數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)和數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計探討

摘 ? 要：隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且在經(jīng)濟、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)要應(yīng)用于工程領(lǐng)域就離不開數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模作為一門理論聯(lián)系實際的課程，已經(jīng)普遍在全國高等學(xué)校中開設(shè)。重點對數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)和課程教學(xué)實踐過程進行總結(jié)和探討，涵蓋課程目標、課程設(shè)計、教學(xué)方式等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;課程設(shè)計;教學(xué)方式

隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且在經(jīng)濟、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

在解決實際問題方面，數(shù)學(xué)建模就是關(guān)鍵一環(huán)。數(shù)學(xué)建模根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述來建立數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模作為一門理論聯(lián)系實際的課程，已經(jīng)普遍在全國高等學(xué)校中開設(shè)。目前，福建江夏學(xué)院結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)，將數(shù)學(xué)建模作為一門公共選修課，開展課程教學(xué)。本課題重點對數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)和課程教學(xué)實踐過程進行總結(jié)和探討，涵蓋課程目標、課程設(shè)計、教學(xué)方式。

1 ? ?數(shù)學(xué)建模實例分析—以2019高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題為例

1.1 ?問題分析

A題是根據(jù)柴油機工作過程設(shè)計給出的，完整題目詳見全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）網(wǎng)站上“高壓油管的壓力控制”[1]。在工作過程中，為了保持壓力和噴油量的穩(wěn)定，必須建立數(shù)學(xué)模型和設(shè)計算法來確定從高壓油泵進入高壓油管和從高壓油管噴出的燃油量，從而確定單向閥的開啟時長、凸輪的轉(zhuǎn)速、減壓閥的控制策略，并通過高壓油管內(nèi)壓力隨時間的變化來展示所得結(jié)果的合理性。

1.2 ?模型建立和求解

對于A題中的第一個問題，根據(jù)題目所提供的數(shù)據(jù)給出燃油密度隨壓力變化的函數(shù)關(guān)系式。在固定單向閥開啟時長的情況下，給出高壓油管內(nèi)壓力和密度隨時間變化的模型或算法。給出壓力穩(wěn)定在100 MPa和壓力從100 MPa增加到150 MPa時以及壓力穩(wěn)定在150 MPa時的模型或算法、單向閥開啟時長和3種時間里的調(diào)整優(yōu)化策略。求解流程如圖1所示。

對于A題中的第2個問題，進入高壓油管的燃油量由凸輪柱塞腔和高壓油管的壓力差決定，從噴油嘴噴出的燃油量由高壓油管內(nèi)的壓力決定，高壓油管內(nèi)的壓力由進入和噴出的燃油量決定。在固定凸輪轉(zhuǎn)速的情況下，給出凸輪柱塞腔內(nèi)和高壓油管內(nèi)壓力和密度隨時間變化的模型和算法。最后，給出保持穩(wěn)定壓力和優(yōu)化凸輪轉(zhuǎn)速的模型和結(jié)果。求解流程如圖2所示。

對于A題中的第3個問題，當有兩個噴油嘴時，在模型和算法中明確指出每個噴油嘴開始噴油的時間，給出凸輪轉(zhuǎn)速的最優(yōu)模型和計算結(jié)果。當考慮減壓閥時，給出減壓閥開啟時間和凸輪轉(zhuǎn)速的優(yōu)化策略。

從建模實例來看，數(shù)學(xué)建模需要具備問題分析的能力、快速學(xué)習(xí)的能力[2]，需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，需要邏輯論證的能力，如何通過合理的課程內(nèi)容設(shè)計和課程教學(xué)設(shè)計來培養(yǎng)學(xué)生的這些能力，是數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計需要重點考慮的問題。

2 ? ?課程目標

2.1 ?培養(yǎng)學(xué)生對問題抽象、簡化和提出問題、建立模型的能力

數(shù)學(xué)建模是將實際問題中的因素進行簡化、抽象變成數(shù)學(xué)中的參數(shù)和變量，運用數(shù)學(xué)理論進行求解和驗證，并確定最終是否能夠用于解決問題的多次循環(huán)。因此，數(shù)學(xué)建模課程，需要培養(yǎng)學(xué)生對問題的抽象、簡化和提出問題，并建立數(shù)學(xué)模型的能力。數(shù)學(xué)建模能力包括轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力、創(chuàng)造力和溝通與合作能力。數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。

2.2 ?提升數(shù)學(xué)論文寫作能力

論文，是探討問題、描述研究成果的一種手段。無論是理論研究還是技術(shù)研究，成果要進行展示，基本都要寫成論文或研究報告，數(shù)學(xué)建模也一樣。最后，學(xué)生要通過一篇邏輯清晰、結(jié)構(gòu)合理、論述完整的論文，展示數(shù)學(xué)建模成果，展示解決實際問題的結(jié)果。因此，論文的寫作能力是一項重要基礎(chǔ)能力。在數(shù)據(jù)建模課程中，要對學(xué)生論文寫作進行訓(xùn)練，提升學(xué)生的論文寫作能力。

數(shù)學(xué)論文，注重定義、定理的推導(dǎo)和證明。數(shù)學(xué)論文的寫作過程，要體現(xiàn)嚴密的邏輯，語言要簡潔，符號定義要有廣泛的普適性。因此，課程需要對數(shù)學(xué)論文的寫作規(guī)范、論文的格式、論文的組織進行基礎(chǔ)的培訓(xùn)和訓(xùn)練。

3 ? ?教學(xué)設(shè)計

3.1 ?數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練

數(shù)學(xué)建模沒有統(tǒng)一的方法和模式，但存在一些基本方法，教學(xué)中要對學(xué)生進行基礎(chǔ)的訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握這些基本的建模方式，將有效提升其建模能力。在教學(xué)過程中，要把握好難度，采取漸進式教學(xué)，在初期，主要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本步驟和方法，學(xué)會對具體問題進行分析、抽象，對數(shù)據(jù)進行采集、分析，判斷數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，形成初步建立、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識?；A(chǔ)的建模方法，如關(guān)系分析法、數(shù)據(jù)分析法、圖標分析法、類比法等均為基礎(chǔ)的方法。另外，還要關(guān)注一些依托數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的建模方法，例如微分建模方法、積分建模方法、統(tǒng)計建模方法、線性規(guī)劃建模方法等。要讓學(xué)生建立起對數(shù)學(xué)建模的基本認知，對常見的數(shù)學(xué)模型有所了解，并學(xué)會運用基礎(chǔ)的建模方法。

3.2 ?案例教學(xué)

為提升學(xué)生的實戰(zhàn)能力，福建江夏學(xué)院每年會組織數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)，一般在暑假進行。學(xué)生通過學(xué)校的數(shù)學(xué)建模選修課，對數(shù)學(xué)建模的理論、基礎(chǔ)方法、常見數(shù)學(xué)模型有一定的認知后，在數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)階段，建議以范例教學(xué)為主，使用以往全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽真題來進行訓(xùn)練，主要訓(xùn)練學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件能力和寫作能力。以獲獎優(yōu)秀論文為范例，進行解析教學(xué)，對論文進行剖析和點評，提高學(xué)生的寫作能力。

3.3 ?翻轉(zhuǎn)課堂

學(xué)生完成基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)并接受一定的建模訓(xùn)練后，可在培訓(xùn)的最后階段采用翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)形式，活躍課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在學(xué)生自主講解案例的過程中，強化對基礎(chǔ)建模方法的認知，提高基礎(chǔ)建模方法的應(yīng)用能力[3]。

翻轉(zhuǎn)課堂改變了傳統(tǒng)的機械式、安排式、灌輸式教學(xué)模式，把課堂的主動權(quán)交給學(xué)生，使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到了充分的發(fā)揮。學(xué)生在課前根據(jù)自己的動態(tài)需求來安排學(xué)習(xí)，課后老師精準輔導(dǎo)，有針對性地在課堂答疑解惑，整個教學(xué)過程兼顧不同需求層次學(xué)生的學(xué)情。

3.4 ?“互聯(lián)網(wǎng)+”

“互聯(lián)網(wǎng)+”主要指借助慕課等網(wǎng)絡(luò)資源，在有限的課堂時間里，無限拓展課堂容量，包括師生互動與教學(xué)評價。在教學(xué)設(shè)計中，可以將該課程所需的理論知識和背景資料，以慕課或微課的形式提供給學(xué)生，使書面知識立體生動起來[4]。在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，個人興趣可能有不同導(dǎo)向，反映在課堂上就是學(xué)生能夠提出帶有個性特征的問題。

4 ? ?問題探討

4.1 ?課程學(xué)習(xí)和競賽培訓(xùn)的關(guān)系

選修課程的學(xué)生，更多是對數(shù)學(xué)建模競賽感興趣的學(xué)生，課程更應(yīng)該注重于基礎(chǔ)能力的培養(yǎng)，同時，通過舉辦數(shù)學(xué)建模競賽集訓(xùn)的方式，來提升學(xué)生的競賽技能。競賽集訓(xùn)需要更多關(guān)注數(shù)學(xué)建模軟件的應(yīng)用、論文的寫作技能等。通過此類課程的銜接，把數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)建模理論、數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)和參加數(shù)學(xué)建模競賽聯(lián)動起來，形成了一個相互促進、相互補益的有機體[5]。

4.2 ?問題分析的過程和結(jié)果的關(guān)系

進入21世紀以來，創(chuàng)新意識已深入人心，培養(yǎng)創(chuàng)新思維也是舉辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的初衷。創(chuàng)新能力因人而異，但數(shù)學(xué)能力卻是衡量一個人的數(shù)理邏輯水平的最好表述，不是一朝一夕能夠養(yǎng)成的，需要在長期的鍛煉中慢慢積累、沉淀和升華[6]。只有在分析問題的過程中百般求索，在得出結(jié)果時精益求精，數(shù)學(xué)能力才能得到精煉，才能迸射出創(chuàng)新的火花。

[參考文獻]

[1]中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會.全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[EB/OL].（2019-09-12）[2020-06-10].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/b0ae8510b9ec0cc0deb2266d2de19ecb.html.

[2]張深林.淺談數(shù)學(xué)建模中快速學(xué)習(xí)能力的應(yīng)用[J].科教文匯，2019（10）：64.

[3]張深林.“翻轉(zhuǎn)課堂”在“管理運籌學(xué)”課程中的應(yīng)用與實踐[J].科教文匯，2016（4）：81-83.

[4]武幫杰，杜 軒，李浩平，等.基于翻轉(zhuǎn)課堂理念的“互聯(lián)網(wǎng)+”實驗教學(xué)模式改革探究[J].科教文匯，2019（10）：73.

[5]楊真真，李 雷，趙洪牛，等.基于數(shù)學(xué)建模競賽的“六位一體”創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式實踐研究[J].實驗室研究與探索，2018（9）：172.

[6]劉法貴，岳紅偉.關(guān)于數(shù)學(xué)建模教育與數(shù)學(xué)建模競賽的思考[J].華北水利水電大學(xué)學(xué)報：社會科學(xué)版，2019（3）：34-38.