，將認(rèn)知引向更加抽象概括的水平。再如面對(duì)A-B-C=A-（B+C）減法性質(zhì)的理解，將運(yùn)算順序還原到現(xiàn)實(shí)生活，賦予“王老師有A元，購買漢堡用去B元，買冰激凌用去C元”的購物場景，聯(lián)系學(xué)生付錢的生活經(jīng)驗(yàn)就不難理解了，更為重要的是幫助學(xué)生理解了運(yùn)算順序規(guī)定的合理性和必要性。

做好概念形成的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在體驗(yàn)中不斷獲得抽象概念的現(xiàn)實(shí)表象，降低數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的“門檻”，減少理解的困難，也要注意處理好關(guān)系，避免始終停留在表象的狀態(tài)。

（二）加深概念同化的理解，對(duì)“原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)”再次“抽象”

數(shù)學(xué)概念作為構(gòu)建嚴(yán)密邏輯聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的基本元素，其前后之間的聯(lián)系是密切的，就如“數(shù)”概念的認(rèn)識(shí)，就是按照分類、分段有序展開的。

學(xué)生對(duì)整數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，是從“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)—100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)—10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)—大數(shù)的認(rèn)識(shí)”不斷螺旋上升的，循序漸進(jìn)地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。每一個(gè)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)都要充分借助原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提供學(xué)生用眼觀察、用腦思考、用口表達(dá)、用手操作的機(jī)會(huì)，不斷經(jīng)歷從單根、整十、整百和整千的數(shù)數(shù)，用計(jì)數(shù)器上不同數(shù)位的珠子代替，加深學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位“一”“十”“百”的理解，建立清晰的數(shù)概念，讓學(xué)生獲得系統(tǒng)化的數(shù)概念知識(shí)。

同時(shí)，借助概念的“同化”，還可對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再次抽象。例如在認(rèn)識(shí)“負(fù)數(shù)”過程中，對(duì)這一類生活中雖然見到過，但是無法找到同負(fù)數(shù)相關(guān)聯(lián)的舊知識(shí)，就要適當(dāng)在教學(xué)中，拋出“負(fù)數(shù)是真的存在數(shù)嗎？它是如何產(chǎn)生的？”引發(fā)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，不僅生動(dòng)又具有吸引力，完善“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”大大提高課堂教學(xué)效率，再順應(yīng)成為新的理解，充實(shí)和完善已有的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

（三）辨析概念的本質(zhì)屬性，“感性經(jīng)驗(yàn)”上升到“理性認(rèn)識(shí)”

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，比是非常重要的概念，是學(xué)生針對(duì)原本已經(jīng)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)量），再深入地研究它們之間的關(guān)系（即數(shù)量與數(shù)量關(guān)系），其研究屬于符號(hào)層面的數(shù)學(xué)抽象，具有較高的研究價(jià)值。

建立“比”的概念時(shí)，不能簡單地把“比”當(dāng)作“兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比”去學(xué)習(xí)，而應(yīng)當(dāng)將其與“除”的概念進(jìn)行比較，要區(qū)分出為什么在“除法”“分?jǐn)?shù)”之外，還要出現(xiàn)“比”。這一個(gè)借助從“倍數(shù)關(guān)系—變化中的不變關(guān)系—用比來代表新的量”不斷辨析概念的本質(zhì)屬性的過程，就是逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程，讓學(xué)生從“感性經(jīng)驗(yàn)”上升到“理性認(rèn)識(shí)”，闡明了“不同類量的比例關(guān)系是變量之間的一種函數(shù)關(guān)系”，最終達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的目的。

（四）不同層面概念的推廣，“形象直觀”與“抽象概況”結(jié)合

在課堂實(shí)踐中，概念的理解要注意避免通過單一情景就直接得出結(jié)論，也要避免不考慮具體情景，就直接進(jìn)行形式化的概括。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考、多方面探索，感受由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，由相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過程，常常在概念梳理完畢后的緊跟環(huán)節(jié)“辨析”，通過列舉出不同的正例和反例來判定，深化概念的理解，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)。

例如在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和是180°”之后，除了給出三個(gè)角的度數(shù)，判斷是否組成三角形外，還讓學(xué)生解決類似問題“如果一個(gè)三角形最小的內(nèi)角是46°，那么按角分類，它是什么三角形？”這一個(gè)復(fù)雜的問題情景，也可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象概念的真正理解，運(yùn)用得出結(jié)論。

四、小結(jié)

總之，教師在幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象的同時(shí)，讓學(xué)生能從數(shù)學(xué)抽象的角度感受自身素養(yǎng)的提升，從數(shù)學(xué)抽象思維中體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義與重要性，從而使數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)得到完善。