類比提升 自主建構(gòu)
——“空間向量及其線性運(yùn)算”教學(xué)實(shí)踐與反思

董逸婷

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，215011)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》(蘇教版)第3章第1節(jié)“空間向量及線性運(yùn)算”.

向量是既有大小又有方向的量,既能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算,本身又是一個“圖形”.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁,在很多知識中有重要的應(yīng)用．本章要學(xué)習(xí)的空間向量將為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供一個十分有效的工具，為處理立體幾何問題提供了新的視角.本課作為章節(jié)的起始課,是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平面向量的基礎(chǔ)上展開的,經(jīng)歷了向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程,既復(fù)習(xí)鞏固了平面向量的有關(guān)內(nèi)容,又為后面用向量解決立體幾何問題做好鋪墊,起到承前啟后的作用．教學(xué)過程中應(yīng)充分讓學(xué)生類比猜想、自主探索,得出相應(yīng)的法則和性質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)類比、歸納、推廣、化歸等思想方法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、教學(xué)過程片段實(shí)錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境,問題導(dǎo)入

問題國慶期間,某游客從上海世博園(O)游覽結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江,然后抵達(dá)東方明珠(B)游玩,如圖1,游客的實(shí)際位移是什么?可以用什么數(shù)學(xué)概念來表示這個過程?

①

師追問:如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景,如圖2,那它實(shí)際發(fā)生的位移是什么?又如何表示呢?

②

師:比較① ②,都是向量關(guān)系式,背景有何不同?

師:非常好,這就是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)研究的主要內(nèi)容——空間向量及其線性運(yùn)算.

評注圖1中的引入情境,于學(xué)生而言,非常熟悉．課堂上追問學(xué)生,若登頂東方明珠D又該如何表示,既貼近學(xué)生生活實(shí)際又自然將平面向量拓展到空間向量,既揭示了學(xué)習(xí)空間向量的必要性,又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也為后續(xù)空間向量的加法運(yùn)算做了鋪墊(尤其是在驗(yàn)證空間向量的加法結(jié)合律)．

2.類比平面,提煉概括

師:高一我們已經(jīng)系統(tǒng)研究過平面向量,同學(xué)們可以回憶一下,什么是平面向量?平面向量主要研究哪些內(nèi)容?

生:平面上既有大小,又有方向的量叫做平面向量．我們主要研究了平面向量的概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用．

師:非常好,我們從以上方面研究了平面向量(PPT給出圖3知識框架)．

師：今天,我們從二維平面推廣至三維空間．首先,從概念出發(fā).請同學(xué)們復(fù)習(xí)回顧平面向量相關(guān)知識,并閱讀課本,整理提煉空間向量有關(guān)概念,填寫講義上的表1.

表1空間向量基本概念

師:通過閱讀填表,請同學(xué)們概括一下空間向量概念的主要內(nèi)容是什么?對于空間向量的學(xué)習(xí)有沒有受到學(xué)習(xí)方法上的啟發(fā)?

生:空間向量的概念與平面概念是完全一致的．對于學(xué)習(xí)方法,我覺得可以類比平面向量來學(xué)習(xí)．

師:非常好,這位同學(xué)既概括了知識又獲得了方法．既然空間向量與平面向量的概念完全一致,那么空間向量和平面向量有什么聯(lián)系呢?下面我們一起來看一下投影上的探究．

3.探究

探究1空間任意任意兩個向量是否可以異面?

生:空間任意兩個向量都是共面向量,因?yàn)樗鼈兛梢云揭浦镣黄矫妫?/p>

師:很好,所以凡是涉及空間任意兩個向量的問題,平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們．(PPT動態(tài)演示平移過程)

評注學(xué)生對平面向量的知識結(jié)構(gòu)已經(jīng)比較了解,空間向量的知識結(jié)構(gòu)和它有很多的相似性,與其再次由教師喋喋不休地重復(fù),不如讓學(xué)生自己去閱讀、比較、辨別、思悟,在類比中生成,在生成中提升.

4.跳出平面,明確概念

練習(xí)1給出以下命題:

① 兩個空間向量相等,則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同;

② 若空間向量a和b滿足|a|=|b|，則a=b;

③ 空間中任意兩個單位向量必相等;

④ 空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個向量．

其中正確命題的個數(shù)是______.

生:正確命題個數(shù)是1個．① ② 錯,兩個向量相等需要方向相同、長度相等;③ 方向可以不同；④ 正確．

評注此環(huán)節(jié)的設(shè)計,以題目形式出現(xiàn),第一，讓學(xué)生明確空間向量的基本概念和平面向量是一樣的,讓學(xué)生在不知不覺中“跳出平面,進(jìn)入空間”;第二，對于跟蹤練習(xí)的第4個問題，是下面在運(yùn)算法則和運(yùn)算律類比中非常重要的一個結(jié)論,高中階段學(xué)習(xí)的向量是“自由向量”,所以任意兩個空間向量都可以“平移”到同一個平面內(nèi).之所以沒有單獨(dú)拿出來思考,是因?yàn)橄胱寣W(xué)生在不知不覺中完成平面向量到空間向量的思維跨越,同時也自然銜接到下面的類比．

5.交流合作 運(yùn)算類比

師:研究了空間向量基本概念之后類比平面向量,我們還要研究它的線性運(yùn)算.平面向量的線性運(yùn)算和性質(zhì)在空間向量仍然適用嗎?(用PPT給出表格2)

表2 線性運(yùn)算法則的類比

生:一樣的,加法用三角形法則和平行四邊形法則,減法用三角形法則.

師:非常好,所以在空間向量線性運(yùn)算中,平面向量的法則仍然適合.(PPT演示復(fù)習(xí)運(yùn)算法則)

師:空間向量的結(jié)合律呢?結(jié)合律涉及3個向量的關(guān)系.還適用嗎?

探究2空間向量的加法是否滿足結(jié)合律?

(實(shí)物投影學(xué)生的合作探究結(jié)果,如圖4)

師:我們發(fā)現(xiàn)空間向量線性運(yùn)算的法則和運(yùn)算律也和平面向量完全一致.

評注學(xué)生明確了任意兩個空間向量都可以“平移”到同一個平面內(nèi)的結(jié)論后,那么涉及兩個空間向量的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的問題,顯而易見是可以平穩(wěn)對接的．可以借助引例中的圖2,讓同桌二人分工協(xié)作,一個用圖形求左邊的向量,一個求右邊的向量,很輕松地驗(yàn)證成功.同時讓學(xué)生把兩個圖放到一起就看出了四面體這個空間幾何體,又一次跳出平面,跨入了空間．

6.類比提升 定理推廣

師:到目前為止,我們已經(jīng)把知識從平面推廣到了空間．同學(xué)們還記得平面中一種特殊的向量——共線(平行)向量嗎?它可以推廣到空間嗎?平面向量共線定理在空間中仍然成立嗎?

(學(xué)生回答共線(平行)向量定義、記法、一個規(guī)定、共線向量定理)

練習(xí)2

評注通過共線定理在空間向量中的運(yùn)用,復(fù)習(xí)回顧平面向量中的運(yùn)用,有助于對知識的有機(jī)整合.

7.例題評析 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,化簡下列向量表達(dá)式,并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．(如圖5)

評注例題的作用與價值旨在幫助學(xué)生熟練空間向量的線性運(yùn)算法則,借助幾何體加強(qiáng)學(xué)生對空間向量的直觀感知.在運(yùn)算過程中,提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想“空間問題平面化”.第(2)小題中,總結(jié)出“平行六面體”法則,即始點(diǎn)相同的三個不共面向量之和,等于以這三個向量的棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所示向量.為后續(xù)空間向量基本定理及正交分解做準(zhǔn)備.

8.課堂小結(jié)(略)

二、教學(xué)后記

1.精心預(yù)設(shè),以問題為教學(xué)線索

問題是數(shù)學(xué)的心臟.本課的教學(xué)設(shè)計以問題的解決為線索,在教師引導(dǎo)下,使學(xué)生的思維從問題開始,由問題深化.自然而又不突兀地引出了本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——空間向量.例題既鞏固了空間向量線性運(yùn)算的法則和運(yùn)算律,又引出了“空間平行六面體法則”,為下節(jié)課空間向量基本定理做了鋪墊.課堂始終以數(shù)學(xué)問題為載體,以教師的“導(dǎo)”為主線,以學(xué)生的“學(xué)”為標(biāo)的,教師和學(xué)生通過數(shù)學(xué)問題這一課堂載體形成雙向交流和互動對話,互相促進(jìn),教學(xué)相長.

2.知識生長,以類比為教學(xué)方法

引導(dǎo)學(xué)生用類比的學(xué)習(xí)方法來探究空間向量的相關(guān)知識.在類比中生成空間向量的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算律相關(guān)知識.既鞏固了平面向量,又將知識由二維推廣至三維,由平面推廣至空間.類比是本課的主要思想方法,同時在教學(xué)過程中,筆者也有意識地滲透轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想.在例題講解過程中,引導(dǎo)從不同角度用不同方法解決問題,加入變式訓(xùn)練,訓(xùn)練逆向思維能力、化歸轉(zhuǎn)化能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.自主構(gòu)建,以學(xué)生為課堂主體

教學(xué)的過程不是將知識從一個容器導(dǎo)入另一個容器的過程.我們要重視學(xué)生的課堂自主參與性,重視學(xué)生課堂探究能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).激勵學(xué)生積極思維,大膽思索,勇敢實(shí)踐.