例析曲線公切線下的函數(shù)零點問題

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

一、問題提出

曲線在某一點處的切線，作為引入導數(shù)概念的背景，以及導數(shù)的幾何意義貫穿在導數(shù)及其應用這一章節(jié).在高考中經(jīng)常出現(xiàn)與曲線的切線相關的考題,從求切線的方程，到已知切線方程，求相關的值與最值，再到近幾年出現(xiàn)了以曲線的公切線為背景的問題.

看似是切線問題，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后實際為已知方程的解的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，方程的解又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.函數(shù)的零點作為函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，因此在高考中經(jīng)?？疾?，從討論函數(shù)的零點個數(shù)，到已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，再到近兩年看似函數(shù)的切線問題實則轉(zhuǎn)化之后為函數(shù)的零點問題，將零點問題隱藏于背景之中，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的能力，關注學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

二、問題解法

下面從基本思路出發(fā)，通過轉(zhuǎn)化條件，化為常規(guī)問題解決引題.

圖1

基本思路：曲線的切線問題抓住切點，因為切點既在曲線上又在切線上，且函數(shù)在該點的導數(shù)值為切線的斜率，所以先確定切點，切線.如圖1，要使得存在滿足條件的切線，則該切線與兩曲線切于不同的兩點.

圖2

轉(zhuǎn)化：這樣的直線有且僅有兩條，轉(zhuǎn)化為a=

進一步思考：若此題改為解答題，則數(shù)形結(jié)合的方式有不得分的點，需要對問題再轉(zhuǎn)化，a=

三、問題的分類

1.兩條曲線的切線切于同一點

分析：(1)只需說明方程組無解即可；(2)由已知建立方程組，解方程組即可得；(3)兩個參量分各處理解方程組.

反思:此題3問有3個不同的函數(shù)背景，(1)是一次函數(shù)與二次函數(shù)不含參數(shù)；(2)是對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)含有1個參數(shù)；(3)是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)且含有3個變量.3問將高中常見的函數(shù)融合為一題，且層層遞進，對學生思維的考查逐問提高，是難得的好題.第3問中有3個變量滿足?a>0,?b>0,?x>0,使得方程組成立，多變量問題的處理采用各個擊破的策略，先處理容易解決的，如題中先轉(zhuǎn)化為a與x的方程有解，即構造三次函數(shù)證明存在零點，再建立b與x的關系，說明b>0.

2.兩條曲線的切線切于兩點

分析：找到y(tǒng)=ex上的切點，是解決的關鍵，指數(shù)式與對數(shù)式的互化是處理的技巧.

分析：本題為例2的一般情形，處理的關鍵是消元構造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點.

圖3

四、問題的拓展

分析：(思路一)設切點，求出切線，兩直線重合，建立方程組；(思路二)利用兩切點求出斜率與求導得到斜率建立等式.

反思：法一的關鍵是消元構造方程，換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點；法二的關鍵利用斜率相等構造齊次式，換元化為函數(shù)的零點.

五、問題的啟示

1.關注高考真題，研究命題動向

學生要善于解題，作為教師更要善于解題.每年的高考真題，都是經(jīng)過命題專家經(jīng)過精心構造，巧妙設計的好題，很有研究的價值.研究真題的背景、考點、解決策略，探尋命題的方向，對于高三復習有一定的幫助.例如上述2019年全國Ⅱ卷理20題與2018年天津卷20題本質(zhì)為同一類型.

2.關注基本思路，研究等價轉(zhuǎn)化

新課程標準中關于高考命題的原則：考查內(nèi)容應圍繞數(shù)學內(nèi)容主線，聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調(diào)基礎性、綜合性；關注數(shù)學本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；融入數(shù)學文化.因此在教學的過程中要關注問題處理的基本思路，建立等價命題系統(tǒng)，將綜合性問題靈活轉(zhuǎn)化化歸問基本題型，常見結(jié)構.

3.關注課堂生成，研究探究價值

課堂是教學的主陣地，在課堂中要給學生充足的時間思考、對問題進行聯(lián)想，尋找題目背后隱藏的基本概念，基本思想、基本模型.基礎是發(fā)展的“根”與“本”，根深才能葉茂.課堂有生成說明學生在思考，思維在提升.高考題的題源來于教材，往往是教材某些概念的深化，例題的推廣，因此在課堂中要重視習題，聯(lián)系教材概念、例題，進行適當?shù)奶骄客茝V，對學生的思維發(fā)展大有裨益.