光杠桿鏡面和望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度對(duì)放大率的影響

樊代和,魏 云,常相輝,劉其軍,賈欣燕

(1.西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 6111756;2.物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，四川 成都 611756)

楊氏模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量，是材料的固有屬性之一[1]. 在工程技術(shù)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，其是選定機(jī)械零件材料的重要參數(shù)之一. 國(guó)內(nèi)許多高校將楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)作為課程的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一. 因此，楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)方法的重要性和高校中培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)技能的重要性顯而易見.

圖1 常用靜態(tài)拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)儀示意圖

在拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中，由于金屬絲受力后的伸長(zhǎng)量ΔL非常小(通常在μm量級(jí))，因而不容易被直接測(cè)得. 為此，實(shí)驗(yàn)中常采光杠桿對(duì)此微小長(zhǎng)度變化量進(jìn)行測(cè)量. 光杠桿測(cè)量金屬絲受力后的微小長(zhǎng)度變化量ΔL的原理如圖2所示，b表示光杠桿的長(zhǎng)度，D表示光杠桿平面鏡到標(biāo)尺的距離，金屬絲的原長(zhǎng)為L(zhǎng). 受力時(shí)，金屬絲將伸長(zhǎng)ΔL，導(dǎo)致光杠桿的平面將轉(zhuǎn)過角度α.

圖2 光杠桿測(cè)量微小長(zhǎng)度變化量的原理圖

從圖2中可以看出，當(dāng)金屬絲不受力時(shí)，光杠桿的平面鏡處于豎直狀態(tài)，即平面鏡與望遠(yuǎn)鏡的光軸是垂直的. 此時(shí)標(biāo)尺上N0刻度可對(duì)準(zhǔn)望遠(yuǎn)鏡的叉絲中心水平線處. 當(dāng)金屬絲受力伸長(zhǎng)ΔL后，由于光杠桿旋轉(zhuǎn)α角，則在固定望遠(yuǎn)鏡位置的情況下，標(biāo)尺的N1刻度處將對(duì)準(zhǔn)望遠(yuǎn)鏡的叉絲中心水平線處. 此時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出

ΔL=btanα,

(1)

ΔN=Dtan (2α).

(2)

在ΔL非常小(即α角非常小)的情況下，取近似tanα≈α，tan (2α)≈2α，則可以得到光杠桿對(duì)微小長(zhǎng)度變化量的放大率為

(3)

式(3)表明，利用光杠桿將微小長(zhǎng)度變化量放大γ倍到容易測(cè)量(通常為mm量級(jí))的量級(jí)后，結(jié)合其他常量(金屬絲的原長(zhǎng)L以及直徑d)測(cè)量，即可測(cè)出金屬絲的楊氏模量值.

值得注意的是，圖2所示的光杠桿測(cè)量微小伸長(zhǎng)的原理，在金屬絲未受力時(shí)，光杠桿的鏡面與望遠(yuǎn)鏡的光軸是垂直的. 而在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)儀器調(diào)節(jié)過程中，這一實(shí)驗(yàn)條件未必能夠達(dá)到上述標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài). 此時(shí)，如果直接用式(2)測(cè)量金屬絲受力后的微小長(zhǎng)度變化量，則必然將對(duì)金屬絲楊氏模量值的測(cè)量帶來影響.

基于此，本文詳細(xì)分析了在利用靜態(tài)拉伸法測(cè)量鋼絲楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，光杠桿鏡面和望遠(yuǎn)鏡光軸初始(即鋼絲未受力)時(shí)不垂直對(duì)光杠桿放大率造成的影響. 在此基礎(chǔ)之上，給出消除此影響對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)儀器調(diào)節(jié)建議.

2 光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度對(duì)放大率的影響分析

如圖3所示，假設(shè)在鋼絲未受力時(shí)，光杠桿的鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸有一定的夾角θ0. 此時(shí)，標(biāo)尺的N0′刻度對(duì)準(zhǔn)于望遠(yuǎn)鏡目鏡筒的叉絲中心水平線處. 當(dāng)鋼絲受力伸長(zhǎng)ΔL后，由于光杠桿的平面鏡轉(zhuǎn)過了角度α，則在固定望遠(yuǎn)鏡位置的情況下，標(biāo)尺的N1′刻度對(duì)準(zhǔn)于望遠(yuǎn)鏡目鏡筒的叉絲中心水平線處.

圖3 光杠桿鏡面初始時(shí)與豎直方向有夾角θ0時(shí)測(cè)量微小長(zhǎng)度變化量原理圖

此時(shí)，根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系可以得出

Na=Dtan (2θ0),

(4)

Nb=Dtan (2θ0+2α).

(5)

最終，通過式(4)～(5)可以得出，鋼絲受力前后，從望遠(yuǎn)鏡中觀察到標(biāo)尺的變化量為

ΔN′=Nb-Na=D[tan (2θ0+2α)-tan (2θ0)].

(6)

(7)

(8)

此時(shí)，光杠桿的放大率可表示為

(9)

從式(9)可以看出，當(dāng)光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直時(shí)(即θ0≠0)，光杠桿的放大率顯然與傳統(tǒng)教材中描述的放大率[式(3)]不同，這一不同將直接影響到鋼絲受力時(shí)的真實(shí)伸長(zhǎng)量ΔL的測(cè)量精度，進(jìn)而影響到鋼絲楊氏模量的測(cè)量精度.

為了說明光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度對(duì)光杠桿放大率造成的影響，采用實(shí)驗(yàn)中的典型實(shí)驗(yàn)參量值做進(jìn)一步分析. 假設(shè)實(shí)驗(yàn)測(cè)量一直徑為d=0.7 mm的圓柱體鋼絲的楊氏模量(E=2×1011N/m2)值. 選取鋼絲原長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.7 m，光杠桿平面鏡到標(biāo)尺的距離為D=1 m，光杠桿的長(zhǎng)度為b=7 cm. 此時(shí)，當(dāng)用一質(zhì)量為M=1 kg砝碼對(duì)應(yīng)的重力(即F=9.8 N)對(duì)鋼絲進(jìn)行拉伸時(shí)，可以計(jì)算得出對(duì)應(yīng)的伸長(zhǎng)量為

(10)

式(10)表明，當(dāng)使用上述楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)的典型參量時(shí)，鋼絲受力后，光杠桿平面鏡的旋轉(zhuǎn)角度為α≈4.4′. 將上述D，b，α各值分別代入到式(3)和式(9)，可以得到γ′/γ隨θ0的變化關(guān)系如圖4所示.

圖4 γ′/γ隨θ0的變化關(guān)系圖

從圖4中可以看出，當(dāng)光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始為垂直狀態(tài)時(shí)(即θ0=0°)，γ′/γ=1，即傳統(tǒng)教材中關(guān)于光杠桿的放大率式(3)式是成立的. 但是，隨著光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度的增大(即θ0的增大)，γ′/γ值將非線性地增大. 這也說明，當(dāng)θ0=0°時(shí)，傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率式(3)式并不能真實(shí)反映出鋼絲受力時(shí)的微小長(zhǎng)度變化量ΔL值，需要進(jìn)行修正. 特別地，從圖4中可以看出，當(dāng)θ0=10°時(shí)，γ′/γ≈1.12，也即，如此時(shí)仍用式(3)所描述的光杠桿放大率公式進(jìn)行鋼絲微小長(zhǎng)度變化量的測(cè)量，最終將會(huì)對(duì)鋼絲的楊氏模量值的測(cè)量結(jié)果帶來約12%的測(cè)量誤差.

3 對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器調(diào)節(jié)的建議

在利用靜態(tài)拉伸法測(cè)量鋼絲的楊氏模量的實(shí)驗(yàn)儀器調(diào)節(jié)中，對(duì)應(yīng)于圖1所示的實(shí)驗(yàn)儀器原理圖，通常的操作步驟為：

1)實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備. 調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡T和光杠桿M鏡面中心位置等高，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡基本水平，光杠桿平面鏡面基本豎直.

2)粗調(diào). 在望遠(yuǎn)鏡T對(duì)準(zhǔn)光杠桿平面鏡的前提下，微調(diào)望遠(yuǎn)鏡T的位置，使能從望遠(yuǎn)鏡上方觀察到標(biāo)尺的像.

3)細(xì)調(diào). 分別通過調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的目鏡調(diào)節(jié)滾輪和物鏡調(diào)節(jié)滾輪，使在望遠(yuǎn)鏡目鏡中能夠觀察到叉絲水平線和標(biāo)尺的像，并無視差存在. 此時(shí)，可以根據(jù)光杠桿測(cè)量微小長(zhǎng)度變化量的原理，對(duì)鋼絲進(jìn)行施力，并測(cè)量受力導(dǎo)致的微小長(zhǎng)度變化量ΔL.

為了能夠克服如本文所述的光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度對(duì)楊氏模量測(cè)量造成的影響[即直接用式(3)進(jìn)行微小長(zhǎng)度變化量的測(cè)量]，建議在上述通常的儀器操作步驟上，額外增加以下兩方面的調(diào)節(jié):

首先，在上述實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備階段，上下調(diào)節(jié)標(biāo)尺S的位置，使其零刻度(通常位于標(biāo)尺的中部)與望遠(yuǎn)鏡的中心高度等高.

其次，在細(xì)調(diào)工作結(jié)束后，從望遠(yuǎn)鏡中檢查叉絲中心水平線是否處于標(biāo)尺的零刻度的±1.5 cm內(nèi). 如能達(dá)到此要求，則可進(jìn)行鋼絲受力導(dǎo)致的微小長(zhǎng)度變化量測(cè)量，此時(shí)可修正光杠桿鏡面與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直時(shí)對(duì)光杠桿放大率帶來的影響. 如不能達(dá)到此要求，則需要重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)儀器操作步驟中的實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備工作，直至符合要求.

值得說明的是，如儀器調(diào)節(jié)過程中能達(dá)到上述±1.5 cm標(biāo)準(zhǔn)，則傳統(tǒng)教材中描述的光杠桿放大率公式[即式(3)]仍然適用. 這是因?yàn)?，在此種情況下，仍然利用上述典型的光杠桿鏡面到標(biāo)尺的距離參量D=1 m，可計(jì)算得出θ0≤0.86°，此時(shí)通過圖4可以得出γ′/γ=1.001. 也即，如儀器調(diào)節(jié)能達(dá)到上述±1.5 cm標(biāo)準(zhǔn)，則利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率式(3)進(jìn)行微小長(zhǎng)度變化量的計(jì)算，可將光杠桿鏡面初始不豎直對(duì)楊氏彈性模量測(cè)量造成的影響降低到1‰以內(nèi).

4 結(jié) 論

在拉伸法測(cè)量鋼絲楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中，結(jié)合光杠桿對(duì)微小長(zhǎng)度變化量測(cè)量的放大原理，詳細(xì)分析了當(dāng)光杠桿平面鏡與望遠(yuǎn)鏡光軸初始不垂直度對(duì)傳統(tǒng)教材中描述的光桿放大率造成的影響. 分析表明，隨著光杠桿平面鏡初始時(shí)與望遠(yuǎn)鏡光軸之間的夾角θ0增大，光杠桿的實(shí)際放大率與傳統(tǒng)教材中描述的放大率相比，將非線性地增大，進(jìn)而對(duì)楊氏模量的測(cè)量精度造成影響. 特別地，當(dāng)θ0=10°時(shí)，如利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率公式進(jìn)行鋼絲微小長(zhǎng)度變化量的測(cè)量，將會(huì)對(duì)鋼絲楊氏模量值的測(cè)量結(jié)果帶來高達(dá)12%的測(cè)量誤差. 為了能夠仍然利用傳統(tǒng)教材中表述較為簡(jiǎn)單的光杠桿放大率公式，對(duì)實(shí)驗(yàn)時(shí)的調(diào)節(jié)補(bǔ)充了2個(gè)方面的調(diào)節(jié)和檢查步驟，即如能調(diào)節(jié)使鋼絲未受力時(shí)，從望遠(yuǎn)鏡中觀察到叉絲中心水平線處于標(biāo)尺零刻度的±1.5 cm內(nèi)，則利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率公式進(jìn)行鋼絲楊氏彈性模量測(cè)量，其影響將小于1‰.