演練，觸摸“學(xué)生”的認(rèn)知天性

抗“疫”期間，筆者利用網(wǎng)上發(fā)布的各種防控訊息，創(chuàng)編了一組數(shù)學(xué)練習(xí)。想著在推薦學(xué)生練習(xí)之前，先讓團(tuán)隊(duì)成員們動(dòng)動(dòng)腦、練練手，于是，便在微信群里發(fā)起了每日“競(jìng)答”活動(dòng)。

題目一：每出門采購一次口罩，消耗家里庫存1只，每次限買3只。買到了，多2只；買不到，虧1只。老張家里原有庫存10只，出門10次之后，家里現(xiàn)有12只。請(qǐng)問，他有幾次出門是買到口罩的？（適合三～六年級(jí)）

問題拋出后，筆者作為主持人與團(tuán)隊(duì)成員進(jìn)行了熱烈的討論——

徐老師：應(yīng)該是3次吧？

顧老師：這應(yīng)該是“牛吃草”問題吧，是4次。我們可以這樣進(jìn)行解答。

方法一：

假設(shè)每次都買到口罩：3×10＝30（只）

相差：30－12＝18（只）

沒買到的次數(shù)：18÷3＝6（次）

買到的次數(shù)：10－6＝4（次）

方法二：

假設(shè)每次都不買到口罩：10－10＝0（只）

相差：12－0＝12（只）

買到的次數(shù)：12÷3＝4（次）

驗(yàn)算略。

筆者：看得出，顧老師是先假設(shè)出門10次都能買到口罩，那么除去每次出門消耗掉的1只外，最后應(yīng)當(dāng)有30只，而實(shí)際只有12只。之所以會(huì)相差了18只，是因?yàn)槠渲杏袔状纬鲩T是沒有買到口罩的，有一次沒買到，現(xiàn)有口罩?jǐn)?shù)就少了3只，這樣就可算出有6次出門是沒有買到口罩的，那真正買到口罩的次數(shù)就是4次。

徐老師：謝謝顧老師的啟發(fā)！應(yīng)該是4次。雞兔同籠問題，差點(diǎn)兒錯(cuò)了。

本以為這個(gè)問題就這樣討論結(jié)束了，沒想到于老師又在群里發(fā)聲了——

于老師：是6次吧？12÷2＝6（次）。

顧老師：不是的，本來有10只。

于老師：出去買到口罩，用去1只，買到3只，實(shí)際凈得2只。

筆者猜想于老師是發(fā)現(xiàn)了“現(xiàn)有12只”確實(shí)是出門買到口罩后凈得的，但他把買到一次實(shí)際得到的口罩?jǐn)?shù)弄錯(cuò)了。如果買到一次是凈得“＋2只”，那出門一次沒買到就該是“－1只”，所以用12 除以3才能算出買到口罩的次數(shù)。

為了激發(fā)團(tuán)隊(duì)成員參與“競(jìng)答”活動(dòng)的積極性，最后筆者在群里作了個(gè)小結(jié)：不管結(jié)果怎樣，過程都是有價(jià)值的。這也提醒我們，建模是把雙刃劍，如果不把它歸為某某問題，直接設(shè)x次出門買到，反而能更快捷地解決問題。

在幾輪“競(jìng)答”活動(dòng)結(jié)束后，筆者又把創(chuàng)編的十幾道練習(xí)題分配給幾位團(tuán)隊(duì)成員，讓他們對(duì)這些練習(xí)題進(jìn)行解析。周老師負(fù)責(zé)解析這一道“買口罩”問題，他除羅列出了假設(shè)法（類似于顧老師的解法）、列表法外，還自己命名了一種“對(duì)比法”。

對(duì)比法：讀完題目，我們發(fā)現(xiàn)10天一共實(shí)際只買到12-10=2（只），對(duì)比下來也就相當(dāng)于只有1天買到口罩，而其余的9天都做了“無用功”。這9天實(shí)際買到口罩的數(shù)量和為0，根據(jù)題目可以得到每次買到的口罩可以“抵消”掉2天虧本的口罩?jǐn)?shù)量。我們可以將3天分為一組，這3天里只要是1天買到，2天沒有買到算下來就總數(shù)為0。9÷（1+2）=3（組），3×2=6（次），意味著有6次沒有買到，10-6=4（次），4次買到口罩。

粗略看一下，覺得還挺有道理的，但仔細(xì)一推敲，便能發(fā)現(xiàn)其中邏輯的混亂。第一，“10天實(shí)際只買到了2只”這種說法是不正確的。無論出門買到還是買不到，都要消耗1只，因此出門10次實(shí)際買到的口罩就是12只，或者說實(shí)際買到的比原來的庫存多2只；第二，既然已經(jīng)“認(rèn)定”了“其余的9天都做了‘無用功’”，那還需要把這9天進(jìn)行分組嗎？如果將條件改成“原有庫存7只”，那按照這個(gè)“對(duì)比”的思路，接下來又該怎么推演呢？

通過分析，周老師終于同意把這種“對(duì)比法”去掉，因?yàn)榻處煻紱]有能夠把這種方法說清楚，那又怎么去指導(dǎo)學(xué)生呢？與其用一些“另類方法”去擾亂甚至誤導(dǎo)學(xué)生的思維，倒不如用一些最為基本的方法來啟發(fā)學(xué)生！

姜祈看見她的出現(xiàn)愣了愣，眼里光芒一閃，但很快又暗淡下去。他冷哼一聲：“這個(gè)時(shí)間點(diǎn)，學(xué)姐不該在上課嗎？”

為了進(jìn)一步闡明以上觀點(diǎn)，我建議周老師再補(bǔ)充一種列方程的解法。直接設(shè)出門x次是買到口罩的，根據(jù)“原來庫存的只數(shù)＋買到的只數(shù)－出門10次消耗掉的只數(shù)＝現(xiàn)有的只數(shù)”這一關(guān)系式，列出方程“10＋3x－10＝12”。周老師看后馬上回復(fù)：“如果這樣的話，是不是可以有更簡(jiǎn)單的方程式？原來有10只，出門10次正好消耗10只，那最后的12只是不是就可以直接看成是買到的？那就是3x＝12，你看呢？”看得出周老師這回完全理解了題目的意思，不過筆者還是堅(jiān)持原先的想法。雖然列出的方程“10＋3x－10＝12”看上去比較復(fù)雜，但它依據(jù)的關(guān)系式非常清晰，學(xué)生比較容易理解，而且適用于一般的情況。如果將條件改為“原有庫存7只”，學(xué)生就很難直接找到“3x”對(duì)應(yīng)的數(shù)量，而根據(jù)關(guān)系式“原來庫存的只數(shù)＋買到的只數(shù)－出門10次消耗掉的只數(shù)＝現(xiàn)有的只數(shù)”來列方程就容易多了。所以我們不能只追求表面的“簡(jiǎn)單”，而要看這簡(jiǎn)單的背后蘊(yùn)含的“道理”是不是更為一般，更具普遍性。某種程度上，只要學(xué)生能理解的“復(fù)雜”就是一種簡(jiǎn)單。至于學(xué)生能不能在“復(fù)雜”的基礎(chǔ)上悟出更簡(jiǎn)單的方法，那就留給他們自己去探索、發(fā)現(xiàn)吧！

題目二：“20200202”（2020年2月2日）被稱為“世界完全對(duì)稱日”。你知道21世紀(jì)一共會(huì)有多少個(gè)這樣的“世界完全對(duì)稱日”嗎？（適合五年級(jí)）

顧老師這樣“競(jìng)答”：

顧老師和筆者原來的想法基本是一致的，根據(jù)“世界完全對(duì)稱日”的排列規(guī)律，從左往右數(shù)第5、6位表示“月份數(shù)”，因此第4位數(shù)字只能是“0”或“1”，而當(dāng)?shù)?位數(shù)字大于“2”時(shí)，第4位數(shù)字就只可能是“0”了。然后，再應(yīng)用“一一列舉”的策略，就能找出21世紀(jì)所有的“世界完全對(duì)稱日”了。

后期在對(duì)這道題進(jìn)行解析時(shí)，丁老師又帶來了一種“新”的思路———

“世界完全對(duì)稱日”是指公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期，如2010年1月2日（20100102），2020年2月2日（20200202）等。

“世紀(jì)”是計(jì)算年代的單位，一百年為一個(gè)世紀(jì)。21世紀(jì)一般認(rèn)為是從2001年1月1日至2100年12月31日（也有不同的觀點(diǎn)）。

先考慮20□□年，因?yàn)椤笆澜缤耆珜?duì)稱日”的日期中數(shù)字要左右完全對(duì)稱，所以就確定了4個(gè)數(shù)字：20□□□□02。這8個(gè)數(shù)字中，從左往右數(shù)，第3、4個(gè)數(shù)字表示年份的后兩位，第5、6個(gè)數(shù)字表示月份。接下來，可以從表示月份的兩個(gè)數(shù)字入手，也就是從1月排到12月，同時(shí)在前面補(bǔ)上與之對(duì)稱的第3、4個(gè)數(shù)字。然后，用一一列舉的策略就可以找出答案啦，它們分別是：

那么，2100年有沒有“世界完全對(duì)稱日”呢？答案是否定的。因?yàn)槿绻械脑?，那得?1000012，第5、6個(gè)表示月份的數(shù)字是0、0，可是一年當(dāng)中沒有0月。所以，21世紀(jì)一共有12個(gè)“世界完全對(duì)稱日”。

很顯然，丁老師是先列舉出從左往右第5、6個(gè)數(shù)字（即月份數(shù)）的所有情況：01、02……11、12，再逆推出年份數(shù)的后兩位數(shù)字的。相比于筆者和顧老師的方法，雖然最終得到的12種情況并沒有把年份數(shù)按順序排列，但整體看卻更為簡(jiǎn)便、快捷。筆者和顧老師把視線鎖定在第3、第4個(gè)數(shù)字的特點(diǎn)上，而丁老師卻是直接從第5、第6個(gè)數(shù)字入手，從01 開始“順流直下”“一氣呵成”?？梢?，無論是在學(xué)習(xí)還是在生活中，很多時(shí)候我們看問題的視角不同，獲得的體驗(yàn)也不盡相同。多換一種角度，或許就能收獲不一樣的精彩。

題目三：假設(shè)一支援助醫(yī)療隊(duì)由137人組成，除2名領(lǐng)隊(duì)外，其余為醫(yī)護(hù)人員。其中包括5個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)和一個(gè)重癥醫(yī)療隊(duì)。普通醫(yī)療隊(duì)中醫(yī)護(hù)人員的人數(shù)比是2∶3，重癥醫(yī)療隊(duì)中醫(yī)護(hù)人員的人數(shù)比是1∶4。已知這支援助醫(yī)療隊(duì)中共有護(hù)士93人，那么每個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)中共有醫(yī)護(hù)人員多少人？每個(gè)重癥醫(yī)療隊(duì)呢？（適合六年級(jí)）

●方法一：嚴(yán)老師解答。

137-2=135（人）

5個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)醫(yī)護(hù)人數(shù)比2：3

（2×5）：（3×5）=10：15

1個(gè)重癥醫(yī)療隊(duì)醫(yī)護(hù)人數(shù)比1：4

列舉法：

護(hù)士總?cè)藬?shù)重癥醫(yī)療隊(duì)醫(yī)生人數(shù)是否是4的倍數(shù)93 15的1倍 93-15×1=78 否93 15的2倍 93-15×2=63 否93 15的3倍 93-15×3=48是93 15的4倍 93-15×4=33 否93 15的5倍 93-15×5=18 否93 15的6倍 93-15×6=3 否普通醫(yī)療隊(duì)護(hù)士總?cè)藬?shù)重癥醫(yī)療隊(duì)護(hù)士總?cè)藬?shù)

從上表看出當(dāng)普通醫(yī)療隊(duì)的護(hù)士總數(shù)為15的3倍，也就是45人時(shí)，與題目相符。

所以普通醫(yī)療隊(duì)的醫(yī)護(hù)人員總數(shù)=45÷3×（3+2）=75（人）

每個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)的人數(shù)為75÷5=15（人）

每個(gè)重癥醫(yī)療隊(duì)的人數(shù)為135-75=60（人）

●方法二：顧老師的方法。

137-2=135（人）

嘗試1：

假設(shè)普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員25［（2+3）×5=25］人，則重癥醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員110人。

因?yàn)?03比93多10人，與題目不符，所以假設(shè)不成立。

嘗試2：

假設(shè)普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員25×2=50（人），則重癥醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員135-50=85（人）。

因?yàn)?8比95多3人，與題目不符，所以假設(shè)不成立。

嘗試3：

假設(shè)普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員25×3=75（人），則重癥醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員135-75=60（人）。

與題目相符，每支普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員75÷5=15（人），每支普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員：135-75=60（人）

兩位教師都是應(yīng)用假設(shè)（假設(shè)5個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)共有護(hù)士15人或5個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)有醫(yī)護(hù)人員25人）、嘗試的方法，最終找到答案的。“除了這些方法外，還有沒有其他的方法呢？”

●方法三：嚴(yán)老師方程解法。

解：設(shè)重癥醫(yī)療隊(duì)醫(yī)護(hù)人員共x人，則普通醫(yī)療隊(duì)共（137-2-x）人。

每個(gè)普通醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員人數(shù)=（135-60）÷5=15（人），每個(gè)重癥醫(yī)療隊(duì)共有醫(yī)護(hù)人員135-75=60（人）。

前期在微信群里進(jìn)行的這一次“演練”，讓我們重新當(dāng)回了一次學(xué)生，“暴露”了在面對(duì)不太熟悉的問題時(shí)自己的一些真實(shí)想法，讓我們更加深刻地體會(huì)到“每個(gè)人都更喜歡在自己熟悉的領(lǐng)域內(nèi)兜轉(zhuǎn)，而只有把新知識(shí)放到更廣闊的情境中才能真正有助于學(xué)習(xí)”，也使我們真正認(rèn)同了“在學(xué)習(xí)中犯錯(cuò)誤并改正錯(cuò)誤，其實(shí)就是在搭建通往高層次學(xué)習(xí)的橋梁”這樣的觀點(diǎn)。相信這些前期積累下來的經(jīng)驗(yàn)，將幫助我們更好地理解學(xué)生的“認(rèn)知天性”，讓我們接下來在與學(xué)生的網(wǎng)上學(xué)習(xí)互動(dòng)中變得更理性、更從容。