淺議平面向量的運(yùn)算

陳海平

摘要：向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著及其豐富的實(shí)際背景，它源于物理學(xué)概念與理論，又通過(guò)自身的演繹、發(fā)展，形成了自己一系列的科學(xué)體系。在初等數(shù)學(xué)中具有很重要的地位和作用。由于向量有別于數(shù)量，它既有大小又有方向，因此很多地方與數(shù)量不同，本文通過(guò)對(duì)平面向量的運(yùn)算的探討，揭示向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：平面向量;運(yùn)算法則;運(yùn)算律

一、如何認(rèn)識(shí)平面向量

1.理解概念：既有大小又有方向的量叫做向量。物理學(xué)中位移，速度，力等都是向量，在物理學(xué)中向量又叫做矢量。如果我們探討的向量都位于同一個(gè)平面內(nèi)，則把這些向量叫平面向量。從向量的定義中看出，向量不同于數(shù)量的地方就是它含有“方向”這個(gè)要素。兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的“模”可以比較大?。ㄏ蛄康拇笮〗凶鱿蛄康哪＃?，兩個(gè)向量相等必須是模相等且方向相同。

2.認(rèn)識(shí)運(yùn)算：平面向量運(yùn)算包括加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、內(nèi)積運(yùn)算等。加法、減法是指兩個(gè)或多個(gè)向量之間可以進(jìn)行加法、減法運(yùn)算，運(yùn)算要按照平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行，其運(yùn)算法則來(lái)源于物理學(xué)中共點(diǎn)力的合成定則。向量的加法、減法結(jié)果仍是一個(gè)向量，向量和實(shí)數(shù)不能進(jìn)行加、減運(yùn)算。向量的數(shù)乘運(yùn)算是指向量可以與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘，其結(jié)果仍然是一個(gè)向量。向量的內(nèi)積是指兩個(gè)向量之間的一種乘積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，因此，向量的內(nèi)積又叫數(shù)量積、“點(diǎn)積”。這種乘積也源自物理學(xué)，比如物理學(xué)中“功”的定義。向量的乘法還有兩種：“外積或叉積或矢量積”與混合積。目前，在高中階段只要求了解平面向量的加法、減法、數(shù)乘、內(nèi)積這幾種運(yùn)算。

3.突出向量與數(shù)量的區(qū)別：從概念中就應(yīng)該知道，向量是在數(shù)的基礎(chǔ)上加了方向這個(gè)要素，這樣一來(lái)向量比較大小就沒(méi)有任何意義了。數(shù)可以進(jìn)行連加、連乘運(yùn)算，向量也可以進(jìn)行連加運(yùn)算，但是沒(méi)有連乘，向量沒(méi)有任何意義，與雖然有意義，但是它們不相等，這與我們對(duì)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的認(rèn)知是不是有很大差別？向量在幾何上是用一條有向線(xiàn)段表示的，它更像一個(gè)幾何概念，向量的加法遵循三角形法則或平行四邊形法則，向量的摸等于2，向量的摸等于3，那么向量的摸等于5嗎？當(dāng)然不對(duì)。因此，學(xué)習(xí)向量時(shí)，必須注意它與數(shù)的區(qū)別。

4.牢牢抓住向量坐標(biāo)的運(yùn)算工具：平面向量的基本定理，給了我們向量的另一種表示法，它再次地把數(shù)和形完美地統(tǒng)一了起來(lái)。有了向量的坐標(biāo)，就大大方便了我們探討向量的垂直與共線(xiàn)。同時(shí)為探究平面兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式提供了方法。

二、平面向量的運(yùn)算及運(yùn)算律

1.平面向量的加法：平面向量的加法有兩種法則：三角形法則與平行四邊形法則，這兩種法則是等價(jià)的，它們的邏輯順序是先有平行四邊形法則，然后推出三角形法則。這是因?yàn)槠叫兴倪呅畏▌t是由物理學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)論，然后結(jié)合自由向量的概念衍生出了三角形法則。（如圖）

由平行四邊形法則，容易得出向量加法的交換律：

三角形法則的使用條件是：兩個(gè)向量要首尾相接，即求向量時(shí)，的起點(diǎn)要接的終點(diǎn)，然后由的起點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量就是。 這樣一來(lái)，對(duì)于共線(xiàn)向量也可以按照三角形法則求和的方法求共線(xiàn)向量的和了，這說(shuō)明三角形法則可以看作是平行四邊形法則的推廣，它適用于任意兩個(gè)向量的求和。

用三角形法則，可以非常方便地對(duì)多個(gè)向量連續(xù)求和，只需要讓這些向量保持首尾相接即可。

2.平面向量的減法：“減去一個(gè)向量，等于加上這個(gè)向量的相反向量”。通過(guò)相反向量，把向量的減法于加法統(tǒng)一成了一種運(yùn)算，為向量的線(xiàn)性運(yùn)算提供了方便。

3.平面向量的數(shù)乘運(yùn)算：“實(shí)數(shù)與向量的乘積仍是一個(gè)向量，記作，叫做的數(shù)乘向量，這個(gè)向量的摸等于，方向：當(dāng)時(shí)，與同向，當(dāng)時(shí)，與反向，當(dāng)時(shí)，就是零向量”。在規(guī)定了零向量與任何向量同向后，通過(guò)數(shù)乘向量，得出了“兩個(gè)向量與共線(xiàn)的充分必要條件”：存在唯一確定的實(shí)數(shù)，使（或）成立。它是后面“平面向量基本定理”的基礎(chǔ)。

5.平面向量的內(nèi)積：我們把，及三個(gè)數(shù)的乘積叫做向量與的內(nèi)積（這里符號(hào)表示向量與的夾角，范圍：，顯然有），記作，即。向量的內(nèi)積源自物理學(xué)中“功”的定義，具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

內(nèi)積的運(yùn)算律：交換律;分配律;

特別需要強(qiáng)調(diào)，乘法（內(nèi)積）結(jié)合律不成立，即一般地，想想與各自的含義，就不難理解。同樣的，消去律也不成立，即不能由，推出，因?yàn)榭赡懿还簿€(xiàn)，即便它們共線(xiàn)，方向也可能相反。這與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有很大區(qū)別，學(xué)習(xí)中，如果不注意，往往由于知識(shí)的負(fù)遷移，容易把實(shí)數(shù)運(yùn)算律搬到向量中來(lái)，產(chǎn)生不必要的錯(cuò)誤。

對(duì)于交換律，由內(nèi)積的定義，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算律是很容易證明的，而分配律的證明就不太容易，需要用到向量的射影定理。

有了向量?jī)?nèi)積運(yùn)算的分配律，我們?cè)诤竺嫱茖?dǎo)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算法則時(shí)就有了依據(jù)，使得向量和與向量和的內(nèi)積也可以按照多項(xiàng)式乘法展開(kāi)計(jì)算了。

三、平面向量的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量基本定理：設(shè)與是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量，則對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量，必存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得成立。

這個(gè)定理，根據(jù)前面定義的向量加法的平行四邊形法則，很容易得到證明，這里把證明留給讀者。

2.平面向量的坐標(biāo)：設(shè)、分別是與x軸、y軸同方向的兩個(gè)單位向量，由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，都存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得

以上對(duì)平面向量運(yùn)算的探討，有助于學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)和理解，當(dāng)然，限于篇幅，有些地方過(guò)于簡(jiǎn)單，僅供參考。