基于問題學(xué)習(xí)的數(shù)字圖像均值濾波器教學(xué)研究

傅志中，李曉峰，周 寧，徐 進，何 翔

（電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，成都611731）

0 引 言

“百聞不如一見”凸顯了人類在生產(chǎn)和生活中對圖像信息認知與獲取的重要性。近年來，隨著處理器計算能力的快速發(fā)展和機器學(xué)習(xí)等人工智能技術(shù)的進步，數(shù)字圖像處理技術(shù)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防和醫(yī)療等各個領(lǐng)域都得到了越來越廣泛的應(yīng)用，數(shù)字圖像處理課程已經(jīng)逐漸成為高校電子信息類專業(yè)的一門重要專業(yè)課程。

數(shù)字圖像處理課程是一門涉及多學(xué)科交叉領(lǐng)域的綜合課程，其理論性和實踐性都較強。其中，圖像濾波算法是一種廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像處理的基本圖像處理技術(shù)，在經(jīng)典的圖像數(shù)字圖像處理教材［1-3］中都進行了詳細的原理闡述。但是，限于教材的整體結(jié)構(gòu)組織及教材的時效性特點，上述教材對于圖像濾波算法的原理性闡述都是片段化、離散化的，沒有及時吸收最新的圖像濾波算法，沒有從系統(tǒng)性的角度對圖像濾波算法的發(fā)生、發(fā)展及其濾波算法之間的內(nèi)在聯(lián)系進行闡述。因此，盡管學(xué)生學(xué)習(xí)了各個濾波算法，但都不能對濾波算法有一個整體的認識和理解，缺乏理論聯(lián)系實際的工程應(yīng)用過程，導(dǎo)致學(xué)生在面對工程問題時，缺乏解決問題的創(chuàng)新性思維和方法。

韓智等［4］把基于項目學(xué)習(xí)的教學(xué)策略引入到數(shù)字圖像處理的實驗課教學(xué)中，以指紋圖像的特征提取為例，引導(dǎo)學(xué)生將多個知識點進行有機聯(lián)系，提高學(xué)生解決實際問題的能力。這種教學(xué)模式，需要學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)或掌握相關(guān)知識點內(nèi)容，不適合于初學(xué)者對圖像處理算法的學(xué)習(xí)與理解。吳冬梅［5］將研究性教學(xué)引入到課堂教學(xué)中，對研究性教學(xué)的目的、課堂教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容設(shè)置和教學(xué)實施方式等多個方面都進行了較為詳細的闡述，但是，該文沒有詳細的教學(xué)案例。張顯斗等［6］在研究生數(shù)字圖像處理課程教學(xué)中，探索了以擬講授知識點的相關(guān)研究論文為導(dǎo)向的教學(xué)模式，實踐了以一個完整的成像系統(tǒng)實驗內(nèi)容為依托的實驗內(nèi)容改革。這種探索，對于提高學(xué)生的工程認知與研究能力具有重要意義。陳青［7］探索了以學(xué)生已有知識為基礎(chǔ)，采用啟發(fā)式、探究式和研討式等多種教學(xué)方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。盛敏［8］根據(jù)數(shù)字圖像處理的多學(xué)科交叉特性，探索圖像處理算法的來龍去脈，針對學(xué)生個體差異，實施分層教學(xué)方案，并將理論教學(xué)與實踐教學(xué)緊密結(jié)合。實踐表明，該教學(xué)方法能顯著提高具有較好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強計算機操作能力學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。但是，這些教學(xué)模式，對于擬講授的知識點而言，沒有深入挖掘知識點之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。吳興華等［9］以突出算法的應(yīng)用性能和特點，針對不同的圖像噪聲，分析了圖像均值濾波、中值濾波、高斯濾波和頻域濾波等多種濾波器原理，并根據(jù)其原理，以實際案例進行講授。該教學(xué)方法對于學(xué)生理解不同濾波器原理具有重要意義，但是，由于該文討論的濾波范圍寬，因此沒有給出不同濾波器之間的內(nèi)在聯(lián)系。

基于問題的學(xué)習(xí)方法［10-11］對學(xué)生創(chuàng)新實踐能力培養(yǎng)的具有重要意義，劉春城等［12］從教學(xué)問題設(shè)計及問題庫建設(shè)等方面進行了有益的探索，梁佩鵬等［13-14］將該方法引入到課堂與實驗教學(xué)中，取得了良好的教學(xué)效果。以圖像線性均值濾波算法為例，首先分析圖像均值濾波器、高斯濾波器、雙邊濾波器［15］和非局部均值濾波器［16］的算法設(shè)計思想及其之間的內(nèi)在聯(lián)系。之后以問題為導(dǎo)向，逐步將不同應(yīng)用環(huán)境中的圖像濾波問題呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識、分析不同應(yīng)用環(huán)境中面臨的實際問題。通過該引導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生從應(yīng)用中提出問題、解決問題的工程素質(zhì)，實現(xiàn)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

1 教學(xué)內(nèi)容

受零均值噪聲污染的圖像，根據(jù)隨機信號分析理論，采用均值濾波器能有效抑制圖像噪聲、提高圖像輸出的信噪比。圖像線性均值濾波可根據(jù)其濾波器特性，分為常規(guī)均值濾波［1］、高斯濾波［1］、雙邊濾波［15］和非局部均值濾波［16］等4類。

1.1 常規(guī)均值濾波原理

常規(guī)均值濾波算法，也稱為鄰域均值濾波法，是最基本和簡單的一種圖像濾波方法。設(shè)待濾波圖像為｛Ip，p＝（i，j），i∈［1M］，j∈［1N］｝，其中M和N分別是圖像的水平和垂直方向的像素數(shù)，Ip是圖像在位于坐標(biāo)p處的像素取值。δp是位于坐標(biāo)p處像素的鄰域坐標(biāo)集合，也稱為濾波模板。則鄰域均值濾波算法為：

式中：‖δp‖0為δp的零范數(shù)，即鄰域中的像素個數(shù)，也稱為濾波模板尺寸；p為位于坐標(biāo)p處濾波后的像素取值。模板尺寸對濾波的效果有顯著的影響，需要根據(jù)圖像特性選擇合適的模板尺寸。鄰域均值法在抑制噪聲的同時，也會使圖像變得模糊。模板尺寸越大，濾波后的圖像就越模糊。模板的尺寸大小一般為奇數(shù)。

1.2 高斯濾波原理

如果噪聲源是零均值高斯噪聲類型，則最佳的噪聲抑制濾波器是采用高斯濾波器。高斯濾波器的模型為：

式中：wq為服從二維高斯分布的加權(quán)函數(shù)，Ipg為高斯濾波器輸出結(jié)果。該模板取值由如下的高斯函數(shù)決定：

式中：Gσs（·）的定義與高斯濾波器類似；‖p-q‖為鄰域δp內(nèi)所有像素q與鄰域中心像素p的距離；σs為高斯模板的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差越小，二維高斯模板圖像越小，平滑效果不明顯；標(biāo)準(zhǔn)差越大，高斯模板圖像越大，濾波效果比較明顯。

1.3 雙邊濾波原理

應(yīng)用均值濾波或高斯濾波對圖像信號進行濾波時，圖像信號必須是平穩(wěn)的，否則圖像的邊緣將被模糊掉。為適應(yīng)非平穩(wěn)圖像信號的噪聲抑制，Tomasi［15］于1998年提出了雙邊濾波算法。該濾波器不僅考慮了圖像像素空域位置之間的距離，還考慮了像素之間亮度或色彩差異，使得在有效濾除圖像噪聲的同時，保持圖像邊緣銳利特性。雙邊濾波器的模型為：

式中：Gσs（·）和Gσv（·）的定義與高斯濾波器類似；為雙邊濾波器輸出結(jié)果。‖Ip-Iq‖為鄰域δp內(nèi)所有像素位置q的像素值與鄰域中心像素位置p的像素值差異；σv為像素值差異高斯模板的標(biāo)準(zhǔn)差。類似高斯濾波器，標(biāo)準(zhǔn)差越小，二維高斯模板圖像越小，平滑效果不明顯；標(biāo)準(zhǔn)差越大，高斯模板圖像越大，濾波效果比較明顯。

1.4 非局部均值濾波原理

研究發(fā)現(xiàn)，圖像信號的局部特征在空域具有重復(fù)特性，即圖像中的任意一個像素位置的局部取值特性，在當(dāng)前圖像中的其他像素位置也會出現(xiàn)?；趫D像像素的該特性，Buades等［16］提出了一種非局部均值濾波算法。即根據(jù)待濾波的像素位置的局部取值特性，根據(jù)一定的相似性準(zhǔn)則，在整幅圖像的其他像素位置，尋找具有相似特性的像素q，由于單個像素易受噪聲影響，因此在計算相似性時，通常以像素的局部鄰域特性來計算相似性。非局部均值濾波器的模型為：

式中：ηp為根據(jù)相似性計算方法得到的相似性像素集合，r∈ηp，pn為非局部均值濾波器輸出結(jié)果。計算兩個像素相似性的最常用方法是計算其所在區(qū)域圖像塊的歐氏距離為：

2 教學(xué)案例設(shè)計

從上述濾波器的原理描述可知，常規(guī)均值濾波、高斯濾波、雙邊濾波和非局部均值濾波等4類，都是針對零均值高斯噪聲設(shè)計的濾波算法，對高斯噪聲都有顯著的噪聲抑制作用。目前的教材和相關(guān)教學(xué)中，沒有將這幾種濾波器進行對比，學(xué)生在學(xué)習(xí)了這幾種濾波器之后，不能深刻理解這幾種濾波算法之間存在的緊密聯(lián)系和差異，因而不能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維及解決問題的能力。

（1）設(shè)計一幅同時有局部均值平穩(wěn)和非平穩(wěn)區(qū)域的棋盤格仿真圖像，以案例方式，逐漸展開不同濾波算法的優(yōu)缺點。以解決工程問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生思考問題，解決問題。最后以實際圖像濾波為例，進一步揭示仿真測試與實際工程應(yīng)用之間存在的差異。從原理描述可知，常規(guī)均值濾波算法，對于圖像局部均值平穩(wěn)的圖像信號，其濾波效果顯著，能顯著抑制噪聲。但是，對于實際的圖像信號，在圖像平坦區(qū)域，其均值在小范圍內(nèi)存在均值平穩(wěn)性。隨著濾波器模板尺寸擴大，其均值是非平穩(wěn)的。特別是位于圖像邊緣的像素，其相鄰像素的統(tǒng)計均值是不平穩(wěn)的。因此，高斯均值濾波算法，相對于常規(guī)均值濾波算法，對位于平坦區(qū)域的像素，具有更好的噪聲抑制。雙邊濾波算法和非局部均值濾波算法能更好地適應(yīng)均值非平穩(wěn)的圖像信號，特別是非局部均值濾波算法，能更好地抑制位于圖像邊緣處像素的噪聲。

圖1（a）所示是黑白相間的棋盤格，灰色區(qū)域部分的像素取值為0，白色區(qū)域部分的像素取值為1。在白色或灰色區(qū)域的各自區(qū)域內(nèi)，所有像素的鄰域均值是等同的，即均值是平穩(wěn)的。但不同區(qū)域之間的像素的均值是非平穩(wěn)的。圖1（b）所示是均值為0，方差為0.001噪聲污染圖像，圖1（c）所示是污染圖像的局部放大圖。

圖1 黑白相間的棋盤格

首先應(yīng)用常規(guī)均值濾波算法，濾波模板尺寸為3×3，對圖1（c）進行濾波，其濾波圖像如圖2所示。

圖2 常規(guī)均值濾波結(jié)果

圖2（a）和（c）所示分別是3×3和7×7模板的常規(guī)均值濾波結(jié)果，圖2（b）和（d）所示分別是圖2（a）和（c）的局部區(qū)域放大結(jié)果。在局部放大圖2（b）和（d）中，平滑區(qū)域的噪聲都得到了明顯的抑制，但噪聲的影響還存在，同時，在兩種平滑區(qū)域的交界處，邊緣都因為模板的平滑作用而變得模糊。

針對此問題，教師要求學(xué)生自主提出解決方案。根據(jù)實驗結(jié)果，學(xué)生能給出增大模板尺寸、實現(xiàn)平滑區(qū)域的噪聲抑制的建議。但對于邊緣平滑問題，未能給出有效建議。在給出高斯噪聲在空間分布呈現(xiàn)中間高，邊緣低的提示后，學(xué)生能給出采用高斯濾波的建議。

圖3（a）、（b）和（c）所示分別是3 ×3、7 ×7 和15×15模板的高斯均值濾波結(jié)果的局部放大圖。結(jié)果顯示，高斯濾波相對于常規(guī)均值濾波能取得更好的噪聲抑制效果，并且隨著模板尺寸增加，噪聲抑制效果更好，并且邊緣模糊更低一些。但是，在兩種平滑區(qū)域的交界處，邊緣仍然因為高斯模板的平滑作用而變得模糊。

圖3 高斯均值濾波結(jié)果

針對邊緣仍然模糊的問題，教師與學(xué)生一起分析問題。指出，在平穩(wěn)區(qū)域，上述濾波算法都能取得較好的噪聲抑制效果，但在非平穩(wěn)區(qū)域，噪聲被抑制的同時，圖像質(zhì)量出現(xiàn)惡化。引導(dǎo)學(xué)生思考，是否可以對不同的區(qū)域，采用不同的方式來處理？基于該處理思想、給出了雙邊濾波算法的實現(xiàn)結(jié)果。

圖4（a）和（b）所示分別是雙邊濾波結(jié)果及局部放大圖像。圖4（b）中，噪聲被顯著抑制的同時，圖像的邊緣也沒有因為濾波而惡化，得到了良好的保持。至此，通過逐次展示各種濾波算法的實驗結(jié)果，使得學(xué)生理解了不同濾波算法在圖像噪聲抑制中的特點及其關(guān)系。

圖4 雙邊濾波結(jié)果

（2）設(shè)計了一個問題：針對高斯噪聲，是否雙邊濾波就是最好的濾波器了？還有更好的濾波算法嗎？針對上述的棋盤格仿真圖像，學(xué)生對此展開討論并指出雙邊濾波算法確實已經(jīng)滿足要求，應(yīng)該能滿足工程應(yīng)用了。針對學(xué)生的討論結(jié)果，教師隨后給出了受高斯噪聲污染的Lena圖像。學(xué)生才發(fā)現(xiàn)，基于仿真圖像得到的結(jié)論，還不能代表實際圖像的測試結(jié)果。

針對此問題，教師給出提示，是否可以借鑒雙邊濾波算法的思想。濾波算法中，參與濾波的像素是否必須具有相同的特性。由于實際圖像的復(fù)雜性，要求學(xué)生思考如何選擇參與濾波的像素，以什么準(zhǔn)則來選取性質(zhì)相同的像素等問題。從而引出了非局部均值濾波算法原理。

以圖5為示例，揭示非局部均值濾波思想。圖中p為當(dāng)前待濾波的像素，取p的一個矩形鄰域δp，在整幅圖像中，采用最小均方誤差準(zhǔn)則，搜索出與δp相似的像素點，如圖所示的q1，q2，q33個像素點。之后，采用式（6）得到像素點p的濾波結(jié)果。

圖5 非局部均值濾波算法相似性原理［16］

至此，通過仿真圖像和實際圖像的算法測試、問題分析及問題解決，引導(dǎo)學(xué)生完成了從理論仿真、算法分析至工程應(yīng)用的整個過程，實現(xiàn)圖像處理中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

3 結(jié) 語

針對幾種圖像均值濾波器算法的內(nèi)在邏輯關(guān)系和不同應(yīng)用環(huán)境所面對的圖像濾波問題，以解決工程問題為中心，引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識，在案例中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生從工程應(yīng)用中提出問題、解決問題的工程素質(zhì)，實現(xiàn)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。