化歸思想下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)

張漢清

(山西省財政稅務(wù)?？茖W(xué)校,山西 太原 030024)

數(shù)學(xué)以其高度的抽象性和應(yīng)用的廣泛性而獨立于其他自然科學(xué),與一般的科學(xué)家相比,數(shù)學(xué)家在思維方法上是否有其獨特的地方呢?一個可能的回答是:數(shù)學(xué)家特別善于使用化歸的方法來思考問題和解決問題。也就是說,在思考和解決問題時,數(shù)學(xué)家往往不是對問題進(jìn)行直接的攻擊,而是對其進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化,直到最終把它化歸成某個已經(jīng)解決的問題。匈牙利著名女?dāng)?shù)學(xué)家路莎·彼得(Rozsa Peter)在其名著《無窮的玩藝》中曾對化歸做過風(fēng)趣的描述:“從陳舊的實用觀點來看,以下的一個比擬也許是十分可笑的,但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的:‘現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在您面前,當(dāng)您要燒水時,應(yīng)當(dāng)怎樣去做呢?’‘往水壺里注滿水,點燃煤氣,然后把水壺放到煤氣灶上?！鷮栴}的回答是正確的,現(xiàn)把所說的問題稍作修改,即假設(shè)水壺中已經(jīng)盛滿了水,其他情況都不變,試問,此時您應(yīng)當(dāng)怎樣去做?’被問者一定會大聲而頗有把握地回答‘點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。’他確信這樣的回答是正確的。但是更完善的回答應(yīng)該是:‘只有物理學(xué)家才會按照剛才所說的辦法去做,而數(shù)學(xué)家們卻會回答:只須把水壺中的水倒掉,問題就化歸為前面所說的問題了?！?這個例子非常生動地說明了化歸的本質(zhì)和精髓,而且一針見血地指出數(shù)學(xué)家和其他科學(xué)家的思維的不同之處。

一、化歸的客觀背景

化歸之所以成為數(shù)學(xué)的基本思想方法之一,有其理論上的客觀背景。

眾所周知,數(shù)學(xué)是一門演繹推理的學(xué)科,于是在同一個數(shù)學(xué)分支內(nèi)部,或建立在同一個理論基礎(chǔ)上的幾個數(shù)學(xué)分支內(nèi)部,就存在如下的事實:任何一個正確的結(jié)論都可按照需要與可能成為推斷其他結(jié)論的依據(jù)。這表明在任何一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的展開中,都有形或無形地存在如下的結(jié)論鏈，見圖1。

圖1 數(shù)學(xué)推理框圖

當(dāng)然圖1的表達(dá)形式只是一個大致的圖示,不是完整而全面的,事實上,一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的“結(jié)論集”往往是一個樹形的偏序集,而并非直線型的全序集;此外圖中的“→”往往還是可逆的。

結(jié)論鏈的存在勢必大大加快演繹推理的步伐。因此我們大可不必事事都去回到原始概念與推理工具,只需把待解決的問題轉(zhuǎn)化為結(jié)論鏈中的某一環(huán)節(jié)就可以了。這就是化歸方法在理論上的客觀背景以及化歸之所以能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域大行其道的根本原因。

二、化歸的方向——由未知到已知,由難到易,由繁到簡

用化歸法解決問題時,一個必要的條件是:和原來的問題相比,化歸后所得的新問題必須是已經(jīng)解決了的,或者是較為容易、較為簡單的。這也就是說,化歸的方向應(yīng)是:由未知到已知,由難到易,由繁到簡。這種化歸在高等數(shù)學(xué)中貫穿始終,是微積分知識展開過程的主旋律。

從宏觀來看,導(dǎo)數(shù)從其定義可知是一種特殊的極限,因此導(dǎo)數(shù)可歸結(jié)為極限;定積分的計算通過牛頓—萊布尼茲公式歸結(jié)為不定積分;微分方程也可化歸為不定積分;重積分、曲線積分和曲面積分又都可化歸為定積分來計算。

從微觀來看,我們在進(jìn)行復(fù)雜的極限、導(dǎo)數(shù)和積分的計算時,往往要通過恒等變形或借助有關(guān)的定理或法則,直到把待解決的問題轉(zhuǎn)化為若干個已知的基本的極限、導(dǎo)數(shù)和積分的公式為止,即可求得原問題的解決。

例1 由于以下五種特殊類型的有理函數(shù)的積分問題已經(jīng)得到了解決:

anxn+a1xn-1+…an-1x+an;

(其中n是正整數(shù),a,b,c,…是任意實數(shù))

而一般有理函數(shù)利用待定系數(shù)法可表示成這五種函數(shù)的線性組合(即分解成所謂的“部分分式”),因此有理函數(shù)的積分問題就可以得到解決了。

例2 對常數(shù)和三角函數(shù)只施行四則運算,所得出的式子稱為三角函數(shù)的有理式。利用“萬能公式”:

可以把任一三角函數(shù)的有理式化為u的有理函數(shù),由于有理函數(shù)的積分問題已經(jīng)解決,因此三角函數(shù)的有理式的積分問題也就徹底解決了。

例3 常系數(shù)線性微分方程(y(n)+p1y(n-1)+…+pny=0)可通過相應(yīng)的代數(shù)方程——特征方程(λn+p1λn-1+…+pn=0)來求解。如圖2所示。

圖2 常系數(shù)線性微分方程求解框圖

三、化歸的方法——求變,映射,構(gòu)造

雖然化歸的大方向是確定的,但就化歸法的具體運用而言,關(guān)鍵的問題顯然在于如何實現(xiàn)化歸,數(shù)學(xué)中用以實現(xiàn)化歸的方法很多,這里僅對高等數(shù)學(xué)中常用的幾種方法加以介紹。

(一)求變

在高等數(shù)學(xué)的計算中經(jīng)常利用簡單的解析式恒等變形,前述一般有理函數(shù)以及三角函數(shù)的有理式的積分,主要是利用了解析式的恒等變形;而更一般的積分問題要利用換元積分和分部積分法,亦即利用這兩個積分法對積分進(jìn)行恒等變形,以達(dá)到化難為易、化繁為簡、化未知為已知的目的,我們把這種方法稱為“變形法”。

上述求解過程,首先解一個與原方程相關(guān)的特殊而簡單的方程——齊次方程,得出其通解后,把其通解中的常數(shù)C“變易”為函數(shù)C(x),從而求得了原方程的通解。通過“求變”,實現(xiàn)了由一般到特殊,由未知到已知的化歸。

(二)映射

映射法是用以實現(xiàn)化歸的一種重要方法。簡單地說,映射就是指在兩類數(shù)學(xué)對象或兩個數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對應(yīng)關(guān)系”。利用映射法解決問題的過程是:首先通過映射f將原來的問題A轉(zhuǎn)化為問題A′;然后在求得了問題A′的解x′以后,又通過反演φ求得原問題A的解x。如圖3所示。

圖3 映射法框圖

例5 映射法在微積分中典型的應(yīng)用是不定積分的“換元積分法”。運用第一換元積分法的步驟為:

其中，第二步和第四步分別是映射和反演。

運用第二換元積分法的步驟為:

F(t)+C回代：t=φ-1(x)F[φ-1(x)]+C

其中,第一步和第三步分別是映射和反演。

“換元積分法”的核心思想是通過換元(映射)把未知的或復(fù)雜的積分問題化歸為已知的或簡單的積分問題,再通過回代(反演)求得原問題的解。

例6 已知:eba。

直接證明這個不等式是很困難的,可采用映射法進(jìn)行化歸。

可知f(x)在(e,+∞)為減函數(shù)。再反演回去:

(三)構(gòu)造

“構(gòu)造”是實現(xiàn)化歸的又一種重要方法。數(shù)學(xué)中所謂的“構(gòu)造”是指利用問題的特殊性給所解決的問題設(shè)計一個“框架”。這里的“框架”含義甚為廣泛,它可以是一個圖形,一個方程,一個函數(shù),也可以是一個與原命題相關(guān)的命題。其中構(gòu)造函數(shù)在微積分中的運用非常普遍,在例5我們已經(jīng)介紹了,再舉數(shù)例進(jìn)行說明。

例7 在微積分中有三個著名的中值定理,分別為:

羅爾定理。如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在[a,b]內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f′(ξ)=0。

拉格朗日定理。如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。

柯西定理。如果函數(shù)f(x)與g(x)均在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)g′(x)≠0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

例8 拉格朗日定理又有兩個重要的推論:

推論1 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點的導(dǎo)數(shù)f′(x)都等于零,則在(a,b)內(nèi)f(x)是一個常數(shù)。

推論2 如果函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等,即f′(x)=g′(x),則f(x)與g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只相差一個常數(shù),即f(x)=g(x)+c。

推論1 可化歸為拉格朗日定理得到證明;對于推論2,只需構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)即可化歸為推論1得到證明。

例9 設(shè)a,b,c為任意實數(shù),證明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在0與1之間至少有一個實根。

由于參數(shù)a,b,c沒有任何特性,所以試圖利用介值定理給出證明的嘗試將會陷入困境,而關(guān)于方程根的存在的定理還可以借助羅爾定理,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x。

由于f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f′(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c)由羅爾定理可知存在點x0∈(0,1),使f′(x0)=0,此x0即為4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在0與1之間的實根。

四、化歸思路的產(chǎn)生——觀察,類比,聯(lián)想

我們知道,無論是一個成熟的數(shù)學(xué)分支還是一個已經(jīng)獲解的數(shù)學(xué)問題,都是通過演繹展開的。但無論是考察某一數(shù)學(xué)分支的展開過程或者是分析一個問題求解的過程,不難發(fā)現(xiàn),演繹推理不過是人們在抓到真理之后,再補(bǔ)行的論證手續(xù),因而演繹推理并不是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的重要手段。對于尋找真理、發(fā)現(xiàn)真理和探索求解方案而言,更重要的是實驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想等方法。

在我們運用化歸方法求解問題的過程中,觀察、類比和聯(lián)想同樣起著非常重要的作用,它們從各個方面幫助我們確定化歸方向,或啟發(fā)證明或求解方法,找到正確的求解思路。如在例9中,首先通過觀察所給方程的特點,聯(lián)想到4x3,3x2,2x,a+b+c分別是x4,x3,x2,(a+b+c)x的導(dǎo)數(shù),并聯(lián)想羅爾定理,因而構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x,對其在[0,1]上應(yīng)用羅爾定理,從而成功實現(xiàn)了化歸。

通過以上分析不難看出，觀察、類比、聯(lián)想是化歸思路產(chǎn)生的重要思維過程,由精細(xì)的觀察產(chǎn)生豐富而有效的類比和聯(lián)想,從而發(fā)現(xiàn)化歸的方向和實現(xiàn)途徑。但是類比和聯(lián)想都屬于“合情推理”的范疇,其可靠性和有效性,必須經(jīng)過嚴(yán)格的檢驗。如上述分析中,雖然我們猜出了非齊次方程的形式,但只有真正求出C(x),才可以檢驗我們猜想的正確性,如果C(x)無法求出或根本就不存在,那么我們的猜想和整個思路也就失敗了。