從實驗操作之“橋”到推理論證之“根”

段曉霞

【摘要】? 數(shù)學是一門操作性、邏輯性很強的學科，對于初學幾何證明的學生而言，需要在思維的形象性與數(shù)學知識的抽象性之間架起一座橋梁，而實驗操作正是這樣一座從具體到抽象之間的橋梁。通過實驗操作尋求獲得定理推理認證的思路，可以有效地發(fā)展學生的數(shù)學抽象與邏輯推理能力，落實數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】? 定理 操作 證明

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）18-074-02

傳統(tǒng)的數(shù)學課堂中，對于幾何定理的教學往往存在重結(jié)果而輕過程的現(xiàn)象，但是數(shù)學是思維的體操，數(shù)學課堂不僅要傳授知識，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗、發(fā)展數(shù)學思維能力也是數(shù)學教學的重要目標.數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“操作”和“思考”的過程中積累，本文以北師大版八年級上冊《三角形內(nèi)角和定理》為例，談談如何通過實驗操作，由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，進行幾何定理證明的教學。

數(shù)學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點。三角形內(nèi)角和定理是三角形中最為基礎的知識，其內(nèi)容是學生小學時即非常熟悉的，但也是學生第一次正式進行幾何定理的證明。因此這個內(nèi)容看似簡單，但如果處理不好，會導致學生產(chǎn)生厭煩的心理。本節(jié)課可以通過折紙與剪紙等操作出發(fā)，讓學生獲得直接經(jīng)驗，然后從直接經(jīng)驗逐步轉(zhuǎn)到符號化處理，最后達到推理論證的目的。由此引導學生感受數(shù)學的整體性，體會對于同一數(shù)學知識可以從不同的層次進行理解。

一、實踐操作，猜測結(jié)論

小學時，學生已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和是180°，七年級又通過活動再次驗證了這一結(jié)論，但測量也好，剪拼實踐操作也罷，都不可避免地存在一定的誤差，要說明這個結(jié)論的正確性，測量也好，實踐剪拼也罷，都會不可避免地存在一定的誤差。嚴格地說，三角形的內(nèi)角和是180°目前還只是我們的一個猜想，要說明這個猜想的正確性，還需要嚴格的證明，即不僅要知其然，還要知其所以然，要從“是什么”，升級到“為什么”。

首先讓學生回憶，在我們學習過的知識中，還有哪些地方出現(xiàn)過180°？

學生會想到：平角、兩直線平行同旁內(nèi)角互補。但是三角形的三個角是彼此分散的，怎樣才能把它們“湊”成一個平角或者是平行線被截所形成的同旁內(nèi)角呢？《課程標準》指出：“教師應激發(fā)學生的積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能.”因此，教師可以讓學生運用撕紙的方法，引導學生從拼圖中尋找靈感。

對于這個定理，小學的時候教師就讓學生進行了拼接，到了初中還是拼接，其中有什么不同嗎？其實，這個區(qū)別是根本性的：小學的拼接僅限于發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，而初中還要發(fā)現(xiàn)定理證明的思路。而實際上，如果僅用一個三角形紙片進行拼圖，學生是無法獲取證明的思路的。因此，在本節(jié)課前，我讓學生提前準備兩個重合的三角形紙片，撕下其中一個三角形的內(nèi)角，把三角形的三個角拼成180°，小組交流不同的拼法，然后以小組為單位，展示拼圖作品。在學生操作的過程中，教師巡視，選取有代表性的拼法貼在黑板上。這樣，多數(shù)學生會拼成如圖所示的圖形1、2、3，也有個別會動腦筋的同學會拼成圖4.

拼圖活動不是為了一時熱鬧，其目的是讓學生通過操作活動獲取證明的思路。怎么找到定理的證明方法呢？以上圖形中，除圖3外，其余三圖中不僅具有定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)情景——平角或同旁內(nèi)角，又具有結(jié)論證明的發(fā)現(xiàn)情境——相等的同位角或內(nèi)錯角、互補的同旁內(nèi)角，把這些情況都弄清了，定理的多種證法及其聯(lián)系也就清楚了。因此，拼圖活動的開展是本節(jié)課成功的基礎。

二、操作轉(zhuǎn)化，證明定理

拼圖可以直觀地感受、猜想三角形的內(nèi)角和是180°，七年級時學生運用撕紙和簡單說理說明了這一結(jié)論，而本節(jié)課是要對其進行規(guī)范的證明，并讓學生初步感受當問題的條件不夠時，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)會解決的情況，體會轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學學習的重要思想。

輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，所以添加輔助線找到多種證明方法是本節(jié)課的難點。如果老師直接給出輔助線的作法，那么前面的活動也就失去了其意義。這里老師可以結(jié)合圖1，引導學生把實物圖抽象成幾何圖形，并提出問題串：這里的∠1的邊AD和BC有什么位置關(guān)系？AE和BC呢？AD和AE在同一條直線上嗎？為什么？你能從上面的結(jié)論中得到啟發(fā)，直接作一條線，把∠B、∠C同時移到點A處嗎？

回顧剛才的活動，學生容易發(fā)現(xiàn)我們是通過撕紙把∠B、∠C分別移到∠1、∠2的位置，即∠1、∠2分別等于∠B、∠C，那么AD、AE都平行于BC.根據(jù)平行線的存在性與唯一性，可知AD和AE在同一條直線上，我們只需過點A作BC的平行線，就可以構(gòu)造出∠B、∠C的內(nèi)錯角，相當于把它們移上來;這條線是題目中沒有的，是我們?yōu)榱俗C明的需要找的一個搬運工，從而介紹輔助線的名稱及畫法，這樣輔助線的添法就順理成章，自然地突破了難點。

三、操作探究，訓練思維

在順利得到定理的證明方法之后，教師可以趁熱打鐵：觀察其他拼圖，還有哪些拼圖中能出現(xiàn)我們所需要的平行線？有了前面的基礎，學生不難發(fā)現(xiàn)圖2和圖4中的相等的內(nèi)錯角、同位角等，從而通過添加平行線來證明定理。教師可以讓不同的學生上來展示，通過操作探究，也就是一題多解，讓學生初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展。讓學生體會數(shù)學輔助線的橋梁作用，在潛移默化中，達到滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想及訓練學生思維多樣性的目的。

四、操作體驗，初見成效

初中生思維活躍、求知欲強，有了一定的數(shù)學學習能力，用教師引導下的自主探索的教學方式，給他們充分的實踐與思考的時間、空間，可以讓他們體會思維的多向性，獲得更高層次的成功感。

有這樣一道課后練習題：如圖，已知∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，那么∠1、∠2、∠3的和是多少度？

這個題相信大家都很熟悉，在解答時一般是兩種方法：運用平角或者運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解。但是這一次，有好幾個同學提出：上節(jié)課我們在學習三角形的內(nèi)角和定理時，不是通過作平行線，把三個角移到了一起、構(gòu)成平角嗎？同樣的，這里要說明這三個角的和是360°，所以我們可以把它們?nèi)齻€角湊成一個周角。

法1：如圖5，過點A作EF∥BC，則∠EAB=∠ABC，∠DAE=∠ACB，所以∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠2+∠ACB+∠3=180°+180°=360°.

法2：如圖6，過點A作AF∥BC，則∠2=∠BAF，∠3=∠DAF所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠BAF+∠DAF=360°.

教學這么多年，不要說從來沒有學生提出過用這種方法來說明三角形的外角和為360°，就連我自己我從來也沒有想到過。如果這次不是因為讓學生真正經(jīng)歷動手操作、觀察圖形、找到證明方法的過程，我想學生也不會有這么多的想法。反思我的教學：平時是不是太過于注重知識的傳授，而忽略了學生的操作、探究的過程呢？

“學生的數(shù)學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。”數(shù)學是思維的體操，而有了學生積極參與和高效交互的活動，讓幾何定理的教學不再枯燥乏味，使教學不僅僅只是體現(xiàn)一個認知、探究、交流、決策的過程，同時能有效地發(fā)展學生的數(shù)學思維與邏輯推理的能力。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]教育部《數(shù)學課程標準》[M].北京師范大學出版社，2011.

[2]董江垂.“沒有結(jié)束語”的潛臺詞《中學數(shù)學教學參考》[J].西安：中學數(shù)學教學參考雜志社，2000.05.