“假設(shè)”下的多元呈現(xiàn)
——《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版五年級(jí)上冊(cè)第99、100頁(yè)《嘗試與猜測(cè)》。

【教學(xué)過(guò)程】

一、激發(fā)興趣，導(dǎo)入新課

1.引入課題：同學(xué)們，你們知道這本書(shū)嗎？《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，里面有很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中有一個(gè)這樣有趣的問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”你們知道這道題目是什么意思嗎？今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)有趣的“雞兔同籠”問(wèn)題。

2.導(dǎo)入新課：（出示圖片）你能猜出籠子里有幾只兔、幾只雞嗎？

課件出示：籠里有雞和兔共9只。

師：猜猜看有哪些可能？

預(yù)設(shè)1：1只雞8只兔。

預(yù)設(shè)2：2只雞7只兔。

預(yù)設(shè)3：3只雞6只兔。

……

師：有這么多猜測(cè)，那怎樣清晰地整理出你們說(shuō)的這些可能呢？

生：用列表格的方法。

師：是的，說(shuō)得真好?。ㄕn件整理出示表一）

表一：

雞有幾只 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9兔有幾只 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

師：你們能具體確定它們的只數(shù)嗎？

生：不能！缺少條件。

師：出示題目：雞兔同籠，有9個(gè)頭，26條腿。雞、兔各有幾只？

【設(shè)計(jì)意圖：從我國(guó)的數(shù)學(xué)名著導(dǎo)入，讓學(xué)生感受我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化。“雞兔同籠”問(wèn)題是我們生活中經(jīng)常會(huì)看到的數(shù)學(xué)趣題，讓學(xué)生猜雞和兔的數(shù)量，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?？紤]到《孫子算經(jīng)》中原題的數(shù)據(jù)較大，首先從例題中的簡(jiǎn)單問(wèn)題開(kāi)始研究?！?/p>

二、合作學(xué)習(xí)，探索規(guī)律

●活動(dòng)一：化繁為簡(jiǎn)，探索不同解題方法。

1.理解題意：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這道題的意思？

明確：雞兔同籠，一共9只，每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，籠內(nèi)雞和兔的總只數(shù)是26，分別求出雞和兔各有幾只？

2.列表法。

師：現(xiàn)在你能猜出雞兔各有幾只嗎？怎么知道你猜測(cè)的是否正確呢？

整理表格。（每只雞有2條腿，用雞的只數(shù)×2=雞的腿數(shù)，每只兔有4條腿，用兔的只數(shù)×4=兔的腿數(shù)）

表二：

雞有幾只 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9兔有幾只 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0腿有多少條 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18

師：表格中，我們從雞有0只開(kāi)始逐一假設(shè)列舉，這種方法叫做逐一列舉法。

【設(shè)計(jì)意圖：由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進(jìn)行探究，所以以化繁為簡(jiǎn)的思想為指導(dǎo)，先安排一道數(shù)據(jù)較小的“雞兔同籠”問(wèn)題，一步一步引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在已有的條件中，哪些條件是不變的，再讓學(xué)生用自己的方法來(lái)解決，不僅吸引了學(xué)生的注意力，也激發(fā)了學(xué)生繼續(xù)探究的興趣。學(xué)生覺(jué)得用形象、清晰的列表法就能較快地解決有趣的難題?！?/p>

●活動(dòng)二：回歸原題，進(jìn)一步探究解題方法。

出示：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，你們覺(jué)得用哪種方法比較合適？

預(yù)設(shè)：列表法。

1.提問(wèn)：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這道題怎么列表？

師：大家思考一下，說(shuō)說(shuō)在這道題中，用這種逐一列表的方法怎么樣？你有什么好的想法呢？

匯報(bào)預(yù)設(shè)：在這道題中，用逐一列舉法，列舉的次數(shù)較多，為了減少列舉的次數(shù)，可以先估計(jì)雞和兔數(shù)量的范圍，再用列表法的方法解決問(wèn)題。

2.小組討論交流，在《作業(yè)單》上填一填。

（1）展示交流。

匯報(bào)預(yù)設(shè)：

表三（部分）：

雞有幾只 兔有幾只 腿有多少條0 35 140 10 25 120 20 15 100 25 10 90 24 11 92 23 12 94……假如全部是兔，有140條腿……腿太多了，兔子數(shù)應(yīng)該減少……差不多了，再調(diào)一點(diǎn)……腿數(shù)比94 少了，兔子數(shù)應(yīng)該在10和15 之間

表四：

?

（2）說(shuō)一說(shuō)：這幾種表格有什么不同？

（3）小結(jié)：先估計(jì)雞和兔數(shù)量的可能范圍，這樣可以減少列舉的次數(shù)，這種列舉法叫做跳躍列舉法。先假設(shè)雞和兔的只數(shù)差不多，然后列舉，在列表時(shí)再根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整雞和兔的數(shù)量，這樣可以縮小列舉的范圍，這種列舉法叫做折中列舉法。

3.對(duì)比三種列舉法。

師：這三種列舉法中，哪種最簡(jiǎn)便？

【設(shè)計(jì)意圖：教材呈現(xiàn)了“逐一列表、跳躍列表和折中列表”三個(gè)層次的列表方法。逐一列舉：無(wú)遺漏、不重復(fù)；跳躍列舉：減少?lài)L試的次數(shù)；折中列舉：縮小嘗試的范圍。三種列表，三個(gè)層次，本質(zhì)都是“逼近”的思想。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，列表不難，難就難在讓學(xué)生在經(jīng)歷這一過(guò)程的基礎(chǔ)上，掌握用列表解決問(wèn)題的策略、感悟“逼近”等數(shù)學(xué)思想方法，并能在教師的引導(dǎo)下予以?xún)?yōu)化，能靈活選用合適的列表方法解決問(wèn)題?！?/p>

●活動(dòng)三：拓展提升，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：剛才我們用列表的方法，通過(guò)嘗試、猜測(cè)解決了雞兔同籠問(wèn)題。其實(shí)這些都是我們先通過(guò)假設(shè)，再來(lái)驗(yàn)證的過(guò)程，如果雞兔的只數(shù)很多，列表法就太費(fèi)時(shí)間了，所以我們要借助表格找一找里面隱含的規(guī)律。

下面我們看看完整的表三，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

小結(jié)：在雞和兔總只數(shù)不變的情況下，每增加1只兔，減少1只雞，腿的總數(shù)增加2，反之，每減少1只兔，增加1只雞，腿的總數(shù)減少2。只要按照這個(gè)步驟下去，不管頭數(shù)和腿數(shù)是多少，都能解決問(wèn)題。

師：完整的表三中的第一行數(shù)據(jù)是什么意思？

預(yù)設(shè)：假設(shè)籠中全是兔，有4×35=140（條）腿，與實(shí)際的94條腿相比較，多了140-94=46（條）腿。把1只雞當(dāng)成1只兔來(lái)計(jì)算，就會(huì)比實(shí)際多4-2=2（條）腿，46中有多少個(gè)2，就有多少只雞。這樣就可以求出雞的只數(shù)。

雞：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）。

兔：35-23=12（只）。

師：完整的表三中的最后一行數(shù)據(jù)是什么意思？

預(yù)設(shè)：假設(shè)籠中全是雞，有2×35=70（條）腿，比實(shí)際的94條腿相比較，少了94-70=24（條）腿，把1只兔當(dāng)成1只雞來(lái)算，就會(huì)比實(shí)際少4-2=2（條）腿，24中有多少個(gè)2，就有多少只兔。這樣就可以求出兔的只數(shù)。

兔：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）。

雞：35-12=23（只）。

小結(jié)：通過(guò)大家的討論，在列表法的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了雞和兔的腿數(shù)的關(guān)系，并采用假設(shè)都是雞或都是兔的方法來(lái)解決問(wèn)題，所以我們把這種方法叫做假設(shè)法。這種方法能化難為易，也是解答雞兔同籠問(wèn)題的一種好方法。

【設(shè)計(jì)意圖：列表法能直觀反映數(shù)據(jù)的變化，學(xué)生容易理解，可當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)還是用假設(shè)法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。但是假設(shè)法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較難以理解，所以用數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)表格中的規(guī)律，再?gòu)谋碇谐橄蟪鰜?lái)，通過(guò)假設(shè)、計(jì)算的方法來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題，進(jìn)一步提高學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力?！?/p>

三、靈活運(yùn)用，拓展提高

師：今天我們學(xué)習(xí)了解決雞兔同籠問(wèn)題的方法，你們可以用這些方法來(lái)解決生活中的這類(lèi)問(wèn)題嗎？

出示練習(xí)：樂(lè)樂(lè)的儲(chǔ)蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角的硬幣各有幾枚？

（學(xué)生在書(shū)上獨(dú)立完成）

匯報(bào)預(yù)測(cè)：

方法一：

1角/枚 13 18 20 21 5角/枚 14 9 7 6總值/元 8.3 6.3 5.5 5.1

方法二：

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生在大膽的猜測(cè)、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程中，體會(huì)出解決問(wèn)題的一般策略——列表和假設(shè)法，會(huì)利用所學(xué)知識(shí)解決生活中的“雞兔同籠”問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)“雞兔同籠”問(wèn)題在生活中的廣泛應(yīng)用。】

四、全課總結(jié)

師：今天你學(xué)會(huì)了用什么方法來(lái)解決雞兔同籠的問(wèn)題？你有什么收獲呢？