親歷合情推理 探究等式規(guī)律
——基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的《等式的性質(zhì)》教學(xué)思考與實(shí)踐

等式的性質(zhì)是等式固有的一種規(guī)律。一般的教學(xué)形式是通過觀察天平兩邊同時(shí)增加或減少（包括成倍增加或減少）相同質(zhì)量的物品，而天平依舊平衡的現(xiàn)象，把它們轉(zhuǎn)化成等式，再類比等式中的變化，逐步概括出等式的性質(zhì)。這樣的教學(xué)過程，雖然規(guī)范了學(xué)生的思考過程，但是也壓縮了學(xué)生的思維空間。能否引導(dǎo)學(xué)生親歷學(xué)習(xí)過程，自主從一架天平中發(fā)現(xiàn)不同的等式，再依據(jù)所積累的等式，推理發(fā)現(xiàn)等式的兩個(gè)性質(zhì)？帶著這樣的思考，筆者對(duì)《等式的性質(zhì)》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容與教學(xué)過程進(jìn)行了調(diào)整與嘗試，設(shè)計(jì)開展下列教學(xué)環(huán)節(jié)，收效良好。

一、探究交流，合作學(xué)習(xí)

1.課前交流，激發(fā)興趣。

師：同學(xué)們，今天我們一起來學(xué)習(xí)《等式的性質(zhì)》。等式有哪些性質(zhì)呢？我們借助天平來探索。想一想，怎樣讓天平保持平衡？

生：左右兩邊放上相同重量的物品。

師：看，現(xiàn)在天平上放了什么？如果花盆用a表示，花瓶用b表示，怎樣寫出等式？

生：a+b=4b。

師：如果要將左右兩邊物品發(fā)生變化，但天平依舊保持平衡，你有什么辦法？

生：同時(shí)放上1個(gè)花瓶。

生：可以在左邊放上1個(gè)花盆，在右邊也放上1個(gè)花盆。

師：剛才兩名同學(xué)表達(dá)了他們的想法，其他同學(xué)的想法是怎樣的呢？如何用等式表達(dá)出你們的想法呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出《學(xué)習(xí)單》，按照要求小組合作學(xué)習(xí)。

2.交流匯報(bào)，積累經(jīng)驗(yàn)。

生：在天平兩邊同時(shí)添上1個(gè)花盆，天平保持平衡。用式子表示為：a+b+a=4b+a。在天平左右兩邊同時(shí)添上1個(gè)蘋果，天平依舊保持平衡。用式子表示為：a+b+c=4b+c。

生：在天平左右兩邊同時(shí)去掉1個(gè)花瓶，天平保持平衡，現(xiàn)在的等式是：a+b-b=4b-b。在天平的兩邊分別加上1個(gè)花瓶，天平保持平衡，現(xiàn)在的等式是：a+b+b=4b+b。

生：我們小組一致發(fā)現(xiàn)：在等式兩邊同時(shí)加上或減去相同的數(shù)（或物品），等式依然成立。

3.學(xué)生補(bǔ)充，引發(fā)思考。

師：其他同學(xué)還有不同的想法嗎？

生：我在天平兩邊同時(shí)添上2個(gè)花盆，天平保持平衡。用式子表示為：a+b+2a=4b+2a。

4.教師引導(dǎo)，規(guī)范表述。

師：（指板書）我們寫出了那么多的等式，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：等式兩邊同時(shí)加或者減同一個(gè)數(shù)，等式兩邊仍然相等。

生：（眾）等式兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，等式兩邊仍然相等。

師：一起把我們的發(fā)現(xiàn)說一說。

【思考：五年級(jí)學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)的思考過程感到比較抽象，需要借助一個(gè)形象的模型——天平作為支撐。教學(xué)中，教師組織學(xué)生進(jìn)行集體提問、激發(fā)興趣，再進(jìn)行獨(dú)立思考、小組合作，在自主嘗試與直觀描繪中體會(huì)“天平兩邊同時(shí)添上或去掉同一重量的物品，天平依舊保持平衡”。思考與交流時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生有效進(jìn)行合情推理，在理解多個(gè)舉例情況均成立后，發(fā)現(xiàn)等式規(guī)律，概括等式性質(zhì)1?！?/p>

二、大膽猜測(cè)，親歷過程

1.遷移經(jīng)驗(yàn)，猜測(cè)驗(yàn)證。

師：同學(xué)們，剛才你們畫圖、寫等式，通過小組合作交流，得出了等式性質(zhì)1。數(shù)學(xué)上，有沒有等式性質(zhì)2呢？猜一猜。

生：等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式兩邊仍然相等。

師：（出示性質(zhì)2）真的會(huì)成立嗎？讓我們一起來驗(yàn)證。

2.交流匯報(bào)，驗(yàn)證猜測(cè)。

師：誰愿意來交流？

生：我在天平左側(cè)放2個(gè)蘋果，天平右側(cè)放1個(gè)西瓜，天平保持平衡，蘋果用a表示，西瓜用b表示，等式為2a=b。再在天平左側(cè)放4個(gè)蘋果，右側(cè)放2個(gè)西瓜，天平左右兩邊加上同樣質(zhì)量的物品，依舊保持平衡，等式為2a×3=b×3，6a=3b。

生：我先在天平左側(cè)放上4個(gè)蘋果，右側(cè)放上2個(gè)西瓜，這時(shí)天平保持平衡，等式為4a=2b。接著，我將左邊的4個(gè)蘋果平均分成2份，去掉其中的1份，再將右邊的西瓜也平均分成2份，去掉其中的1份，天平依然保持平衡，等式是4a÷2=2b÷2。

3.學(xué)生補(bǔ)充，完善提升。

師：你還有不一樣的式子嗎？

生：8a=4b，8a÷2=4b÷2。

生：3x=9y，3x÷3=9y÷3。

……

師：同學(xué)們真棒，你們勇于猜想，樂于驗(yàn)證，得到了等式性質(zhì)2是成立的。把我們的驗(yàn)證成果讀一讀。

【思考：學(xué)生在第一教學(xué)環(huán)節(jié)中借助天平直觀圖獨(dú)立思考與舉例，進(jìn)行合情推理，逐步概括得到等式性質(zhì)1。這一學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生不僅探究了數(shù)學(xué)規(guī)律，而且積累了數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)，這正是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所大力倡導(dǎo)與推行的。第二環(huán)節(jié)教師利用學(xué)生概括等式性質(zhì)1的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，歸納等式性質(zhì)2，再啟發(fā)學(xué)生正向遷移學(xué)習(xí)方式，嘗試用多個(gè)舉例解釋與驗(yàn)證等式性質(zhì)2?！?/p>

三、性質(zhì)應(yīng)用，拓展提升

1.利用等式性質(zhì)解決問題。

生：等式右邊150×3等于450，根據(jù)等式性質(zhì)，右邊乘3，等式左邊也要乘3，所以是9t。

生：等式左邊5個(gè)排球除以5，等于1個(gè)排球，根據(jù)等式性質(zhì)，等式右邊也要除以5，所以是5個(gè)小足球。

師：看來，同學(xué)們利用等式的性質(zhì)解決了不少問題，學(xué)得不錯(cuò)。

2.根據(jù)等式性質(zhì)判斷。

如果字母a=b，下面正確的等式是（ ）

（1）①a+2=b+3 ②a-x=b+5 ③3a=b+b+b

師：看大家的選擇情況，出奇一致。你們?yōu)槭裁炊颊J(rèn)為第3個(gè)等式是對(duì)的？

生：因?yàn)閍=b,3a=a+a+a，也就是b+b+b。而第一選項(xiàng)，a+2=b+3，左右加的數(shù)不一樣；第二選項(xiàng)，a-x=b+5，左右加減不同，數(shù)也不同；所以只有第三選項(xiàng)的等式是正確的。

（2）①a=2b ②a÷c=b÷c ③a÷7=b÷7

師：這一題，選②、選③的都有，到底哪個(gè)答案是正確的呢？把你的想法告訴你的組內(nèi)同學(xué)。再來選一次。

師：從大家選擇的情況來看，有不少組的同學(xué)都修改了選項(xiàng)。通過討論，你的想法發(fā)生了什么變化？

生：原來我選擇的是第二個(gè)選項(xiàng)，但經(jīng)過討論，我覺得第三個(gè)選項(xiàng)是正確的。因?yàn)閍÷c=b÷c，c有可能為0，當(dāng)c為0時(shí)，等式不能成立。而a÷7=b÷7，等式左右兩邊同除以7是可以的，所以選項(xiàng)三才正確。

師：（小結(jié)）通過小組討論，同學(xué)們修正了自己的答案，看來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是需要這樣的認(rèn)真細(xì)致與相互切磋。

【思考：本環(huán)節(jié)屬課堂第一層次的練習(xí)，旨在檢測(cè)學(xué)生對(duì)等式兩個(gè)性質(zhì)的理解與掌握情況，第一題重在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用性質(zhì)求出等式的一部分，并能規(guī)范表述解題的依據(jù)；第二題利用智慧課堂中的遙控器，即時(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的選擇情況，反饋教學(xué)效果，第一次按鍵選擇中有16位同學(xué)答題錯(cuò)誤，教師引導(dǎo)全體學(xué)生利用組間合作、同桌互助的學(xué)習(xí)形式進(jìn)行討論，第二次按鍵選擇中43位同學(xué)均答題正確。課堂教學(xué)中，需要在尊重學(xué)生個(gè)體差異的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)與提升個(gè)別學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思維品質(zhì)?！?/p>

3.利用等式的性質(zhì)拓展應(yīng)用。

師：一道趣味數(shù)學(xué)題，用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)能解決嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)凇秾W(xué)習(xí)單》上試一試，把相關(guān)等式記下來，做完后，和小組里的同學(xué)交流。

師：誰愿意上來介紹你的方法？

生：我用等式①減等式②，得到△+○-（□+△）=33-27，○-□=6，記作等式④，○+□=30，左右兩邊同加上30，等式還是相等的，2個(gè)○=36，再根據(jù)等式性質(zhì)2，兩邊同除以2，得到○=18。然后在等式①中求出△，在等式②中求出□。

師：［指著△+○-（□+△）=33-27］為什么左右兩邊仍然相等？

生：根據(jù)等式性質(zhì)1，等式左右兩邊減去同一個(gè)相等的量，等式兩邊依舊相等。

師：是的，兩個(gè)等式的左邊減左邊，就等于右邊減右邊。

師：誰還有不同的思考方法？

生：我把三個(gè)等式的左邊都加起來，右邊也都加起來：△+○+□+△+○+□=33+27+30，就得到了2（△+○+□）=90，△+○+□=45，再根據(jù)這個(gè)等式和等式①，可以求出□；根據(jù)這個(gè)等式和等式②，可以求出○；根據(jù)這個(gè)等式和等式③，可以求出△。

師：2（△+○+□）=90，△+○+□=45，這個(gè)等式怎么得來的？

生：利用等式性質(zhì)2，左右兩邊同時(shí)除以2，等式仍然成立。

【思考：本環(huán)節(jié)屬課堂第二層次的練習(xí)，一題多法，以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷度與多樣性。教學(xué)時(shí)，學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考、記錄步驟，再在小組內(nèi)進(jìn)行分享交流、規(guī)范表述，最后進(jìn)行集體反饋。通過上述環(huán)節(jié)，旨在培育學(xué)生觀察分析、抽象概括與推理能力，體會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)中的優(yōu)化思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中發(fā)展合情推理能力，能有條理地進(jìn)行思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。本節(jié)課，在教學(xué)中利用智慧軟件實(shí)現(xiàn)組際交流、組間互補(bǔ)，設(shè)計(jì)有層次的練習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、聯(lián)想、類比等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜測(cè)結(jié)論、進(jìn)行驗(yàn)證。組織學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)的教學(xué)過程，就是一種合情推理的過程。