“確定位置”的內(nèi)涵、要求和數(shù)學化教學路徑

丁洪

[摘要]解讀確定位置專題知識的內(nèi)涵和教學要求，提出確定位置的數(shù)學化教學路徑，即橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化結伴而行，并凸顯情景的服務、過程的完整、方法的對比和思想的滲透，以有序建構物體的位置模型，有效發(fā)展學生的空間觀念。

[關鍵詞]確定位置;內(nèi)涵;要求;數(shù)學化;教學路徑

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）14-0004-03

確定位置屬于“圖形與幾何”板塊，主要學習“運用坐標描述圖形的位置”。教學時，必須思考和解決“為什么要確定位置？怎樣確定位置？用什么方式引導學生建構確定位置的方法？不同確定位置模型之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？”“不同學段的內(nèi)容安排和要求側重是什么？”“確定位置教學的增值點在哪里？”等問題。只有把這些問題弄清楚、想通透，才不至于囿于一隅、安于一課，也才能避免“教得了”卻“帶不走”的尷尬。

一、“確定位置”的內(nèi)涵解讀

1.生活中的確定位置

人們一直在探索和認識世界，試圖精準記錄物體的位置，使其更好地服務社會生活。一是地物定位，主要依靠大地上的特殊標志物，如高山、河流、峽谷和燈塔等，確定方法原始，確定范圍較小，而且誤差較大。二是天文定位，主要利用宇宙中的日月星辰，如夜空中的北極星定位，確定方法相對科學，確定范圍變大，但極易受到自然條件限制。三是工具定位，像指南針、六分儀、精確計時儀等，是簡單工具的使用;像無線電、衛(wèi)星導航、綜合衛(wèi)星導航等，屬于現(xiàn)代工具，能精準定位海、陸、空中的任意對象，基本實現(xiàn)“無死角、全覆蓋”。顯然，生活中的確定位置源于實際需要，是人類探究、刻畫和記錄世界的產(chǎn)物。

2.數(shù)學中的確定位置

數(shù)學中的確定位置屬于規(guī)定性知識，其本質(zhì)屬性是人的發(fā)明創(chuàng)造。確定位置一般遵循兩個創(chuàng)造原則，一是刻畫對象的數(shù)要盡量簡單，做到參照物的選擇與具體情景需求統(tǒng)一;二是描述方式要簡約明了，做到數(shù)學約定與實際表達內(nèi)在吻合。當創(chuàng)造原則指導具體實踐時，不同維度、不同模型和不同情境的確定位置就應運而生。首先，從空間維度看，同種類型的位置確定，在不同維度中，前后知識存在內(nèi)在聯(lián)系，結構呈現(xiàn)螺旋上升趨勢，如“線段中點的位置”在一維空間，而“數(shù)對確定位置”則在二維空間，這里的“數(shù)對”其實就是兩個維度上“線段中點的位置”的有機整合;不同類型的位置確定，在相同維度中，考慮的關鍵要素的數(shù)量相同，如所有在二維空間的位置確定，都要鎖定兩個關鍵信息，才能精準定位物體的位置。其次，從模型建構看，直角坐標系和極坐標系是兩種基本模型，模型內(nèi)部要素的先后順序根據(jù)實際需要約定，如用“距離+距離”的方式描述位置，約定“先列后行”;用“方向+距離”的方式描述位置，約定“先方向后距離”;用“角度+角度”的方式描述位置，約定“先經(jīng)度后緯度”等，這樣處理讓確定位置的數(shù)學模型結構穩(wěn)定，方便表達和交流。最后，從情境適用看，兩種模型都在研究確定對象與參照物之間的位置關系，但是就小學生的理解水平而言，直角坐標系（只出現(xiàn)第一象限）側重“點與整體”之間的位置關系，極坐標系側重“點與點”之間的位置關系。到了第三學段，又統(tǒng)整為“用數(shù)對確定位置”，這里的“數(shù)對”已經(jīng)實現(xiàn)對具體模型的超越，充分體現(xiàn)二維空間確定位置的數(shù)學本質(zhì)。顯然，數(shù)學中的確定位置融合“實際生活需要”和“簡潔表達需要”，凸顯數(shù)形結合、一一對應和符號表示等數(shù)學思想，既服務于數(shù)學的有序建構，也服務于學生的可持續(xù)發(fā)展。

3.教育中的確定位置

教育不但要“教知識”，而且要“育人品”;教育是有目的的執(zhí)行，也有情懷的擔當;教育不僅傳承文明，更要發(fā)展創(chuàng)造。因此，教什么？怎么教？教到什么程度？等，是我們必須直面和厘清的問題。下面將從兩個“點”進行梳理：一是通過具體的靜態(tài)文本，能教給學生哪些必要的動態(tài)技能，教則清晰到位（在平面內(nèi)確定位置需要考慮原點（觀測點）、方向和單位，用有序數(shù)對的形式確定的是唯一的點;反過來，一個點也只需要有序數(shù)對就能唯一確定，點和有序數(shù)對之間一一對應），使學生能靈活運用，有針對性地解決一些相關問題，這是教育的保值點;二是經(jīng)歷知識的生長過程，能孕育哪些必要的思想品格，育則指向明確（在平面內(nèi)確定位置需要鎖定兩個關鍵信息，還需要約定數(shù)學的表達方式，創(chuàng)造的外形可以因需而定，內(nèi)在的本質(zhì)卻是相同的），并能內(nèi)化遷移，使知識之間有效銜接，為后續(xù)學習提供智慧思考的路徑和澎湃人生的精神，實現(xiàn)“教是為了更好地學”，這是教育的增值點。顯然，教育中確定位置需要“保值”與“增值”的有機融合、互相促進和辯證統(tǒng)一。

二、“確定位置”的內(nèi)容要求

小學階段的教學有其自身的特殊性，怎樣的編排才能深入淺出地引導學生建構平面坐標雛形？怎樣的架構能恰到好處，助推學生空間觀念的發(fā)展？《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》都做了具體回應和詳細安排，參見下表。

蘇教版教材就從三個層次落實課程標準要求，即平面內(nèi)“點在線中的位置”、“點在面中的位置”和“點與點的位置”。其中，一年級上冊“認位置”，以確定“練習本與數(shù)學書的相對位置”為例，運用“前后、左右、上下”簡單描述“點與點的位置”;學完序數(shù)之后，結合“第幾個”，以“確定隊伍中某個人的位置”為例，來精準定位“點在線中的位置”。二年級下冊“認識方向”，以確定“觀測點的不同方向內(nèi)的物體”為例，運用“東、南、西、北，東南、東北、西南、西北”，來模糊定位“點與點的位置”;四年級下冊“確定位置”，以確定“教室內(nèi)小軍的位置”為例，運用“第幾列”和“第幾行”縱橫交錯產(chǎn)生的數(shù)對，精準定位“點在面中的位置”，是在二維空間中思考，滲透的是平面直角坐標系的數(shù)學模型;六年級下冊“確定位置”，以確定“燈塔在輪船的具體位置”為例，運用“方向”和“距離”，精準定位“點與點的位置”，也是在二維空間中思考，但滲透的是平面極坐標系的數(shù)學模型。顯然，教材的編排凸顯了內(nèi)容的生活化與數(shù)學化、記錄的模糊性與精確性、思維的層次性與連續(xù)性的有機整合、辯證統(tǒng)一和有序發(fā)展。

對于“確定位置”專題的學習要求，課程標準明確指出，引導學生“經(jīng)歷圖形的位置確定過程”，幫助學生“想象出物體的方位和相互之間的位置關系”，建立相應的位置模型，發(fā)展學生的空間觀念。

三、“確定位置”的數(shù)學化教學路徑

荷蘭著名教育家、數(shù)學家弗賴登塔爾認為：“所謂數(shù)學化，就是人們運用數(shù)學的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織的過程?！憋@然，位置確定的數(shù)學化教學路徑，既有生活到數(shù)學的建模，也有數(shù)學到數(shù)學的推理，還有數(shù)學特有的不斷抽象，但都指向數(shù)學本身，服務于學生發(fā)展，共同演繹現(xiàn)實主義的教學。

1.創(chuàng)設情境，引發(fā)學生的數(shù)學思考

情境是數(shù)學化教學的“調(diào)味劑”。適切的情境創(chuàng)設，不但能使課堂引入變得“親近、輕松和親切”，有效調(diào)用學生的主體經(jīng)驗，而且能使枯燥冰冷的數(shù)學知識飽含“溫度、梯度和適度”，有針對性地引發(fā)學生的數(shù)學思考。

以“用數(shù)對確定位置”的教學為例。一是創(chuàng)設生活情境，典型的是運用主題圖“小軍坐在哪里？”，可看作是直接式引入;而“怎樣找到電影票中的座位？”則通過調(diào)用觀影經(jīng)驗，使學生感受到位置確定“有角度和有方法”，然后帶著體驗和收獲再回到教室，可看作是間接式引人。二是創(chuàng)設游戲情境，設計“麥田打地鼠”“連連看”“排雷”等游戲，雖然玩法上有單一式和互動式的區(qū)分，但都是通過玩游戲的方式，引導學生體驗和感受要想玩好游戲，必須考慮位置確定的具體性和簡潔性。三是創(chuàng)設歷史情境，從“笛卡兒與小蜘蛛的故事”人手，設計“如何確定小蜘蛛的位置？”的問題情境，將位置確定從一維“數(shù)射線”的描述逐步引向二維“數(shù)射線”的建構。顯然，情境的主題類型和外在形式可以不同，但情境的角色定位和內(nèi)在作用卻要指向明確，也就是說，要立足學生實際且能引發(fā)學生的數(shù)學思考。

2.過程經(jīng)歷，演繹知識的“再創(chuàng)造”

“再創(chuàng)造”是數(shù)學化教學的“路線圖”，是針對學生“囫圇吞棗”地獲得“精密數(shù)學”的異化現(xiàn)象而提出的現(xiàn)實策略，提倡學生像“專家一樣思考和體驗”，完整經(jīng)歷知識的創(chuàng)造過程，把握問題的來龍去脈、外在表征和內(nèi)在結構。

以“用方向和距離確定位置”的教學為例。首先，創(chuàng)設因天氣惡劣影響船只航行的情境，使學生感受確定位置的緊迫性。接著，鎖定學生匯報中出現(xiàn)頻率最多的“東北方向”和“30千米”，發(fā)現(xiàn)距離30千米且在東北方向的點有許多，提出“不具體，怎么辦？”的問題;當學生提出“1點鐘方向”和“量角器測量”等隱含角度之后，可直接動態(tài)給出角度，記錄成“北偏東30。和“東偏北60°”，引發(fā)學生“不統(tǒng)一，怎么辦？”的思考，學生結合經(jīng)驗和生活情境，選擇“南北”作為起點，此時可順勢指導學生將“四面八方”換個角度描述，如“東北”記錄為“北偏東”等。最后，將反思改造后的關鍵信息“北偏東30°方向”和“30千米”同時呈現(xiàn)，讓學生嘗試組合信息，并提出“不規(guī)范，怎么辦？”的問題，學生結合實際經(jīng)驗和已有概念，就能得出“方向優(yōu)先”的數(shù)學意義和現(xiàn)實價值。顯然，教學聚焦“人為規(guī)定”，放大創(chuàng)造過程，能助推學生感受知識的自然生長和精神的內(nèi)在拔節(jié)。

3.縱橫對比，建構模型的結構特征

對比是數(shù)學化教學的“好助手”。巧妙的對比，能夠引發(fā)學生主動參與和深度思考，尤其是凸顯特殊與特殊、特殊與一般的對比思考，更有助于學生空間觀念的階段式達成和有序性發(fā)展。

首先看橫向?qū)Ρ?，如為什么在隊伍中，相同的位置可以用“從左往右?個”和“從右往左第4個”不同的方式描述？對比體會觀測的方向;為什么數(shù)對（1，5）和（5，1）的數(shù)字相同，表示的位置卻不同？對比內(nèi)化數(shù)對的結構;“燈塔1在輪船的北偏東30～方向30千米處”，而“輪船在燈塔1的南偏西30°方向30千米處”，同樣的兩個點，位置描述為什么不一樣？對比體驗位置的相對。接著看縱向?qū)Ρ?，如為什么學習了數(shù)對確定位置，還要學習用方向和距離確定位置，兩者之間有什么相同點和不同點？比相同點，要鎖定兩個關鍵信息才能完整表達，而且要約定數(shù)學表達方式才能統(tǒng)一表征;再比不同點，關鍵信息的內(nèi)容有差異，前者鎖定的是列和行，后者關注的是方向和距離，模型適用的情境不一樣，前者側重“點與整體”的位置描述，后者適合“點與點”的位置記錄。顯然，縱橫對比凸顯了模型外在特征的差異性和內(nèi)在結構的一致性。

4.滲透思想，內(nèi)化關鍵的能力品質(zhì)

思想是數(shù)學化教學的“生命線”。相對于明線的方法技能，暗線的數(shù)學思想更具魅力，更容易遷移，對學生終身發(fā)展來說，也更具特定的意義和作用。

首先，從生活到數(shù)學需要抽象，如“用數(shù)對確定位置”經(jīng)歷“實物圖一點子圖一坐標圖”的抽象;從數(shù)學到數(shù)學也需要抽象，如將“4列3行”“4↑3→”“4、3”等抽象為（4，3），是對抽象的“再抽象”。接著，從點到面需要歸納推理，如逐步出示“南偏東”“80°”“50千米”等條件，在“猜神秘島位置”的游戲中，歸納推理出“面一線一點”的路徑;從面到點需要演繹推理，如確定位置路徑的具體運用;從面（點）到面（點）需要類比推理，如“用數(shù)對確定位置”有觀測點、方向和距離，類比推理出影響“用方向和距離確定位置”的可能因素。最后，從生活世界到數(shù)學研究需要模型建構，如“用數(shù)對確定位置”抽象建構成“距離+距離”，“用方向和距離確定位置”抽象建構成“方向+距離”等;從數(shù)學世界回歸生活需要“變模運用”，如“棋盤中的棋子位置”“公交車上的乘客位置”“地圖上兩地的位置”等。顯然，通過抽象，外部世界進入了數(shù)學;通過推理，促進了數(shù)學自身的發(fā)展，而模型思想建構了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系橋梁。

數(shù)學化教學路徑注重橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化結伴而行、因需側重，凸顯情境的服務、過程的完整、方法的對比和思想的滲透。這樣，外在生動與內(nèi)在深刻相映生輝，實現(xiàn)為未知而教;知識技能與核心素養(yǎng)融合共生，實現(xiàn)為未來而學。

（責編金鈴）