數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)：過(guò)程從“生動(dòng)”走向“深刻”

丁洪

[摘要]小學(xué)生的學(xué)習(xí)需要橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化水平結(jié)伴而行、因需側(cè)重和辨證統(tǒng)一，數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題本質(zhì)有根、智慧路徑有鏈、模型結(jié)構(gòu)有美和數(shù)學(xué)思想有魂的“再創(chuàng)造”過(guò)程，驅(qū)動(dòng)學(xué)生“像專家一樣思考”，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí);問(wèn)題本質(zhì);過(guò)程經(jīng)歷;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）14-0011-03

所謂“數(shù)學(xué)化”，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是數(shù)學(xué)地組織世界的過(guò)程。通常情況下，“數(shù)學(xué)化”分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種水平。其中，橫向數(shù)學(xué)化水平具有經(jīng)驗(yàn)特性，是生活到數(shù)學(xué)的抽象建模，“生活味”要濃一些;縱向數(shù)學(xué)化水平具有演繹特性，是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的螺旋建構(gòu)，“數(shù)學(xué)味”要濃一些。小學(xué)生的學(xué)習(xí)需要兩種數(shù)學(xué)化水平結(jié)伴而行、因需側(cè)重和辯證統(tǒng)一，通過(guò)演繹知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，驅(qū)動(dòng)學(xué)生“像專家一樣思考”，使學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)從“生動(dòng)”走向“深刻”。接下來(lái)，筆者以“用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)為例，加以詳細(xì)闡明。

一、緊扣“問(wèn)題本質(zhì)”，凸顯過(guò)程的“根”

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。教學(xué)需要剖析、確認(rèn)和聚焦問(wèn)題的本質(zhì)?，F(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)理應(yīng)圍繞知識(shí)本質(zhì)依次展開(kāi)、有序調(diào)控和實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

教師一般認(rèn)為，“數(shù)對(duì)”是確定位置的本質(zhì)，教學(xué)以建構(gòu)“數(shù)對(duì)”這種數(shù)學(xué)形式為目標(biāo)，所有的問(wèn)題設(shè)置和交流重點(diǎn)，都指向“數(shù)對(duì)”本身。這種僅從課題名稱“是什么”來(lái)判定知識(shí)本質(zhì)的做法是膚淺的，未能觸及確定位置的本質(zhì)，容易造成“形式大于內(nèi)容”的本末倒置，教學(xué)看似熱鬧，實(shí)則低效。既然“數(shù)對(duì)”的形式不是知識(shí)的本質(zhì)，那么，這堂課的本質(zhì)究竟是什么？從知識(shí)所屬的板塊來(lái)看，本課屬于“圖形與幾何”板塊中的“運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置”，滲透的是“直角坐標(biāo)系”的數(shù)學(xué)模型。在這種坐標(biāo)系中，物體（點(diǎn)）的位置由一對(duì)數(shù)確定，一對(duì)數(shù)也唯一確定一個(gè)物體（點(diǎn)）?；谶@樣的考量，“用數(shù)對(duì)確定位置”的本質(zhì)就是建立“一對(duì)數(shù)”與“一個(gè)點(diǎn)”在平面上的一一對(duì)應(yīng)，以此驅(qū)動(dòng)學(xué)生體驗(yàn)“距離+距離”組合的優(yōu)越性和存在的必要性。

如此看來(lái)，數(shù)對(duì)的形式固然重要，但是數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不在數(shù)對(duì)本身，而在于建構(gòu)用數(shù)對(duì)確定位置的內(nèi)部要素和結(jié)構(gòu)編排，即描述位置的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性，至于簡(jiǎn)潔性是所有數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的價(jià)值取向，是數(shù)學(xué)建構(gòu)的外在特征，而非數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容。另外，從知識(shí)的生長(zhǎng)角度看，學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的過(guò)程與笛卡兒“如何實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)”的追求一脈相承。具體到教學(xué)實(shí)踐，就需要將建立直角坐標(biāo)系的“x軸”和“y軸”，巧妙轉(zhuǎn)化為數(shù)對(duì)中的“列”和“行”，融合一維到二維的確定、多元到統(tǒng)一的表征、內(nèi)在到外在的建構(gòu)等。這樣的教學(xué)，才是抓住了問(wèn)題本質(zhì)，才會(huì)目標(biāo)明確。

二、規(guī)劃“智慧路徑”，構(gòu)建過(guò)程的“鏈”

引導(dǎo)學(xué)生緊扣問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)，還需要在“根”的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律、知識(shí)水平和切實(shí)可行的“問(wèn)題鏈”。應(yīng)該說(shuō)，教學(xué)能規(guī)劃智慧路徑，是學(xué)生有序?qū)W習(xí)的保證。

以蘇教版教材為例，先后出現(xiàn)兩種實(shí)踐版本：

案例A：1.座位引人。學(xué)生嘗試描述小軍的位置，但是說(shuō)法各有不同，產(chǎn)生統(tǒng)一表征的內(nèi)驅(qū)。2.介紹規(guī)則。運(yùn)用第幾列第幾行具體描述小軍的位置，但是形式煩瑣，產(chǎn)生簡(jiǎn)潔表征的內(nèi)驅(qū)力。3.激發(fā)創(chuàng)造。出現(xiàn)“4↑3↓”“4.3”“4，3”等方式，比較簡(jiǎn)化方式中的異同，感知“（4，3）”模型建構(gòu)的合理。4.運(yùn)用內(nèi)化。即時(shí)練習(xí)鞏固方法，聯(lián)系生活實(shí)際體驗(yàn)二維平面內(nèi)確定位置的特點(diǎn)，即“鎖定兩個(gè)關(guān)鍵信息，約定先后表達(dá)順序”。這里有兩條“問(wèn)題鏈”：一條是“怎么辦才統(tǒng)一？”“怎么辦才簡(jiǎn)潔？”“怎么辦才通透？”，屬于外顯的操作路徑;另一條是都在平面內(nèi)發(fā)生的“模糊確定”“精準(zhǔn)確定”“透視生活”，屬于內(nèi)在的思維路徑。

案例B：1.用“一個(gè)數(shù)”描述位置。學(xué)生先用‘‘在上面”“在中間”“在左邊”等描述區(qū)域內(nèi)小蜘蛛的大致位置，當(dāng)一條“數(shù)射線”出現(xiàn)在底邊后，逐步量化底邊上小蜘蛛的位置，再將小蜘蛛向正上方平移幾個(gè)單位，由“都在4的正上方”，使學(xué)生產(chǎn)生具體表達(dá)的內(nèi)驅(qū)力。2.用“兩個(gè)數(shù)”描述位置。給出另一條“數(shù)射線”，描述“在4的正上方”所有點(diǎn)的位置的同時(shí)，概括出形如“4的正上方1厘米處”的方式，并將之遷移到其他數(shù)的正上方，建構(gòu)出坐標(biāo)系中的“列”;把列中的相同刻度連起來(lái)，追問(wèn)“橫向的線”的作用，建構(gòu)出坐標(biāo)系中的“行”，形成直角坐標(biāo)系的雛形;借助縱橫交叉方式的演繹，凸顯“數(shù)對(duì)”的精準(zhǔn)定位。3.簡(jiǎn)潔表達(dá)的創(chuàng)造。出示“橫4高1”“4-1”“4，1”等方式，引導(dǎo)比較異同，抽象概括出“（4，1）”的數(shù)對(duì)模型，再介紹笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系的故事，呈現(xiàn)知識(shí)生長(zhǎng)的內(nèi)在一致性。4.用“三個(gè)數(shù)”描述位置。巧妙借助魔方，在三個(gè)維度標(biāo)上“數(shù)射線”，通過(guò)追問(wèn)：“還能用一對(duì)數(shù)確定位置嗎？”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維螺旋上升。這里，外顯的操作路徑是“都在4的正上方，表達(dá)不清楚？”“句子描述比較煩瑣，形式不簡(jiǎn)潔？”和“再用一對(duì)數(shù)描述位置，確定有困難？”，而內(nèi)在的思維路徑是“一維的精準(zhǔn)確定”“二維的模糊確定到精準(zhǔn)確定”和“三維的方法滲透”。

顯然，方案A是具體生活情境服務(wù)數(shù)學(xué)建構(gòu)，并將建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用于生活情境，在不同中感知相同的結(jié)構(gòu)特征，整體側(cè)重橫向數(shù)學(xué)化，以建模、變模和融模為主。方案B中，知識(shí)的生長(zhǎng)痕跡明顯，學(xué)生經(jīng)歷了維度遞加、認(rèn)知梯度和體驗(yàn)遞進(jìn)，雖然也有情境的輔助和調(diào)和，但是整體側(cè)重縱向數(shù)學(xué)化。換句話說(shuō)，兩者的智慧路徑不盡相同，生動(dòng)的過(guò)程和深刻的指向各有側(cè)重，但是數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的意識(shí)明確、路徑明朗和效果明顯。

三、貫通“模型結(jié)構(gòu)”。融合過(guò)程的“美”

費(fèi)孝通老先生指出：“各美其美，美人之美，美美與共，天下大同?！逼鋵?shí)，在數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)中也有很好的解構(gòu)：不同的教學(xué)都是一種美的存在，外在智慧路徑可以美得不一樣，但是內(nèi)在的問(wèn)題本質(zhì)卻相同，并且教學(xué)相長(zhǎng)的目標(biāo)一致。

1.內(nèi)容與形式的辯證統(tǒng)一

數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)需要把握知識(shí)的內(nèi)容和形式。內(nèi)容是事物的內(nèi)在諸多要素的總和。本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是指用“第幾列”和“第幾行”這一對(duì)特殊的數(shù)，縱橫交錯(cuò)、有序組合，共同作用唯一確定平面內(nèi)的“一個(gè)點(diǎn)”，體現(xiàn)的是二維空間位置建構(gòu)的一般特征。在實(shí)際教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)的情境可以不同，過(guò)程經(jīng)歷可以有差異，但是教學(xué)所有行為都必須指向本質(zhì)內(nèi)容。這是教學(xué)的底線，也是數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的本色。形式是事物的要素結(jié)構(gòu)和組織方式。本課的建構(gòu)形式是指（4，3）的數(shù)對(duì)模型，有列有行、先列后行，是在“教室內(nèi)座位的位置”特殊情境下的抽象建構(gòu)，遵循內(nèi)容決定形式、形式依賴于內(nèi)容的一般規(guī)律。如果回歸生活，情境相對(duì)開(kāi)放，雖然平面內(nèi)確定物體位置的內(nèi)在本質(zhì)相同，但是呈現(xiàn)的外在形式就變得豐富多彩，如國(guó)際象棋棋盤(pán)（g2）、車位號(hào)（A-001）、火車座位號(hào)（04A號(hào)）、飛機(jī)座位號(hào)（30F）等。進(jìn)一步說(shuō)，知識(shí)形式的出現(xiàn)包含創(chuàng)造的偶然性、知識(shí)的銜接性和體系的完整性，雖然一旦確定下來(lái)就不會(huì)輕易發(fā)生改變，但是從生活的實(shí)際需求出發(fā)，改善和改變又必然是常態(tài)。就這樣，在變與不變之間，內(nèi)容與形式達(dá)到辯證統(tǒng)一。

2.“會(huì)學(xué)”與“學(xué)會(huì)”的和諧共生

數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)經(jīng)歷“會(huì)學(xué)”與“學(xué)會(huì)”兩個(gè)必要階段。第一階段是“會(huì)學(xué)”，從生活到數(shù)學(xué)，經(jīng)歷對(duì)比、抽象和建模，強(qiáng)調(diào)的是“舉三反一”。這里的“三”，是指相同結(jié)構(gòu)的生活情境的數(shù)量，不是特指，而是表示較多的意思。只有大量的同質(zhì)同構(gòu)、異質(zhì)同構(gòu)的情境引入，才能激發(fā)學(xué)習(xí)主體的興趣，驅(qū)動(dòng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提取關(guān)鍵問(wèn)題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這里的“一”，是指數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，是特指的，就是教學(xué)的核心問(wèn)題和根本任務(wù)。“舉三反一”背景下的“學(xué)會(huì)”學(xué)習(xí)，能夠?qū)崿F(xiàn)由厚到薄、由淺入深和由外到內(nèi)的遞進(jìn)增效。第二階段是“學(xué)會(huì)”，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)到生活，學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用、解釋和內(nèi)化的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)的是“舉一反三”。這里的“一”和“三”的含義與上面相同，引導(dǎo)學(xué)生從“學(xué)以備用”到“學(xué)以致用”，并形成三種積極的學(xué)習(xí)傾向，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”、“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”和“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。就這樣，在生活與數(shù)學(xué)之間，“會(huì)學(xué)”和“學(xué)會(huì)”實(shí)現(xiàn)完美對(duì)接。

顯然，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，能使數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的過(guò)程美妙、結(jié)構(gòu)完美和體驗(yàn)豐美，促進(jìn)模型內(nèi)容與形式的辯證統(tǒng)一，驅(qū)動(dòng)學(xué)生“學(xué)會(huì)”和“學(xué)會(huì)”，最終，超越具體知識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)增值。

四、沉淀“數(shù)學(xué)思想”，觸摸過(guò)程的“魂”

數(shù)學(xué)思想是思維活動(dòng)的產(chǎn)物，是對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)，它制約著數(shù)學(xué)活動(dòng)主觀意識(shí)的指向，對(duì)方法的取舍、組合具有規(guī)范和調(diào)節(jié)作用。應(yīng)該說(shuō)，教學(xué)能沉淀數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的保障。

1.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”的方式，使代數(shù)問(wèn)題與圖形問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化。就本課而言，要確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，屬于幾何問(wèn)題，但是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，卻將思路巧妙引向數(shù)的表達(dá)，經(jīng)歷“第幾列”和“第幾行”兩個(gè)維度的量化，并建構(gòu)出形如（4，3）的數(shù)字模型，以“一對(duì)數(shù)”表征“一個(gè)點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題向代數(shù)問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化。從此，平面上的一個(gè)點(diǎn)都可以像這樣用一對(duì)特殊的數(shù)字組合來(lái)描述和記錄。顯然，數(shù)形結(jié)合不僅能解決具體問(wèn)題，還能使不同類型的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，顯性架構(gòu)直角坐標(biāo)系的雛形，開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的新思路。

2.對(duì)應(yīng)思想

對(duì)應(yīng)思想反映的是兩個(gè)集合的元素之間的關(guān)系。它隨處可見(jiàn)、應(yīng)用廣泛，如數(shù)與形、量和量、量和率等，但都需要尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便更好地解決問(wèn)題。就本課而言，先是確定一維上的一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)，再確定二維中的一個(gè)點(diǎn)與一對(duì)數(shù)的對(duì)應(yīng)，還可以引向三維，激發(fā)學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)的位置的深度思考?？梢钥闯觯还馨l(fā)生在哪個(gè)維度，數(shù)字與維度的數(shù)量是對(duì)應(yīng)的，而且確定的結(jié)果是唯一的，像這樣的對(duì)應(yīng)現(xiàn)象可以稱之為“一一對(duì)應(yīng)”，它是建立在對(duì)應(yīng)思想上的一種特殊情況，因此，確定位置的結(jié)果沒(méi)有例外。顯然，對(duì)應(yīng)思想可以幫助觀察、分析和解決問(wèn)題，還能使建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思維有序生長(zhǎng)。

3.建模思想

建模思想是指運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。就本課而言，以情境中的位置確定為起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生調(diào)用生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)舊知，從模糊確定到精準(zhǔn)定位，從個(gè)性表征到共性約定，最終形成“（4，3）”的特定模型，使數(shù)學(xué)化思考得以固化和沉淀。因?yàn)檫@樣的模型建構(gòu)具有科學(xué)性、邏輯性，所以運(yùn)用建模思想所得的數(shù)學(xué)結(jié)論能反映實(shí)際需求，能夠抽象和概括實(shí)際問(wèn)題，可以有效遷移和推理運(yùn)用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從特殊建構(gòu)走向一般認(rèn)知。顯然，建模思想既與數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)內(nèi)在一致，也與學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)同步吻合，以促使課堂行為有過(guò)程、有思想和有結(jié)論。

當(dāng)然，隨著時(shí)間推移，縱向數(shù)學(xué)化將逐漸多于橫向數(shù)學(xué)化，“數(shù)學(xué)味”將逐漸濃于“生活味”，這是由學(xué)生年齡特征和數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)所決定的，這種變化符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的一般規(guī)律。但是，生動(dòng)不是學(xué)習(xí)的點(diǎn)綴，而是對(duì)學(xué)生的一種尊重和關(guān)愛(ài)，數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)以“學(xué)生為中心”的視角不會(huì)變;深刻不止于對(duì)知識(shí)的理解和把握，而是要超越具體，形成一般能力，數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)達(dá)成“核心素養(yǎng)”的目標(biāo)不能變。就這樣，在不變中堅(jiān)守，又在變化中發(fā)展，我們就能以不變應(yīng)萬(wàn)變了。