畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的排序方法和運(yùn)算法則

曾 莊，黃天民，趙慶慶，徐 穎

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611756）

1965年，美國(guó)控制論專家Zadeh[1]提出了模糊集（FS）的概念，將數(shù)學(xué)的研究范圍從精確問題拓展到了模糊問題.1986年，Atanassov[2]提出了直覺模糊集（IFS），直覺模糊集從支持、反對(duì)、中立3個(gè)方面全面地描述了客觀世界，直覺模糊集在處理模糊性和不確定性等方面比模糊集更具有靈活性和實(shí)用性，是模糊集的推廣.在過去的幾十年里，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究，并將直覺模糊集廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，其中關(guān)于直覺模糊決策的研究是熱點(diǎn)問題，如多屬性決策（MADM）[3]和多屬性群決策（MAGDM）[4].

隨著研究的深入，一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)直覺模糊集也存在著一些缺陷.在決策過程中，假設(shè)決策者對(duì)某事物支持的程度是，而反對(duì)的程度是，支持與反對(duì)程度的和超過1，這時(shí)與直覺模糊集的約束條件：隸屬度與非隸屬度之和小于1相矛盾.為此在研究模糊集和直覺模糊集的補(bǔ)運(yùn)算基礎(chǔ)上，2014年，Yager[5]通過定義畢達(dá)哥拉斯模糊補(bǔ)運(yùn)算，提出了允許隸屬度和非隸屬之和超過1，而它的平方和不超過1的畢達(dá)哥拉斯模糊集的概念，畢達(dá)哥拉斯模糊集比直覺模糊集具有更強(qiáng)的刻畫模糊現(xiàn)象的能力，是直覺模糊集的推廣.最近幾年，很多文獻(xiàn)研究了畢達(dá)哥拉斯模糊集，Yager[5]和 Yager 等[6]提出了畢達(dá)哥拉斯隸屬度的自然擬序，Zhang等[7]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（PFN）的概念，定義了一種記分函數(shù)，研究了基于畢達(dá)哥拉斯模糊集的TOPSIS方法及其應(yīng)用.Zhang[8]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的嚴(yán)格排序，定義了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的相似性度量，提出了一種簡(jiǎn)單有效的畢達(dá)哥拉斯多屬性決策方法.Peng等[9]定義了減法和除法運(yùn)算，提出了精度函數(shù)，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的排序方法.Liang 等[10]和 Peng 等[11]研究了區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集及其決策應(yīng)用.Gou等[12]研究了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的連續(xù)性及微分等內(nèi)容；Garg[13]研究了基于Einstein的廣義畢達(dá)哥拉斯模糊信息聚合算子及其在決策中的應(yīng)用；劉衛(wèi)鋒等[14]研究了畢達(dá)哥拉斯模糊交叉影響集成算子及其決策應(yīng)用；劉衛(wèi)鋒等[15]研究了畢達(dá)哥拉斯模糊Hamacher集成算子及其決策應(yīng)用.

從目前的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)排序方法來看，似乎在解決畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下的多屬性決策問題等方面是有效的，但是也存在著某些不足.文獻(xiàn)[7-8]利用記分函數(shù)和精度函數(shù)對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)進(jìn)行排序，僅僅涉及到隸屬度和非隸屬度的信息，而忽略了猶豫度的作用.因?yàn)樵跊Q策過程中存在著固有信息的丟失，使得有時(shí)候這些方法的排名結(jié)果可能不準(zhǔn)確.在文獻(xiàn)[16]提出的新的記分函數(shù)的基礎(chǔ)上，本文首先定義了一種新的記分函數(shù)和精確度函數(shù)，然后提出了相應(yīng)的排序方法，該方法不僅充分考慮了隸屬度、非隸屬度、猶豫度三方面的信息，還比文獻(xiàn)[7-8]的方法更直接有效，也比文獻(xiàn)[16]的方法簡(jiǎn)便.然后在分析文獻(xiàn)[15]提出的畢達(dá)哥拉斯模糊Hamacher運(yùn)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)該運(yùn)算沒有考慮不同畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的隸屬度和非隸屬度之間存在著某種關(guān)聯(lián)和相互影響.因此，本文在畢達(dá)哥拉斯模糊交叉影響集成算子[14]啟發(fā)下，定義了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的加法、數(shù)乘、乘法以及冪運(yùn)算并研究了它們的一些性質(zhì)，給出了相應(yīng)的證明.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 直覺模糊集

定義1[2]設(shè) X 為論域，A=｛〈x，μA（x），νA（x）〉｜0≤μA（x）+νA（x）≤1，x∈X｝稱為 X 上的一個(gè)直覺模糊集（IPS），其中 μA（x）：X→[0，1]，νA（x）：X→[0，1]是 X 上的模糊集，μA（x）、νA（x）分別表示X上元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度.

1.2 畢達(dá)哥拉斯模糊集

定義2[5]設(shè)X 為論域，則稱三元組為畢達(dá)哥拉斯模糊集（PFS），其中 μA（x）：X→[0，1]，νA（x）：X→[0，1]是 X 上的模糊集，μA（x）、νA（x）分別表示X上元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，并且?x∈X，μA（x），νA（x）∈[0，1]，

為x隸屬于A的猶豫度.為了簡(jiǎn)便，稱α=（μα（x），να（x））為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（PFN）[7]，表示為 α =（μα，να）.

畢達(dá)哥拉斯模糊集是直覺模糊集的推廣，并且比直覺模糊集具有更強(qiáng)的刻畫模糊現(xiàn)象的能力.

2 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的記分函數(shù)和精度函數(shù)

2.1 記分函數(shù)和精度函數(shù)

定義3[7]設(shè) α =（μα，να）為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則 α 的記分函數(shù)定義為，其中S（α）∈[-1，1].α 的精度函數(shù)定義為 A（α）=，其中 A（α）∈[0，1].

設(shè) α1=（μα1，να1），α2=（μα2，να2）為 2 個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，分別是 α （i=1，2）的記分函數(shù)和精度函i數(shù)，比較方法如下：

（i）若 S（α1）＜S（α2），那么 α1＜α2；

（ii）若 S（α1）=S（α2），那么：

（a）若 A（α1）＜A（α2），那么 α1＜α2，

（b）若 A′（α1）=A′（α2），那么 α1～α2.

2.2 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的記分函數(shù)和精度函數(shù)針對(duì)文獻(xiàn)[7]所提方法存在的不足，以及結(jié)合文獻(xiàn)[16]提出的記分函數(shù)、有效函數(shù)應(yīng)充分考慮支持者、異議者和棄權(quán)者的份額，定義一種新的記分函數(shù)，它具有較強(qiáng)的選擇能力和較高的精確度.

定義4設(shè) α=（μα，να）為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，定義α的記分函數(shù)為

并且 S′（α）∈[-1，1].

相應(yīng)地可以定義一種新的精度函數(shù)如下：

定義5設(shè) α=（μα，να）為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，那么α的精度函數(shù)為

并且 A′（α）∈[0，1].

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) S′（α）、A′（α）越大，相應(yīng)的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)就越滿足決策者的期望.在此基礎(chǔ)上可以得到畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的一種新的排序方法：

定義6設(shè) α1=（μα1，να1），α2=（μα2，να2）為2個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，且

分別是αi（i=1，2）的記分函數(shù)和精度函數(shù)，比較方法如下：

（i）若 S′（α1）＜ S′（α2），那么 α1＜ α2；

（ii）若 S′（α1）=S′（α2），那么：

（a）若 A′（α1）＜A′（α2），那么 α1＜α2，

（b）若 A′（α1）=A′（α2），那么 α1～α2.

定理1對(duì)于任意的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)α=（μα，να），記分函數(shù)是關(guān)于隸屬度μα的單調(diào)增函數(shù)，是關(guān)于非隸屬度να的單調(diào)減函數(shù).

證明由于

其中 μα，να∈[0，1]，記分函數(shù)分別對(duì)隸屬度 μα和非隸屬度να求偏導(dǎo)：

同理

因此，可得 S′（α）是關(guān)于隸屬度 μα的單調(diào)增函數(shù)，是關(guān)于非隸屬度να的單調(diào)減函數(shù).

定理2設(shè) α1=（μα1，να1）和 α2=（μα2，να2）為任意2 個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，當(dāng) S（α1）=S（α2），且 A（α1）＞A（α2），有 S′（α1）＞S′（α2）.

證明由于 S（α1）=S（α2），且 A（α1）＞A（α2），所以有

從而

所以結(jié)論成立.

該定理說明新的排序方法對(duì)舊的排序方法進(jìn)行了改進(jìn)，比舊的排序方法更直接有效，并且吸收了更多的模糊信息.

例1設(shè)有畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)：

那么由定義3所得的排序方法可知：

此時(shí)無法直接用記分函數(shù)判斷畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的大小，還需要借助精度函數(shù)進(jìn)行排序.

而由定義6所得的排序方法可知：

也就是說，當(dāng)定義3的得分函數(shù)不能直接對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)進(jìn)行排序時(shí)，但是定義4所提出的得分函數(shù)可以區(qū)分備選方案的差異，發(fā)現(xiàn)最終結(jié)果相同.這意味著提出的得分函數(shù)是直截了當(dāng)并且有效的.

例2畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù) α1=（0.3，0.9），，那么由定義3所得的排序方法可知：

但是如果對(duì)模糊數(shù)α1進(jìn)行一點(diǎn)點(diǎn)修改為

排序結(jié)果卻截然不同.

而由定義6的排序方法可知：

所以當(dāng)隸屬度只有0.000 1的變化時(shí)，定義3的排序方法得到的卻是完全相反的排序結(jié)果.說明在比較的過程中，僅僅考慮隸屬度和非隸屬度而忽略猶豫度，會(huì)丟掉一些有用的信息，使得結(jié)果存在著偏差.但是定義6的排序方法卻不會(huì)受影響.說明本文提出的新排序方法比舊排序方法更穩(wěn)定，更易于實(shí)現(xiàn).

3 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算法則與性質(zhì)

本節(jié)將介紹畢達(dá)哥拉斯Einstein運(yùn)算[13]和畢達(dá)哥拉斯交叉影響運(yùn)算[14]，然后提出一種畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的運(yùn)算法則和相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì).

3.1 畢達(dá)哥拉斯模糊Einstein運(yùn)算法則

定義7[13]設(shè) α =（μα，να）和 αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意3個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，λ≥0，那么畢達(dá)哥拉斯模糊Einstein運(yùn)算定義如下：

例3設(shè) α1=（μα1，0），α2=（μα2，να2），να2≠0為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，那么由定義7的加法運(yùn)算可知：

設(shè) α3=（0，να3），α4=（μα4，να4），μα4≠0 為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，那么由定義7的乘法運(yùn)算可知：

即在上述運(yùn)算中 να2、μα4完全不起作用，也顯然與常理不符，基于這種缺陷，劉衛(wèi)鋒等[14]定義了新畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的加法、乘法、數(shù)乘以及冪運(yùn)算.

定義8[14]設(shè) α =（μα，να）和 αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意3個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，并且λ≥0，那么畢達(dá)哥拉斯模糊交叉影響運(yùn)算定義如下：

定義8考慮到不同的畢達(dá)哥拉斯數(shù)的隸屬度和非隸屬度之間存在著某種聯(lián)系和相互影響，一定程度上避免了例3中存在的這種缺點(diǎn).

3.2 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的運(yùn)算法則在定義7和8的啟發(fā)下，本文結(jié)合以上2種畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算，充分地將畢達(dá)哥拉斯Einstein運(yùn)算和畢達(dá)哥拉斯模糊交叉影響運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)聯(lián)合起來，提出了以下畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的運(yùn)算，并給出了相應(yīng)的證明.

定義9設(shè) α =（μα，να）和 αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意3個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，并且λ≥0，那么畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算定義如下：

例4設(shè) α1=（μα1，0），α2=（μα2，να2），να2≠0為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，那么由定義9的加法運(yùn)算可知：

設(shè) α3=（0，να3），α4=（μα4，να4），μα4≠0 為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，那么由定義9的乘法運(yùn)算可知：

顯然在上面的運(yùn)算結(jié)果比定義7得到的結(jié)果吸收的模糊信息更多，更符合實(shí)際.

3.3 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)新的運(yùn)算性質(zhì)

定理3設(shè) α =（μα，να）和 αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意3個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，并且λ≥0，則定義8的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算α1⊕α2、α1?α2、λα、αλ也是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù).

證明1）證明α1⊕α2是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，從而需要證明

2）α1?α2是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的證明與1）類似.這里不再證明.

3）證明λα是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，從而需要證明

4）αλ是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的證明與3）類似.這里不再證明.

定理4設(shè) α =（μα，να）和 αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意3 個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，λ，λ1，λ2≥0，則畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算滿足：

定理5設(shè) αi=（μαi，ναi）（i=1，2）為任意 2個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算滿足：

4 結(jié)束語

考慮到目前記分函數(shù)和精度函數(shù)缺陷的基礎(chǔ)上，本文提出了新的記分函數(shù)和精度函數(shù)，以及得到了相應(yīng)的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)排序方法.該方法的優(yōu)點(diǎn)在于：1）同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度、猶豫度三方面的信息，在決策過程中可以吸收更多的模糊信息；2）比起文獻(xiàn)[16]的計(jì)算公式里面有指數(shù)函數(shù)運(yùn)算，本文的計(jì)算公式更簡(jiǎn)便且易于實(shí)現(xiàn).然后定義了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的一種新的運(yùn)算法則以及得到了相應(yīng)的性質(zhì).本文的研究使得畢達(dá)哥拉斯模糊運(yùn)算更加符合實(shí)際，為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ).