基于成本指數(shù)的民機四維航跡預(yù)測優(yōu)化算法

樊劉仡 鄭智明 薛 飛 王 青

(上海飛機設(shè)計研究院，上海 201210)

0 引言

隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，空中交通運輸需求與日俱增，空域擁堵、航班延誤等問題日益嚴(yán)重，給民航安全、高效運行帶來了嚴(yán)峻的壓力。為了應(yīng)對目前空中交通運輸上存在的問題，國際民航組織提出了全球空中交通管理運行戰(zhàn)略[1-3]。該戰(zhàn)略指導(dǎo)未來空中交通管制從基于指令運行(Command-Based Operation，簡稱CBO)向基于軌跡運行(Trajectory-Based Operation，簡稱TBO)轉(zhuǎn)變，而基于軌跡運行的理念在時間與空間上對航空器飛行軌跡的預(yù)測提出了更高精度的要求。

軌跡預(yù)測是按照飛行計劃中的控制方案驅(qū)動飛機性能模型進行飛行全過程的快速數(shù)值仿真[4]。它不僅能夠計算得到飛機飛行的三維軌跡，而且能夠預(yù)測出飛機在飛行軌跡上每一點的時間、空速、地速、質(zhì)量、油耗、升力和阻力等全狀態(tài)信息，得到飛行全過程的高維預(yù)測數(shù)據(jù)。為減少空氣污染，節(jié)省燃料消耗，除了在飛機設(shè)計階段采取多種優(yōu)化技術(shù)以外，也可以在運營階段利用FMS計算最優(yōu)高度速度計劃表和最優(yōu)軌跡對飛機的性能進行優(yōu)化[5-6]。

優(yōu)化參考軌跡主要有兩種手段，一是考慮飛行器運動方程(Equation of Motion，簡稱EOM)，用最優(yōu)控制的方法來得到最優(yōu)軌跡[7-8]；二是動態(tài)查詢性能數(shù)據(jù)庫[9-10]，考慮在風(fēng)或者高度變化因素影響下的性能優(yōu)化問題。由于FMS計算效率不高，難以使用EOM進行大量實時運算，因此通常使用查詢性能數(shù)據(jù)庫(Performance Database，簡稱PDB)中的經(jīng)驗表格的方法來完成計算。PDB中的數(shù)據(jù)以離散形式存儲，因此可以將軌跡優(yōu)化問題視為一個組合優(yōu)化問題。對于優(yōu)化指標(biāo)的選擇一般有燃油消耗和飛行時間兩種，飛行成本指數(shù)能夠?qū)烧哌M行有效的權(quán)衡，因此本文提出了一種基于成本指數(shù)的方法對民用飛機的四維航跡預(yù)測進行優(yōu)化。

1 成本指數(shù)與代價函數(shù)

飛行成本是飛行航跡優(yōu)化過程中必須考慮的關(guān)鍵指標(biāo)。一般來說，飛行成本可以分為固定成本和變動成本。其中固定成本在一定范圍內(nèi)與航空公司業(yè)務(wù)量變化關(guān)系不大，譬如發(fā)動機大修費用、機組固定工資、月固定租賃費用、飛行訓(xùn)練費用等。變動成本包括燃油成本和其他與飛行時間相關(guān)的成本(以下稱為時間成本)，譬如機組的小時薪水提成、小時租賃費用、飛機維護成本等。

飛行航跡的優(yōu)化通常只考慮變動成本，即燃油成本和時間成本，而不將固定成本考慮在內(nèi)。記單位燃油成本為Cf元/kg，單位時間成本為Ct元/min，則可以定義成本指數(shù)(Cost Index，簡稱CI)為：

(1)

單位為：kg/min。

成本指數(shù)一般由機組人員在飛機起飛前通過顯示控制系統(tǒng)的人機界面輸入到飛行管理計算機中。成本指數(shù)的取值反映了時間成本和燃油成本在飛行總成本中的構(gòu)成比例。當(dāng)成本指數(shù)為0時，表征時間成本可以忽略不計，飛行成本的全部權(quán)重集中于燃油成本，此時優(yōu)化的結(jié)果為最省油的飛行模式，即最大燃油里程模式。當(dāng)成本指數(shù)取最大值時，表征燃油成本可以忽略不計，飛行成本的全部權(quán)重集中于時間成本，此時優(yōu)化的結(jié)果為最短飛行時間。一般來說，按照最大燃油里程模式飛行速度太慢。當(dāng)飛機處于最大燃油里程狀態(tài)飛行時，以多消耗1%燃油為代價就可以換取3%～5%的速度提升。因此，在實際工程中，一般不會將成本指數(shù)設(shè)為0。同理，也不會將成本指數(shù)設(shè)為最大值。對于不同的飛機和不同的航空公司，成本指數(shù)的取值范圍也會有很大差別。以波音系列飛機為例，表1展示了部分型號飛機飛行過程中選用的成本指數(shù)的范圍。

表1 波音系列飛機成本指數(shù)取值范圍

在實際運行過程中，通常會將成本指數(shù)設(shè)置為兩者之間較為合適的值。表2顯示了波音系列飛機成本指數(shù)推薦的取值。

表2 波音系列飛機成本指數(shù)推薦取值

通過成本指數(shù)，可以計算飛行的直接運行成本(Direct Operating Cost, 簡稱DOC)：

(2)

其中,t0為起飛時刻，tf為降落時刻，f為燃油流量(單位時間內(nèi)消耗的燃油量)。

飛行成本的變化與巡航速度的選取有密切的關(guān)系，如圖1所示。時間成本隨巡航速度的增大而遞減，燃油成本隨巡航速度的變化會出現(xiàn)極小值，極小值處取得最大燃油里程速度。當(dāng)速度小于最大燃油里程速度時，燃油成本隨巡航速度增大而減?。划?dāng)速度大于最大燃油里程速度時，燃油成本隨巡航速度增大而增大?？偝杀倦S巡航速度的變化也會出現(xiàn)極小值，極小值處取得最經(jīng)濟巡航速度。

成本指數(shù)對垂直剖面的影響如圖2所示。成本指數(shù)增加會導(dǎo)致爬升頂點和下降頂點在水平方向上的投影均向前運動。

圖2 成本指數(shù)變化對上升頂點和下降頂點位置的影響

針對軌跡優(yōu)化需要定下優(yōu)化的目標(biāo)，即獲取計算航程代價的函數(shù)，根據(jù)需求的不同，航程代價一般指航行中的燃油消耗、時間、成本指數(shù)CI的綜合代價。

定義航程成本如式(3)所示：

Cost=FBurned+CI×TFlight

(3)

其中，F(xiàn)Burned是總航程的燃油消耗，單位kg，TFlight是總航程時間，單位min，CI是成本指數(shù)，單位kg/min。CI一般由運營方提供，CI越高，表明時間成本比重越高。

2 四維航跡優(yōu)化方法

根據(jù)ARINC702A中關(guān)于性能計算模塊的規(guī)定，機載性能數(shù)據(jù)庫主要由以下三個方面組成:

1)飛機氣動模型數(shù)據(jù)庫，內(nèi)容包括升力系數(shù)、阻力極曲線等飛機氣動外形數(shù)據(jù)；

2)發(fā)動機數(shù)據(jù)庫，主要由發(fā)動機推力模型和耗油特性數(shù)據(jù)組成，內(nèi)容包括發(fā)動機推力模式、推力限制、推力使用狀態(tài)以及對應(yīng)的耗油特性等數(shù)據(jù)。

3)空中性能數(shù)據(jù)庫，內(nèi)容包括飛機在起飛、爬升、巡航、下降和著陸階段等飛行模態(tài)下的速度、燃油消耗、時間、水平距離和重量等數(shù)據(jù)。同時還包括基于性能數(shù)據(jù)二次計算得到的與航路相關(guān)的性能數(shù)據(jù)，以便機載性能管理。

飛機性能手冊中提供的數(shù)據(jù)包含曲線和表格兩種形式，將數(shù)據(jù)整理構(gòu)建成便于系統(tǒng)調(diào)用的數(shù)據(jù)庫，涵蓋飛行包線數(shù)據(jù)、發(fā)動機數(shù)據(jù)和空中性能數(shù)據(jù)三個方面以供FMC調(diào)用。由于很多數(shù)據(jù)是離散存儲的，因此可以使用插值方法進行制備和查詢。

為了尋找最優(yōu)的軌跡，需要計算按照不同速度高度計劃表飛行的航程代價并進行比較，如果采取巡航階段階梯爬升，也需要計算爬升所帶來的額外代價。最后，利用窮舉的辦法，計算所有可行的軌跡，選擇總航程代價最低者作為最優(yōu)的垂直剖面。

根據(jù)第1節(jié)的描述，以航程代價最小為目標(biāo)時，軌跡優(yōu)化的主要環(huán)節(jié)在巡航階段，可以用基于成本指數(shù)的方法進行優(yōu)化。

3 最經(jīng)濟巡航速度的計算

飛機在巡航階段飛行時，高度變化量近似為0，速度變化量近似為0，巡航過程中迎角很小，α也可近似視為0。在飛機水平航跡確定的情況下，其在垂直剖面內(nèi)的運動可以近似用質(zhì)心運動方程來描述：

(4)

其中，x為飛機在水平方向上的位置，v為飛行真空速，T為發(fā)動機推力，D為阻力，L為飛機升力，m為飛機質(zhì)量，g為重力加速度，η為推力單位燃料消耗。

根據(jù)第2節(jié)對飛機性能模型的描述，可以得到如下關(guān)系：

在垂直剖面的優(yōu)化過程中，優(yōu)化目標(biāo)是飛行總成本：

其中，F(xiàn)為總?cè)加拖牧?，f為燃油流量，t為飛行時間，CI為成本指數(shù)，Cf為燃油價格，Ct為單位時間成本，η為推力單位燃料消耗，D為飛機阻力。在優(yōu)化過程中給定了初始飛行時刻t0，初始飛機重量m0，初始位置x0。

考慮到燃油價格Cf是給定的值，因此優(yōu)化目標(biāo)可以寫成：

s.t.

x(t0)=x0,x(tf)=xf,m(t0)=m0,h(t)=h0

(7)

取v為優(yōu)化變量，使用HJB方程求解上述優(yōu)化問題，得到最經(jīng)濟巡航速度v*，并通過仿真的方法作出v*隨巡航高度的變化關(guān)系如圖3所示。圖中，各條曲線代表不同成本指數(shù)下的情況，巡航重量取240 t，成本指數(shù)變化范圍取0～100，每間隔10取一個樣本點；橫坐標(biāo)代表巡航高度，變化范圍取0 m～12 000 m，每隔100 m取一個樣本點；縱坐標(biāo)代表計算得到的最經(jīng)濟巡航速度。

圖3 最經(jīng)濟巡航速度隨高度的變化關(guān)系示意圖(不同成本指數(shù)下)

從圖中可以看出，當(dāng)巡航高度在7 000 m～11 000 m范圍內(nèi)變化時，計算出的最經(jīng)濟巡航速度與高度呈現(xiàn)近似線性關(guān)系。當(dāng)高度達到對流層頂后，溫度不再隨高度增加而變化，因此圖像上曲線斜率在該點處發(fā)生改變，如圖4所示。

圖4 最經(jīng)濟巡航速度隨高度的變化關(guān)系示意圖(7 000 m～12 000 m段)

由于v*與h之間存在局部近似線性關(guān)系，因此可以利用最小二乘的方法擬合曲線斜率。這樣，只要知道了給定成本指數(shù)下某一巡航高度對應(yīng)的最經(jīng)濟巡航速度，很快就能通過擬合公式計算其他高度對應(yīng)的最經(jīng)濟巡航速度。

4 最經(jīng)濟巡航高度的計算

類似的，以巡航高度為優(yōu)化變量，使用HJB方程求解上述優(yōu)化問題，發(fā)現(xiàn)在巡航速度確定后，巡航高度越高，巡航總成本越小。因此對于高度的優(yōu)化需要利用飛行包線的限制。

受飛機性能和空中交通管制約束，民航飛機只能在一定的飛行包線內(nèi)飛行。以波音747飛機為例，其巡航馬赫數(shù)限制不能超過0.89 Ma，巡航高度不能高于45 000 ft。取最大巡航馬赫數(shù)為0.85 Ma, 假設(shè)巡航高度變化范圍為7 000 m～12 000 m。飛機在某個巡航高度上飛行時，速度不能無限增大。加速過程中，當(dāng)最大推力等于阻力時，飛機達到最大速度。類似地，飛機飛行高度也不能無限增大。隨著飛行高度的增大，發(fā)動機最大推力減小，直到不足以克服飛行受到的阻力，飛機的飛行高度下降。

根據(jù)飛機性能模型，有：

其中，ΔTeff=ΔT-CTc,4,0≤ΔTeff·CTc,5≤0.4,CTc,5≥0,CTc,3=0,CFcr=0.966。

又：

(9)

其中，

令最大巡航推力等于阻力，

(11)

則：

解得：

(13)

此即為最大巡航高度的約束條件，發(fā)現(xiàn)其與飛機巡航重量相關(guān)。飛機巡航重量減小時，最大巡航高度會隨之增大。對于起飛重量250 t的情況，可以計算最大巡航高度約為10 700 m，約合35 000 ft。

下面討論在固定飛行高度的情況下巡航速度的約束條件,可得：

在巡航重量240 t的條件下，改變巡航高度，可以得到速度約束如圖5所示。

圖5 最大巡航速度隨巡航高度變化曲線(推力約束下)

可見隨著巡航高度的增大，最大巡航速度限值隨之減小。取速度最大限值時飛行總成本的變化曲線如圖6所示，其中巡航高度變化范圍為10 000 m～10 600 m，每隔100 m取一個樣本點，成本指數(shù)取為30。發(fā)現(xiàn)在發(fā)動機最大推力約束下，總成本隨巡航高度的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的變化趨勢。

考慮0.85 Ma的最大巡航馬赫數(shù)限值。固定巡航速度為0.85 Ma，改變巡航高度，從7 000 m～10 000 m，每隔500 m取一個樣本點。得到飛行總成本隨巡航高度的變化曲線如圖7所示。在最大巡航馬赫數(shù)的條件下，隨著巡航高度的增大，飛行總成本逐漸減小。

圖6 取速度最大限值時飛行總成本隨巡航高度變化曲線(推力約束下)

圖7 飛行總成本隨巡航高度變化曲線(最大巡航馬赫數(shù)約束下)

綜合以上分析，可以得到最經(jīng)濟巡航高度的求解方法，如圖8所示。

圖8 最經(jīng)濟巡航高度求解示意圖

其中一族平行的直線表示不同成本指數(shù)下最經(jīng)濟巡航速度隨巡航高度的變化情況；黑色虛線表示最大巡航馬赫數(shù)的限制，本文中取0.85 Ma；黑色實線表示發(fā)動機最大推力對巡航速度的限制。

以成本指數(shù)CI取30，起飛重量取250 t的情況為例進行分析。圖8中①過程可以分解為④過程加⑤過程。在④過程中巡航速度不變，巡航時間成本近似不變，當(dāng)巡航高度增大時，由于大氣密度下降，阻力減小，因此燃油消耗減少，燃油成本降低，導(dǎo)致飛行總成本降低；在⑤過程中，由于是在高度不變的情況下向最經(jīng)濟巡航速度的方向變化，因此飛行總成本會降低。綜合對④、⑤過程的分析，可知①過程中飛行總成本是單調(diào)下降的，即隨著巡航高度的增加，最經(jīng)濟巡航速度對應(yīng)的飛行總成本單調(diào)遞減。②過程沿著最大巡航馬赫數(shù)限制線變化，根據(jù)圖7的實驗結(jié)果知，當(dāng)巡航高度增加時，飛行總成本呈現(xiàn)下降趨勢。③過程沿著發(fā)動機最大推力限制線變化，根據(jù)圖6的實驗結(jié)果知，當(dāng)巡航高度增加時，飛行總成本呈現(xiàn)先減小后增大的變化趨勢。

根據(jù)對①、②、③過程的分析可知，在成本指數(shù)為30、起飛重量取250 t的情況下，最優(yōu)巡航條件應(yīng)該在③過程中取到。結(jié)合圖6的實驗結(jié)果，最經(jīng)濟巡航高度應(yīng)取10 400 m，約合34 000 ft；最經(jīng)濟巡航速度應(yīng)取243 m/s，約合真空速472節(jié)，校正空速284節(jié)，巡航馬赫數(shù)0.817 Ma。

5 結(jié)論

本文綜合考慮民用飛機在飛行過程中燃油以及時間代價，基于成本指數(shù)提出了一種航跡預(yù)測優(yōu)化方法，以波音747飛機為例，結(jié)合飛機性能模型，理論推導(dǎo)了最經(jīng)濟巡航速度以及最經(jīng)濟巡航高度的計算方法，通過仿真驗證了本文優(yōu)化方法的可行性，為民用飛機四維航跡精確預(yù)測的工程實現(xiàn)提供了理論參考。